2018-2019数学新学案同步必修三苏教版讲义：第2章 统计2.3.1

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精§2.3总体特征数的估计2．3。1平均数及其估计学习目标1.了解平均数为什么是“最理想"的近似值.2.会计算一组数据的平均数。3。会根据频率分布表或频率分布直方图估计平均数．知识点一平均数思考处理实验数据的原则是使近似值与实验数据越接近越好．但是实验数据往往很多,怎么刻画“最近”呢？答案设近似值为x，实验数据为ai(i＝1,2，…，n），因为x－ai有正有负,故用（x－a1）2＋（x－a2）2＋…＋(x－an)2来刻画近似值与实验数据最接近．梳理（1)一般地，使(x－a1）2＋(x－a2)2＋…＋（x－an)2＝nx2－2（a1＋a2＋…＋an)x＋aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2，2）＋…＋aeq\o\al(2，n)，最小的x＝eq\f（a1＋a2＋…＋an,n)称为这个n个数据a1，a2，…,an的平均数或均值．(2)n个数据a1，a2，a3，…，an的平均数eq\x\to(a）＝eq\f（a1＋a2＋a3＋…＋an,n)。知识点二平均数的估计思考在频率分布表里，还能看到原始数据吗？怎样根据频率分布表计算平均数?答案在频率分布表里,已看不到原始数据,但可用各区间的组中值近似地表示．梳理一般地，若取值为x1，x2，…，xn的频率分别为p1，p2，…，pn,则其平均数为eq\x\to（x）＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.知识点三总体特征数1．总体特征数的定义在数学中，通常把能反映总体某种特征的量称为总体特征数．2．常见的总体特征数（1)众数：一组数据中出现次数最多的数．(2)中位数：一组数据按大小顺序排列后,处于中间位置的数．如果数据的个数是偶数，则取中间两个数的平均数．（3)平均数：n个数据x1，x2，x3，…，xn,则平均数eq\x\to(x）＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn，n)。1．中位数是一组数据中间的数．（×）2．众数是一组数据中出现次数最多的数．（√)3．如果在n个数据中，x1,x2，…,xn出现的频率分别为f1，f2,…,fn，则eq\x\to(x)＝eq\f(x1f1＋x2f2＋…＋xnfn，n）.（×）类型一平均数的计算例1一个球队所有队员的身高如下(单位：cm）：178,179，181,182，176,183，176,180,183，175,181，185,180,184，问这个球队的队员平均身高是多少？（精确到1cm）解方法一利用平均数的公式计算．eq\x\to（x)＝eq\f（1,14）×（178＋179＋181＋…＋180＋184）＝eq\f(1，14)×2523≈180（cm)．方法二取a＝180，将上面各数据同时减去180，得到一组新数据:－2,－1,1,2,－4,3，－4,0,3,－5，1,5,0，4。eq\x\to(x)′＝eq\f（1,14）×(－2－1＋1＋2－4＋3－4＋0＋3－5＋1＋5＋0＋4）＝eq\f（1,14)×3＝eq\f(3，14)≈0.2，∴eq\x\to（x)＝eq\x\to（x）′＋a＝0。2＋180≈180（cm）．反思与感悟（1)在一般情况下，要计算一组数据的平均数可使用“方法一"这个公式．（2）当数据较大,且大部分数据在某一常数左、右波动时，“方法二"可以减少运算量,故此法比较简便．跟踪训练1在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如下表所示：成绩(单位：m)1。501.601。651。701.751。801.851.90人数23234111求这些运动员成绩的平均数．解平均数是eq\x\to（x）＝eq\f(1,17)(1.50×2＋1.60×3＋1.65×2＋1。70×3＋1。75×4＋1。80×1＋1。85×1＋1.90×1)＝eq\f（28。75,17）≈1。69(m）．类型二利用频率分布表或直方图估计平均数例2下面是某校学生日睡眠时间（单位：h）的抽样频率分布表,试估计该校学生的日平均睡眠时间。睡眠时间人数频率[6,6。5）50.05[6.5,7)170。17[7，7.5)330.33[7。5，8）370。37［8,8.5)60。06［8。5，9］20。02合计1001解方法一总睡眠时间约为6.25×5＋6.75×17＋7。25×33＋7.75×37＋8。25×6＋8.75×2＝739(h）．故平均睡眠时间约为7.39h。方法二求组中值与对应频率之积的和．6．25×0。05＋6。75×0.17＋7。25×0.33＋7。75×0.37＋8.25×0.06＋8.75×0。02＝7。