2018-2019数学新学案同步必修五苏教版讲义：第二章 数列2.1 第2课时

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第2课时数列的递推公式与通项公式学习目标1.理解数列的几种表示方法，能从函数的观点研究数列。2.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项。3。会用累加法、累乘法由递推公式求通项公式．知识点一递推公式思考数列1,2，4，8，…的第n项an与第n＋1项an＋1有什么关系？答案an＋1＝2an.梳理如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项（或某一项）开始的任一项an与它的前一项an－1（或前几项）（n≥2）间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式叫做这个数列的递推公式．特别提醒：（1）与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式．（2）递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项．知识点二数列的表示方法思考以数列2，4，6,8,10，12，…为例，你能用几种方法表示这个数列？答案①通项公式法：an＝2n。②递推公式法:eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a1＝2,，an＋1＝an＋2，n∈N*.）)③列表法：n123…k…an246…2k…④图象法：梳理数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法．1．利用an＋1＝2an，n∈N＊可以确定数列｛an｝．（×)2．有些数列难以用通项公式和递推公式表示,但可以用列表法轻松解决．（√)3．递推公式是表示数列的一种方法．(√)类型一数列的表示法例1图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形，在四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的递推公式和一个通项公式,并在直角坐标系中画出它的图象．考点数列的表示方法题点数列的表示方法解如题图，这四个三角形图案中着色的小三角形第（2）个是第(1)个的3倍,第(3）个是第(2）个的3倍,故有递推公式a1＝1，an＋1＝3an,n∈N＊，个数依次为1，3，9,27。则所求数列的前4项都是3的指数幂,指数为序号减1.所以,这个数列的一个通项公式是an＝3n－1。在直角坐标系中的图象为一些孤立的点(如图所示）．反思与感悟求数列的递推公式注重观察数列项与项的关系，求通项公式注重观察项与序号的关系，图象法则一如既往地直观．跟踪训练1传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将石子摆成如图所示的三角形点阵，就将其所对应石子的个数称为三角形数,则第n个三角形数比第n－1（n≥2，n∈N＊）个三角形数多________个石子．考点数列的递推公式题点根据图形写出递推公式答案n解析a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，∴an－an－1＝n.类型二数列的递推公式命题角度1由递推公式求前若干项例2设数列{an}满足eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，，an＝1＋\f(1，an－1）n〉1，n∈N*。）)写出这个数列的前5项．考点数列的递推公式题点由递推公式求项解由题意可知a1＝1，a2＝1＋eq\f(1,a1)＝2，a3＝1＋eq\f（1,a2）＝eq\f（3,2)，a4＝1＋eq\f（1,a3）＝eq\f(5，3），a5＝1＋eq\f(1,a4)＝1＋eq\f（3，5）＝eq\f(8,5）。引申探究若数列{an｝满足a1＝2,an＋1＝eq\f(1＋an，1－an)，求a2018。解a2＝eq\f（1＋a1，1－a1)＝eq\f（1＋2，1－2）＝－3，a3＝eq\f(1＋a2，1－a2)＝eq\f(1－3，1＋3)＝－eq\f（1，2），a4＝eq\f(1＋a3,1－a3）＝eq\f（1－\f（1,2)，1＋\f（1,2）)＝eq\f(1，3），a5＝eq\f（1＋a4，1－a4)＝eq\f（1＋\f(1，3）,1－\f（1,3)）＝2＝a1，∴｛an}是周期为4的数列，∴a2018＝a4×504＋2＝a2＝－3。反思与感悟递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系．对于通项公式，已知n的值即可得到相应的项；而递推公式则要已知首项（或前几项),才可依次求得其他的项．若项数很大，则应考虑数列是否有规律性．跟踪训练2已知数列｛an}中,a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋1－an，试写出a3，a4，a5，a6,a7，a8,你发现数列｛an}具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第2018项?考点数列的递推公式题点周期数列问题解a1＝1,a2＝2，a3＝1，a4＝－1,a5＝－2，a6＝－1，a7＝1，a8＝2，…。发现：an＋6＝an，数列{an｝具有周期性，周期T＝6。证明如下：∵an＋2＝an＋1－an，∴an＋3＝an＋2－an＋1＝(an＋1－an)－an＋1＝－an。∴an＋6＝－an＋3＝－(－an)＝an。∴数列｛an｝是周期数列，且T＝6.∴a2018＝a336×6＋2＝a2＝2。