2018-2019数学新学案同步必修四北师大版讲义：第一章 三角函数7

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精§7正切函数学习目标1。理解任意角的正切函数的定义.2。能画出y＝tanxeq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(x∈R，x≠\f（π,2)＋kπ，k∈Z）)的图像.3。理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性，及其在区间eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（π，2），\f(π，2）))内的单调性。4.正切函数诱导公式的推导及应用。知识点一正切函数的定义思考1设角α的终边与单位圆交于点P(a，b）,那么eq\f(b,a)何时有意义？答案当a≠0时，eq\f(b,a）有意义.思考2正切函数与正弦、余弦函数有怎样的关系？答案tanα＝eq\f（sinα,cosα)eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（α∈R，α≠\f(π，2)＋kπ，k∈Z)）.梳理(1)任意角的正切函数如果角α满足：α∈R,α≠eq\f(π，2)＋kπ(k∈Z)，那么，角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，唯一确定比值eq\f（b,a)，我们把它叫作角α的正切函数,记作y＝tanα，其中α∈R，α≠eq\f（π，2)＋kπ，k∈Z.（2)正切函数与正弦、余弦函数的关系根据定义知tanα＝eq\f（sinα,cosα)（α∈R，α≠eq\f（π,2)＋kπ，k∈Z）。(3）正切值在各象限的符号根据定义知，当角在第一和第三象限时,其正切函数值为正；当角在第二和第四象限时，其值为负.知识点二正切线思考正切线是过单位圆上哪一点作出的?答案过单位圆与x轴的非负半轴的交点A（1，0)。梳理如图所示，线段AT为角α的正切线.知识点三正切函数的图像与性质思考1正切函数的定义域是什么?答案eq\b\lc\{\rc\｝(\a\vs4\al\co1（x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x∈R,x≠\f（π，2)＋kπ，k∈Z)））).思考2能否说正切函数在整个定义域内是增函数？答案不能.正切函数y＝tanx在每段区间eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（kπ－\f（π,2),kπ＋\f（π,2）））(k∈Z）上是增函数,但不能说正切函数在其整个定义域内是增函数.梳理解析式y＝tanx图像定义域eq\b\lc\｛\rc\｝(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\｜\rc\(\a\vs4\al\co1(x∈R，x≠kπ＋\f(π,2）,k∈Z)))）值域R周期最小正周期是π奇偶性奇函数对称中心eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（kπ,2),0)），k∈Z单调性在开区间eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(π，2)＋kπ，\f(π，2)＋kπ)）(k∈Z）上是增加的知识点四正切函数的诱导公式思考前面我们学习过π±α,－α,eq\f(π，2)±α，2π±α等的正弦、余弦的诱导公式,并总结出“奇变偶不变，符号看象限"的记忆口诀.对正切函数能适用吗？答案因为tanα＝eq\f（sinα，cosα）eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（α∈R,α≠kπ＋\f（π，2）,k∈Z)），所以口诀对正切函数依然适用.梳理函数角y＝tanx记忆口诀kπ＋αtanα函数名不变，符号看象限2π＋αtanα－α－tanαπ－α－tanαπ＋αtanαeq\f（π，2)＋α－cotα函数名改变，符号看象限eq\f(π，2）－αcotα类型一正切函数的概念例1若角θ的终边经过点Aeq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（4,5）,m））,且tanθ＝eq\f（3,4),则m＝.考点正切函数的定义题点已知正切值求参数答案－eq\f(3，5)解析由正切函数的定义得,eq\f(m，－\f（4,5))＝eq\f（3，4)，解得m＝－eq\f(3,5).反思与感悟（1)解决本题的关键是熟记正切函数的定义,即tanα＝eq\f（b,a).(2)已知角终边上的一点M（a，b）(a≠0)，求该角的正切函数值，或者已知角α的正切值,求角α终边上一点的坐标，都应紧扣正切函数的定义求解，在解题过程中，应注意分子、分母的位置.跟踪训练1已知点P(－2a，3a)（a≠0）是角θ终边上的一点,求tanθ的值。考点正切函数的定义题点由定义求正切值解由于a≠0，∴tanθ＝eq\f（3a，－2a）＝－eq\f（3,2)。类型二正切函数的图像及性质例2画出函数y＝|tanx|的图像，并根据图像判断其单调区间、奇偶性、周期性。考点正切函数的图像及性质题点正切函数的图像及性质综合解由y＝｜tanx｜,得y＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（tanx，kπ≤x<kπ＋\f（π,2)k∈Z，,－tanx,－\f(π,2）＋kπ〈x<kπk∈Z,)）其图像如图所示。由图像可知，函数y＝｜tanx|是偶函数，递增区间为eq\b\lc\［\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ，kπ＋\f(π，2)））（k∈Z），递减区间为eq\b\lc\(\rc\]（\a\vs4\al\co1(－\f（π,2)＋kπ,kπ））(k∈Z），周期为π.反思与感悟(1)作出函数y＝｜f（x)|的图像一般利用图像变换方法，具体步骤是：①保留函数y＝f（x）图像在x轴上方的部分；②将函数y＝f（x)图像在x轴下方的部分沿x轴向上翻折。（2）若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图像，再利用周期性,延拓到定义域上即可.