39（h）．答估计该校学生的日平均睡眠时间约为7。39h.反思与感悟一般地，若取值为x1，x2，…,xn的频率分别为p1，p2，…,pn，则其平均数为x1p1＋x2p2＋…＋xnpn。跟踪训练2一批乒乓球，随机抽取100个进行检查，球的直径频率分布直方图如图．试估计这个样本的平均数．解平均数为39.96×0.1＋39。98×0。2＋40×0.5＋40。02×0。2＝39.996.类型三众数、中位数、平均数的简单应用例3某公司的33名职工的月工资(单位:元）如下表：职位董事长副董事长董事总经理经理管理员职员人数11215320工资5500500035003000250020001500(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；（2）若董事长、副董事长的工资分别从5500元、5000元提升到30000元、20000元，那么公司职工的月工资的新的平均数、中位数和众数又是什么？（3）你认为哪个统计量更能反映这个公司职工的工资水平？解（1)公司职工月工资的平均数为eq\x\to（x)＝eq\f（5500＋5000＋3500×2＋3000＋2500×5＋2000×3＋1500×20,33)＝eq\f(69000，33）≈2091（元)．若把所有数据从大到小排序,则得到中位数是1500元，众数是1500元．（2)若董事长、副董事长的工资提升后,职工月工资的平均数为eq\x\to(x）＝eq\f(30000＋20000＋3500×2＋3000＋2500×5＋2000×3＋1500×20,33）＝eq\f(108500，33）≈3288(元)．中位数是1500元,众数是1500元．（3）在这个问题中,中位数和众数都能反映出这个公司职工的工资水平，因为公司少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司职工的工资水平．反思与感悟如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在许多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值．在实际应用中，如果同时知道样本中位数和样本平均数，可以使我们了解样本数据中极端数据的信息，帮助我们作出决策．跟踪训练3今年西南一地区遭遇严重干旱,某乡计划向上级申请支援，为上报需水量，乡长事先抽样调查了100户村民的月均用水量，得到这100户村民月均用水量的频率分布表如表所示：(月均用水量的单位：吨)月均用水量分组频数频率[0.5,2.5）12［2.5，4.5)[4。5,6.5)40［6。5,8。5）0.18［8.5，10。5]6合计1001（1)请完成该频率分布表，并画出相对应的频率分布直方图和频率分布折线图;(2）估计样本的中位数是多少？(3)已知上级将按每户月均用水量向该乡调水，若该乡共有1200户，请估计上级支援该乡的月调水量是多少吨？解（1）频率分布表与相应的频率分布直方图和频率分布折线图如下:月均用水量分组频数频率［0。5，2.5)120。12［2。5,4.5）240.24［4。5,6.5）400。40［6。5，8.5)180.18［8.5，10。5］60。06合计1001（2）设中位数为x,因为月均用水量在［0。5,4.5)内的频率是(0.06＋0。12）×2＝0.36，月均用水量在[0.5,6.5）内的频率是(0.06＋0.12＋0.20）×2＝0.76,所以x∈［4.5，6.5）,则（x－4。5）×0。20＝0。5－0。36,解得x＝5。2。故样本的中位数是5。2。(3）该乡每户月均用水量估计为1．5×0。12＋3.5×0。24＋5.5×0。40＋7。5×0.18＋9。5×0。06＝5。14（吨）．5．14×1200＝6168(吨）．所以估计上级支援该乡的月调水量是6168吨．1．下列说法错误的是________．（填序号）①在统计里，把所需考察对象的全体叫作总体;②一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据;③平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势；④众数是一组数据中出现次数最多的数．答案②解析平均数不大于最大值,不小于最小值．2．下面是高一八班十位同学的数学测试成绩：82，91,73，84，98，99,101，118，98,110,则该组数据的中位数是________．答案98解析将这组数据按从小到大排列为73，82,84，91,98,98，99,101，110，118，则最中间的两个数为98,98，故中位数是eq\f（1，2）(98＋98）＝98.3．一个样本数据按从小到大的顺序排列为13，14,19,x，23,27,28，31，其中位数为22,则x为________．