命题角度2由递推公式求通项例3(1）对于任意数列{an}，等式：a1＋（a2－a1)＋(a3－a2）＋…＋(an－an－1)＝an（n≥2，n∈N*)都成立．试根据这一结论,完成问题:已知数列{an｝满足：a1＝1，an＋1－an＝2,求通项an;(2)若数列{an}中各项均不为零，则有a1·eq\f（a2,a1）·eq\f(a3，a2）·…·eq\f(an，an－1）＝an(n≥2，n∈N＊）成立．试根据这一结论，完成问题：已知数列｛an}满足：a1＝1，eq\f(an,an－1)＝eq\f(n－1,n)(n≥2，n∈N*），求通项an。考点数列的递推公式题点由递推公式求通项公式解（1)当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋（a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋＝2(n－1)＋1＝2n－1。a1＝1也符合上式，所以数列{an｝的通项公式是an＝2n－1。（2)当n≥2时，an＝a1·eq\f(a2，a1）·eq\f（a3，a2）·…·eq\f(an，an－1）＝1·eq\f（1，2)·eq\f(2，3）·…·eq\f（n－1，n）＝eq\f(1，n).a1＝1也符合上式，所以数列{an｝的通项公式是an＝eq\f（1,n)。反思与感悟形如an＋1－an＝f(n)的递推公式,可以利用a1＋(a2－a1）＋(a3－a2)＋…＋（an－an－1)＝an(n≥2，n∈N＊)求通项公式;形如eq\f(an＋1，an)＝f(n）的递推公式,可以利用a1·eq\f(a2，a1）·eq\f（a3,a2）·…·eq\f（an,an－1)＝an（n≥2，n∈N＊)求通项公式．以上方法分别叫累加法和累乘法．跟踪训练3已知数列｛an}满足a1＝－1,an＋1＝an＋eq\f（1，n）－eq\f(1，n＋1），n∈N*,求数列的通项公式an。考点数列的递推公式题点由递推公式求通项公式解∵an＋1－an＝eq\f（1,n)－eq\f（1，n＋1），∴a2－a1＝eq\f（1,1）－eq\f（1，2)，a3－a2＝eq\f(1,2)－eq\f(1，3），a4－a3＝eq\f(1，3）－eq\f（1，4)，…,an－an－1＝eq\f（1,n－1）－eq\f（1,n)（n≥2)，∴（a2－a1)＋（a3－a2）＋（a4－a3)＋…＋（an－an－1）＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（1－\f(1,2）））＋eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1,2)－\f(1,3)））＋…＋eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1,n－1)－\f(1,n)))，即an－a1＝1－eq\f(1,n)（n≥2）．∴an＝a1＋1－eq\f（1，n)＝－1＋1－eq\f（1,n)＝－eq\f(1，n）(n≥2)，又当n＝1时，a1＝－1，也符合上式．∴an＝－eq\f（1,n）,n∈N＊.1．数列1,3，6,10,15,…中an＝an－1＋________(n∈N＊且n>1)．考点数列的表示方法题点数列的表示方法答案n解析由已知得a2－a1＝2,a3－a2＝3,a4－a3＝4，a5－a4＝5，…，an＋1－an＝n＋1，n∈N*。2．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N*），则此数列的通项an＝________.考点数列的递推公式题点由递推公式求通项公式答案3－n解析∵an＋1－an＝－1.∴an＝a1＋（a2－a1）＋（a3－a2）＋…＋(an－an－1)＝2＋＝2＋（－1)×（n－1)＝3－n。3．用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是______________．考点数列的通项公式题点根据图形写出通项公式答案an＝2n＋1，n∈N*解析a1＝3，a2＝3＋2＝5，a3＝3＋2＋2＝7，a4＝3＋2＋2＋2＝9,…，∴an＝2n＋1，n∈N*。4．数列{xn｝中，若x1＝1,xn＋1＝eq\f(1,xn＋1）－1，则x2018＝______.考点数列的递推公式题点周期数列问题答案－eq\f(1，2）解析∵x1＝1，∴x2＝－eq\f(1，2)，∴x3＝1,∴数列{xn}的周期为2，∴x2018＝x2＝－eq\f(1，2）。1．｛an｝与an是不同的两种表示,{an｝表示数列a1，a2，…,an，…，是数列的一种简记形式．而an只表示数列｛an｝的第n项，an与{an｝是“个体”与“整体”的从属关系．2．数列的表示方法：（1）图象法；（2）列表法；(3)通项公式法；（4）递推公式法．3．通项公式和递推公式的区别：通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数,知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值an;而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个（或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an。一、填空题1．已知an＋1－an－3＝0，则数列{an}是递________数列．考点数列的性质题点判断或证明数列的单调性答案增解析an＋1－an＝3＞0,故数列｛an｝为递增数列．2．已知数列{an}的首项a1＝1，且满足an＋1＝eq\f(1,2）an＋eq\f（1，2n)，则此数列的第4项是________．