跟踪训练2将本例中的函数y＝|tanx|改为y＝tan｜x｜,回答同样的问题,结果怎样?考点正切函数的图像及性质题点正切函数的图像及性质综合解由于y＝tan|x|＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(tanxx≥0,，tan－xx<0.))其图像如下:由图像可知,函数y＝tan|x|是偶函数，递增区间为eq\b\lc\［\rc\)（\a\vs4\al\co1（0，\f(π，2））)，eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（kπ－\f(π,2)，kπ＋\f（π,2））)（k为正整数），递减区间为eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2）,kπ＋\f(π，2）)）(k为负整数）和eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(π，2)，0）），不是周期函数。类型三正切函数诱导公式的应用例3求下列各式的值。(1)7cos270°＋3sin270°＋tan765°；（2）eq\f（tan225°＋tan750°,tan－30°－tan－45°）。考点正切函数的诱导公式题点利用诱导公式求值解（1)原式＝7cos（180°＋90°)＋3sin（180°＋90°)＋tan（2×360°＋45°)＝－7cos90°－3sin90°＋tan45°＝0－3×1＋1＝－2.(2)原式＝eq\f（tan180°＋45°＋tan2×360°＋30°，－tan30°＋tan45°）＝eq\f(tan45°＋tan30°，tan45°－tan30°)＝eq\f（1＋\f（\r(3），3）,1－\f（\r(3）,3））＝2＋eq\r(3).反思与感悟(1）熟记诱导公式和特殊角的三角函数值是解决此类问题的基础和关键。（2)无条件求值,又称给角求值,关键是利用诱导公式将任意的三角函数值转化为锐角的三角函数值。跟踪训练3eq\f（cos190°·sin－210°,cos－350°·tan－585°)。考点同名诱导公式的综合应用题点同名诱导公式的综合应用解原式＝eq\f（cos180°＋10°·［－sin180°＋30°]，cos－360°＋10°·［－tan360°＋225°］）＝eq\f（－cos10°·sin30°,cos10°·[－tan180°＋45°])＝eq\f（－sin30°,－tan45°）＝eq\f（1，2)。1。函数y＝taneq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（2x＋\f（π,6)))的最小正周期是(）A.πB.2πC。eq\f(π,2）D.eq\f（π，6)考点正切函数的周期性题点求正切函数的周期答案C解析最小正周期为T＝eq\f(π，｜ω｜)＝eq\f(π，2).2。函数f(x）＝taneq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(x＋\f（π,4）))的递增区间为(）A。eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（kπ－\f（π，2），kπ＋\f（π,2)）)，k∈Z B。（kπ，(k＋1）π），k∈ZC.eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(kπ－\f（3π，4),kπ＋\f(π，4))）,k∈Z D.eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(kπ－\f（π，4）,kπ＋\f(3π,4）))，k∈Z考点正切函数的单调性题点求正切函数的单调区间答案C3。在下列函数中同时满足:①在eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(0，\f(π，2))）上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是()A。y＝tanx B。y＝cosxC.y＝taneq\f（x，2） D。y＝－tanx考点正切函数的性质题点正切函数性质的综合答案C4。函数y＝tanx＋eq\f（1,tanx)是（）A。奇函数B。偶函数C。既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数考点正切函数的周期性、对称性题点正切函数的奇偶性答案A解析函数的定义域是eq\b\lc\{\rc\｝(\a\vs4\al\co1（x\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1（x≠\f(1，2)kπ，k∈Z）)）），且tan(－x)＋eq\f(1,tan－x）＝－tanx－eq\f(1,tanx）＝－eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（tanx＋\f(1,tanx）)），所以函数y＝tanx＋eq\f（1,tanx）是奇函数。5。将tan1，tan2，tan3按大小排列为.(用“〈”连接)考点正切函数的单调性题点正切函数单调性的应用答案tan2〈tan3〈tan1解析tan2＝tan(2－π），tan3＝tan(3－π），∵－eq\f(π，2)〈2－π〈3－π〈1〈eq\f(π,2）,且y＝tanx在eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(π，2),\f（π，2)）)上是增加的，∴tan(2－π）〈tan(3－π)<tan1，即tan2<tan3<tan1。1.正切函数的图像正切函数有无数多条渐近线,渐近线方程为x＝kπ＋eq\f（π,2)，k∈Z，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且是增加的.2。正切函数的性质（1)正切函数y＝tanx的定义域是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1（x\b\lc\|\rc\（\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2),k∈Z））)），值域是R.(2)正切函数y＝tanx的最小正周期是π，函数y＝Atan（ωx＋φ)(A,ω≠0）的周期为T＝eq\f（π，|ω|)。