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文档简介

§5.2拉普拉斯变换一、定义设函数当时有定义，且积分

在S的某一域内收敛,则

称为函数的拉氏变换，记为

LL称为的拉氏变换(像函数)。

拉氏变换的存在定理若函数满足：

1)在t≥0的任一有限区间上分段连续；

使得时

成立，则的拉氏变换

在半平面Re(s)>c上一定存在，此时右端积分绝对且一致收敛，在此平面内F(s)为解析函数。

证明（略）若F(s)是f(t)的拉氏变换，可推出

此积分沿着任一直线称此式为的拉氏逆变换（反演公式），记为

L称为的像原函数。

例1

求下列几个初等函数的拉氏变换

LLLLLL二、拉氏变换的性质１、线性性质：若为常数LLLL2、相似性质LLL例2．

如果,利用相似性质有L如果则有LL3、位移性质LLL如果，则有

LLL例3.如果，则有4、延迟性质若为非负实数，有LL拉氏逆变换有

L5、微分性质设分段连续，则LLLL其中,这是由于

推论：若,则有LL特别，当初值有L象函数的微分性质，若,则LLL一般地，有

L例4若，则有LL6.积分性质若则LL同理由，可得

LL由微分性质有

又

LLLLLL故L推论

L7、卷积性质卷积定义：若满足拉氏变换存在条件，称积分为的卷积。记为，即实质上傅氏变换的卷积与拉氏变换的卷积的定义一致。

这是因为

卷积满足交换律、结合律和分配律，即

卷积定理若则LLL或

LL一般若,则LL卷积性质在求拉氏逆变换时，起着十分重要的作用。

例5

若，求.

解：因

根据卷积的性质，得

而LL在运用拉氏变换求解定解问题时，需要由像函数求它的像原函数，即利用公式右端积分称为拉氏反演积分。下面的定理将提供计算这种反演积分的方法。

定理：若是函数的所有奇点

（适当选取，使这些奇点全在的范围内），且当

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