答案21解析数据个数为偶数时，中位数为中间两数的平均值eq\f(x＋23，2)＝22，所以x＝21。4．某高校有甲，乙两个数学建模兴趣班，其中甲班40人，乙班50人．现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分,乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是______分．答案85解析平均成绩为eq\f（40×90＋50×81,90）＝85（分)．5．样本容量为100的频率分布直方图如图所示,根据样本频率分布直方图,则平均数为________．答案14.84解析平均数eq\x\to（x）＝10×0。06＋12×0.1＋14×0。4＋16×0.24＋18×0。2＝14。84.1．能反映总体某种特征的量称为总体特征数，如平均数，中位数,使总体特征数通常难以获得,故常以样本特征数估计总体特征数．2．平均数是离差的平方和最小的近似值，计算器、计算机均有专门的程序，手工计算要细致,不要漏加或重复．3．若数据xi的频率为pi（i＝1，2，…，n），则eq\x\to（x）＝eq\i\su(i＝1，n，x）ipi,该值公式可以用在频率分布表中估计平均数．一、填空题1．某学习小组在一次数学测验中,得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人,85分的有4人，80分和75分的各有1人,则该小组成绩的平均数为________．答案87解析平均数是eq\f(1,10）×(100＋95＋2×90＋4×85＋80＋75）＝87。∴平均数是87.2．已知一组数据为－3,5，7,x，11，且这组数据的众数为5,那么数据的中位数是________．答案5解析这组数据的众数为5，则5出现的次数最多，所以x＝5，那么这组数据从小到大排列为－3,5，5，7,11，则中位数为5。3．已知10名工人生产同一零件，生产的件数分别是16，18，15,11，16,18，18，17,15，13，设其平均数为a,中位数为b，众数为c，则a，b，c的大小关系为________．答案c〉b>a解析由题意a＝eq\f（1,10)（16＋18＋15＋11＋16＋18＋18＋17＋15＋13）＝eq\f（157,10)＝15。7,中位数为16,众数为18,即b＝16，c＝18，所以c〉b〉a.4．某台机床加工的1000只产品中次品数的频率分布如下表：次品数01234频率0。50.20.050。20。05则次品数的众数，平均数依次为________．答案0，1。1解析由于次品数为0的频率最大，所以众数为0；数据xi出现的频率为pi（i＝1，2,…，n)，则x1,x2，…，xn的平均数为x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝0×0.5＋1×0.2＋2×0。05＋3×0.2＋4×0。05＝1。1.5．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差为________．答案－3解析少输入90，eq\f(90，30）＝3，平均数少3,求出的平均数减去实际的平均数等于－3.6．有容量为100的样本,数据分组及各组的频数、频率如下：［12.5,14。5），6,0。06；［14。5,16。5），16，0.16；［16.5，18.5），18，0。18;[18.5，20.5)，22，0.22；［20。5，22.5），20,0.20；［22。5，24。5),10，0.10;[24。5,26。5），8，0。08.则估计总体的平均数为________．答案19.42解析由于每组数据是一个范围，所以可以用组中值近似地表示平均数．方法一总体的平均数约为eq\f(1，100)（13。5×6＋15。5×16＋17。5×18＋19。5×22＋21。5×20＋23.5×10＋25。5×8)＝19。42。故总体的平均数约为19.42.方法二组中值与对应频率积的和为13.5×0.06＋15.5×0.16＋17。5×0.18＋19。5×0。22＋21。5×0。20＋23。5×0。10＋25。5×0。08＝19。42.故总体的平均数约为19.42。7．某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组,绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0。30，0.40，0.15，0。10，0.05.则估计高一参赛学生的成绩的众数、中位数分别为________，________。答案6565解析由图可知众数为65,又∵第一个小矩形的面积为0。3，∴设中位数为60＋x，则0。3＋x×0。04＝0。5，得x＝5，∴中位数为60＋5＝65.8．已知样本数据x1，x2，…，x10,其中x1，x2，x3的平均数为a，x4，x5,x6，…，x10的平均数为b，则样本数据的平均数为________．