(3)正切函数在eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（π，2)＋kπ，\f（π，2）＋kπ）)（k∈Z)上是增加的，不能写成闭区间，正切函数无递减区间。一、选择题1.函数y＝taneq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（x＋\f(π,5）)),x∈R且x≠eq\f（3,10)π＋kπ，k∈Z的一个对称中心是()A.(0，0) B。eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π，5），0））C.eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(4,5）π，0）） D.(π,0)考点正切函数的对称性题点求正切函数的对称中心答案C2.函数f（x）＝2tan(－x)是（）A.奇函数 B。偶函数C.奇函数，也是偶函数 D。非奇非偶函数考点正切函数的奇偶性题点正切函数的奇偶性答案A解析因为f(－x）＝2tanx＝－2tan（－x)＝－f(x)，且f(x）的定义域关于原点对称,所以函数f(x）＝2tan（－x）是奇函数.3.满足tanA〉－1的三角形的内角A的取值范围是(）A.eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(0，\f（3,4）π））B。eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(0，\f（π，2）))∪eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(π，2)，\f(3，4)π）)C。eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（3,4)π，π）)D.eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π，2））)∪eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(3，4）π，π））考点正切函数的单调性题点利用正切函数的单调性解不等式答案D解析因为A为三角形的内角，所以0<A〈π.又tanA>－1，结合正切曲线得A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（0，\f(π,2)））∪eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(3π,4)，π)）.4.下列各点中,不是函数y＝taneq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（π，4)－2x))的图像的对称中心的是（）A.eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(π，8)，0)）B.eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f(π,8),0））C.eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(π，4）,0)）D。eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f(3,8)π，0）)考点正切函数的对称性题点求正切函数的对称中心答案C解析令eq\f（π，4）－2x＝eq\f(kπ，2)，k∈Z,得x＝eq\f(π,8)－eq\f(kπ,4)(k∈Z)。令k＝0，得x＝eq\f（π,8);令k＝1，得x＝－eq\f（π,8）；令k＝2，得x＝－eq\f(3π，8).故选C。5。A.0B。1C.－1D.eq\f(π，4)考点正切函数的图像及应用题点正切函数的图像及应用答案A解析由题意,得T＝eq\f(π,ω）＝eq\f（π,4），∴ω＝4。∴f(x)＝tan4x，f

eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（π，4))）＝tanπ＝0.6.下列关于函数y＝taneq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π，3)））的说法正确的是(）A。在区间eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（π,6)，\f（5π，6)）)上是增加的B.最小正周期是πC。图像关于点eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（π，4)，0)）成中心对称D.图像关于直线x＝eq\f(π,6）成轴对称考点正切函数的图像及应用题点正切函数的图像与性质的综合问题答案B解析令kπ－eq\f(π，2)<x＋eq\f（π，3）〈kπ＋eq\f（π,2),解得kπ－eq\f(5π,6）<x〈kπ＋eq\f(π，6)，k∈Z，显然eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5π,6））)不满足上述关系式，故A错误；易知该函数的最小正周期为π，故B正确;令x＋eq\f(π，3)＝eq\f（kπ,2），解得x＝eq\f（kπ，2）－eq\f（π,3），k∈Z，任取k值不能得到x＝eq\f(π,4)，故C错误；正切函数曲线没有对称轴，因此函数y＝taneq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（x＋\f（π,3)））的图像也没有对称轴，故D错误.故选B。7.已知f（α）＝eq\f(sinπ－αcos2π－αtan\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－α＋\f（3π,2)）)，cos－π－α)，则f

eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(31，3）π))的值为()A.eq\f（1,2）B.－eq\f(1，2）C。eq\f（\r(3),2)D。－eq\f(\r（3），2）考点三角函数的诱导公式题点利用诱导公式求值答案B解析由于taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α＋\f（3π,2)))＝eq\f（sin\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－α＋\f(3π，2)））,cos\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－α＋\f(3π,2)）））＝eq\f(－cosα，－sinα）＝eq\f(cosα,sinα）,所以f（α）＝eq\f(sinαcosα·\f(cosα,sinα）,－cosα)＝－cosα,则f

eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(31，3）π))＝－coseq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(31，3)π））＝－coseq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(－10π－\f(π，3)））＝－coseq\f(π,3）＝－eq\f（1,2）.二、填空题8。函数y＝3taneq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（3x＋\f（π,4)）)的对称中心的坐标是.考点正切函数的对称性题点求正切函数的对称中心答案eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(kπ，6）－\f(π,12），0)）(k∈Z）解析由3x＋eq\f(π，4）＝eq\f(kπ，2）（k∈Z）,得x＝eq\f（kπ，6）－eq\f（π，12）（k∈Z），所以对称中心的坐标为eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（kπ,6）－\f(π,12)，0)）（k∈Z）。9.函数y＝－tan2x＋4tanx＋1，x∈eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1(－\f（π,4），\f(π,4））)的值域为.考点正切函数的值域题点正切函数的值域答案[－4，4］解析∵－eq\f(π,4）≤x≤eq\f(π，4),∴－1≤tanx≤1.令tanx＝t，则t∈［－1,1],∴y＝－t2＋4t＋1＝－（t－2)2＋5.∴当t＝－1，即x＝－eq\f（π，4）时，ymin＝－4,当t＝1，即x＝eq\f（π，4)时，ymax＝4。故所求函数的值域为[－4，4］.10.函数y＝3taneq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π，6）））的最小正周期是eq\f（π，2），则ω＝.考点正切函数的周期性题点求正切函数的周期答案±2解析T＝eq\f(π，|ω|）＝eq\f（π,2),∴ω＝±2。三、解答题11。判断函数f（x）＝lgeq\f（tanx＋1,tanx－1）的奇偶性。考点正切函数的奇偶性题点判断正切函数的奇偶性解由eq\f(tanx＋1，tanx－1）>0,得tanx〉1或tanx<－1。∴函数定义域为eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(kπ－\f（π，2)，kπ－\f(π，4）)）∪eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(kπ＋\f（π，4），kπ＋\f（π，2))）(k∈Z）,关于原点对称。f（－x）＋f（x)＝lgeq\f（tan－x＋1,tan－x－1)＋lgeq\f(tanx＋1，tanx－1)＝lgeq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(－tanx＋1,－tanx－1）·\f(tanx＋1,tanx－1))）＝lg1＝0。∴f（－x)＝－f（x），∴f(x)是奇函数。12。求函数y＝taneq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（x，2）－\f(π,3)))的定义域、周期、单调区间和对称中心。考点正切函数的图像及应用题点正切函数的图像与性质的综合问题解①由eq\f(x,2）－eq\f(π,3)≠kπ＋eq\f（π，2）,k∈Z，得x≠2kπ＋eq\f(5π，3），k∈Z.∴函数的定义域为eq\b\lc\｛\rc\}(\a\vs4\al\co1（x\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1(x∈R且x≠2kπ＋\f(5π，3)，k∈Z)）)).②∵T＝eq\f(π，\f(1,2）)＝2π，∴函数的周期为2π.③由kπ－eq\f（π，2）<eq\f(x,2)－eq\f(π，3）〈kπ＋eq\f(π，2)，k∈Z,解得2kπ－eq\f（π,3）〈x〈2kπ＋eq\f（5π，3），k∈Z。∴函数的递增区间为eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(2kπ－\f（π,3)，2kπ＋\f(5π,3)))，k∈Z.④由eq\f（x,2）－eq\f（π,3）＝eq\f(kπ,2),k∈Z,得x＝kπ＋eq\f(2π,3），k∈Z.∴函数的对称中心是eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(2π，3）,0）），k∈Z.13。已知角α的终边经过点Peq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（4，5），－\f(3，5)）)。（1）求sinα的值；(2）求eq\f(sin\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(π，2)－α)）,sinα＋π)·eq\f（tanα－π，cos3π－α）的值.考点三角函数定义与诱导公式题点三角函数定义与诱导公式解(1)∵｜OP|＝eq\r(\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（4，5)）)2＋\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f(3，5）)）2）＝1,∴sinα＝eq\f（