考点数列的递推公式题点由递推公式求项答案eq\f（1,2)解析a2＝eq\f（1，2)a1＋eq\f(1，2）＝1;a3＝eq\f(1，2）a2＋eq\f（1，4)＝eq\f(3，4);a4＝eq\f(1,2）a3＋eq\f（1,8)＝eq\f（1,2).3．已知数列{an}中,an－1＝man＋1（n>1），且a2＝3，a3＝5,则实数m＝________。考点数列的递推公式题点由递推公式求项答案eq\f(2，5)解析由题意得a2＝ma3＋1，即3＝5m＋1，∴m＝eq\f(2，5).4．已知a1＝1，an＝an－1＋3(n≥2，n∈N＊），则数列的通项公式为______________．考点数列的递推公式题点由递推公式求通项公式答案an＝3n－2，n∈N＊解析∵an＝an－1＋3，∴an－an－1＝3。∴a2－a1＝3,a3－a2＝3，a4－a3＝3,…,an－an－1＝3，以上各式两边分别相加，得an－a1＝3（n－1），∴an＝a1＋3（n－1）＝1＋3（n－1）＝3n－2。5．若a1＝1，an＋1＝eq\f(an，3an＋1），则给出的数列{an}的第4项是________．考点数列的递推公式题点由递推公式求项答案eq\f(1,10)解析a2＝eq\f(a1,3a1＋1）＝eq\f(1,3＋1）＝eq\f(1,4），a3＝eq\f(a2,3a2＋1）＝eq\f（\f（1,4）,\f(3，4)＋1)＝eq\f(1,7),a4＝eq\f（a3,3a3＋1)＝eq\f(\f（1，7)，\f（3，7)＋1)＝eq\f（1,10).6．已知数列｛an｝中，an＝－2n2＋29n＋3，则数列中最大项的值是________．考点数列的性质题点求数列的最大项、最小项答案108解析由已知得an＝－2n2＋29n＋3＝－2eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（n－\f（29,4）））2＋108eq\f(1,8)，由于n∈N＊，故当n取距离eq\f（29，4)最近的正整数7时，an取得最大值108.∴数列｛an}中的最大项的值为a7＝108.7．已知数列{an｝中，a1＝2，an＝－eq\f（1,an－1)(n≥2），则a2018＝________.考点数列的递推公式题点周期数列问题答案－eq\f（1，2）解析∵a2＝－eq\f（1,a1)＝－eq\f（1,2)，a3＝－eq\f(1，a2)＝2，a4＝－eq\f（1，2)＝a2,∴｛an}的周期为2，∴a2018＝a2＝－eq\f(1，2）。8．若数列{an}满足（n－1)an＝（n＋1）an－1，且a1＝1，则a100＝________.考点数列的递推公式题点由递推公式求项答案5050解析由（n－1)an＝(n＋1）an－1，即eq\f（an，an－1）＝eq\f(n＋1，n－1），则a100＝a1·eq\f（a2,a1）·eq\f(a3,a2）·…·eq\f(a100,a99）＝1×eq\f（3，1)×eq\f(4，2）×…×eq\f（101，99）＝5050.9．已知数列｛an}满足：an≤an＋1，an＝n2＋λn,n∈N＊,则实数λ的最小值是________．考点数列的性质题点已知数列的单调性求参数的值或取值范围答案－3解析an≤an＋1⇔n2＋λn≤（n＋1)2＋λ(n＋1）⇔λ≥－(2n＋1),n∈N＊⇔λ≥－3。10．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律,可以得出第n个图中有________个点．考点数列的通项公式题点根据图形写出通项公式答案n2－n＋1解析图(1）只有1个点，无分支；图（2)除中间1个点外，有2个分支，每个分支有1个点;图(3）除中间1个点外，有3个分支，每个分支有2个点;图（4)除中间1个点外，有4个分支,每个分支有3个点;…猜想第n个图中除中间一个点外，有n个分支，每个分支有(n－1）个点，故第n个图中点的个数为1＋n（n－1)＝n2－n＋1.二、解答题11．根据下列条件，写出数列的前4项,并归纳猜想它的通项公式．（1）a1＝0，an＋1＝an＋2n－1(n∈N*）；(2）a1＝1，an＋1＝an＋eq\f(an，n＋1)（n∈N＊);考点数列的递推公式题点由递推公式求通项公式解(1）a1＝0，a2＝1，a3＝4，a4＝9.猜想an＝(n－1)2（n∈N*）．(2)a1＝1，a2＝eq\f(3,2),a3＝eq\f(4,2）＝2，a4＝eq\f（5,2).猜想an＝eq\f（n＋1,2)（n∈N＊）．12．已知数列{an}满足a1＝eq\f(1,2），anan－1＝an－1－an，求数列｛an}的通项公式．考点数列的递推公式题点由递推公式求通项公式解∵anan－1＝an－1－an，∴eq\f(1,an）－eq\f(1，an－1)＝1.∴当n≥2时，eq\f（1,an)＝eq\f(1,a1)＋eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，a2）－\f（1,a1））)＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,a3）－\f(1，a2)）)＋…＋eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，an)－\f(1,an－1)））＝2＋＝n＋1.∴eq\f（1，an）＝n＋1，∴当n≥2时,an＝eq\f(1，n＋1)。a1＝eq\f（1,2）也符合上式，∴an＝eq\f(1，n＋1)（n∈N＊）．13．已知数列｛an｝满足：a1＝m（m为正整数),an＋1＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（\f(an，2）,an为偶数，，3an＋1,an为奇数。））若a6＝1，求m所有可能的取值．考点数列的递推公式题点递推公式其他应用解若a5为奇数,则3a5＋1＝1，a5＝0（