答案eq\f(3a＋7b,10）解析前3个数据的和为3a，后7个数据的和为7b，样本平均数为10个数据的和除以10。9．某商店的大米价格是3。00元/千克,面粉价格是3.60元/千克，大米与面粉的销量分别是1000千克，500千克，则该商店出售的粮食的平均价格是______元/千克．答案3.20解析平均价格为eq\f（1,1500)（3。60×500＋3.00×1000）＝1。20＋2.00＝3.20(元/千克)．10．若有一个企业，70%的员工年收入1万，25％的员工年收入3万，5％的员工年收入11万，则该企业员工的年收入的平均数是________万，中位数是________万，众数是________万．答案211解析年收入的平均数是1×70％＋3×25％＋11×5%＝2(万)．中位数与众数都是1万．11．某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1∶2∶1，用分层抽样方法(每个分厂的产品为一层）从3个分厂生产的电子产品中共抽取100件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980h，1020h,1032h，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为________h.答案1013解析依题意可知平均数eq\x\to（x）＝eq\f(980×1＋1020×2＋1032×1，1＋2＋1)＝1013（h)．二、解答题12．某地区全体九年级的3000名学生参加了一次科学测试,为了估计学生的成绩，从不同学校的不同程度的学生中抽取了100名学生的成绩如下：100分12人，90分30人，80分18人,70分24人，60分12人，50分4人．请根据以上数据估计该地区3000名学生的平均分、合格率（60或60分以上均属合格)．解平均分为eq\f(100×12＋90×30＋80×18＋70×24＋60×12＋50×4，100)＝79。40(分)，（12＋30＋18＋24＋12）÷100＝96％，所以样本的平均分是79。40分，合格率是96％，由此来估计总体3000名学生的平均分是79。40分，合格率是96％。13．为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药,B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药,这40位患者在服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h),试验的观测结果如下:服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0．61。22。71.52。81。82.22.33.23．52.52。61。22.71.52.93.03。12．32。4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间:3．21.71.90.80。92.41。22。61。31．41。60。51.80.62.11。12.51。22．70。5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看,哪种药的疗效更好？(2)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看，哪种药的疗效更好?解（1)eq\x\to(x)A＝eq\f(1，20)(0.6＋1。2＋2。7＋1。5＋2.8＋1.8＋2。2＋2.3＋3.2＋3。5＋2.5＋2。6＋1。2＋2.7＋1。5＋2。9＋3.0＋3。1＋2。3＋2。4)＝2.3(h）．eq\x\to（x）B＝eq\f（1，20)（3.2＋1。7＋1。9＋0。8＋0.9＋2。4＋1。2＋2。6＋1.3＋1。4＋1。6＋0。5＋1.8＋0。6＋2。1＋1.1＋2.5＋1.2＋2.7＋0.5）＝1。6（h）．从计算结果看,A药服用者的睡眠时间增加的平均数大于服用B药的，所以A药的疗效更好．(2）从茎叶图看,A药的疗效更好．三、探究与拓展14．某班有四个学习小组,各小组人数分别为10,10，x，8,已知这组数据的中位数与平均数相等，求这组数据的中位数．解该组数据的平均数为eq\f（1,4)（10＋10＋x＋8）＝eq\f(1,4）（28＋x)，中位数是这4个数按从小到大的顺序排列后处在最中间两个数的平均数．(1）当x≤8时，原数据从小到大排序为x，8，10,10,中位数是9，由eq\f(1,4）(28＋x)＝9，得x＝8，符合题意,此时中位数是9；(2）当8＜x≤10时，原数据从小到大排序为8,x,10,10,中位数是eq\f（1，2）(x＋10），由eq\f（1,4）（28＋x)