2018-2019数学新学案同步必修二人教B版全国通用版讲义：第二章 平面解析几何初步2.2.1VIP

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精§2。2直线的方程2。2。1直线方程的概念与直线的斜率学习目标1。了解直线的方程、方程的直线的概念。2。理解直线的倾斜角、斜率，掌握过两点的直线的斜率公式.3。体会用斜率和倾斜角刻划直线的倾斜程度，并掌握它们之间的关系．知识点一直线的方程与方程的直线对于y＝2x＋1的图象,观察并思考以下问题：思考1点(1,3)为直线上的点，x＝1，y＝3满足关系式y＝2x＋1吗？点（－2，－3）在y＝2x＋1的图象对应的直线上吗?一次函数y＝2x＋1的图象上的点与满足关系式y＝2x＋1的实数对(x，y）有怎样的关系？答案将点(－2,－3)描在上述直角坐标系内，观察到点(－2,－3）在y＝2x＋1的图象对应的直线上．存在着一一对应的关系．思考2一元一次函数y＝kx＋b（k≠0)的解析式可看作二元一次方程,那么方程y＝kx＋b的解与其图象上的点存在怎样的关系？答案由于函数y＝kx＋b（k≠0)或y＝b都是二元一次方程，因此，方程y＝kx＋b的解与其图象上的点存在着一一对应的关系．梳理直线的方程与方程的直线(1）两个条件①以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上．②这条直线上的点的坐标都是这个方程的解．（2）一个结论这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线．知识点二直线的倾斜角与斜率名称斜率倾斜角定义直线y＝kx＋b中的系数k叫做这条直线的斜率x轴正向与直线向上的方向所成的角α叫做这条直线的倾斜角范围（－∞，＋∞）0°≤α＜180°关系当k＝0时，倾斜角为零度角，此时直线与x轴平行或重合;当k＞0时，倾斜角为锐角，此时，k值增大，直线的倾斜角也随着增大；当k＜0时，倾斜角为钝角,此时,k值增大，直线的倾斜角也随着增大；特别地，当倾斜角为90°时,斜率k不存在，直线垂直于x轴知识点三直线的斜率公式若直线y＝kx＋b上任意两点A(x1，y1），B（x2,y2）且x1≠x2,令Δx＝x2－x1,Δy＝y2－y1，则k＝eq\f（y2－y1，x2－x1)＝eq\f（Δy,Δx）.1．任一直线都有倾斜角，都存在斜率．(×）2．若直线的倾斜角为α,则0°≤α≤180°.（×)3．若一条直线的倾斜角为α,则它的斜率k＝tanα。（×)类型一求直线的倾斜角例1设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转40°,得直线l1，则直线l1的倾斜角为（)A．α＋40°B．α－140°C．140°－αD．当0°≤α<140°时为α＋40°，当140°≤α<180°时为α－140°答案D解析根据题意，画出图形，如图所示．因为0°≤α<180°，显然A，B,C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图（如图所示）可知，当0°≤α<140°时，l1的倾斜角为α＋40°；当140°≤α〈180°时，l1的倾斜角为40°＋α－180°＝α－140°。故选D.反思与感悟(1)解答本类题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答．(2)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角,有时要根据情况分类讨论．跟踪训练1已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为________．答案60°或120°解析有两种情况：①如图(1），直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°,即直线l的倾斜角为60°。②如图（2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°。类型二直线斜率公式的应用例2已知直线l过点M（m＋1，m－1)，N(2m,1）．（1)当m为何值时，直线l的斜率是1?（2)当m为何值时，直线l的倾斜角为90°？解（1)因为直线l的斜率是1，所以eq\f（m－2,1－m)＝1,所以m＝eq\f(3，2).即当m＝eq\f（3，2）时，直线l的斜率是1。（2）因为直线l的倾斜角为90°，所以直线l的斜率不存在，所以m＋1＝2m，所以m＝1。即当m＝1时,直线l的倾斜角为90°.反思与感悟利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项（1）运用公式的前提条件是“x1≠x2"，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的．(2）斜率公式与两点P1、P2的先后顺序无关,即公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置．跟踪训练2如图所示，直线l1，l2,l3都经过点P(3,2)，又l1，l2,l3分别经过点Q1(－2，－1）,Q2（4，－2），Q3（－3，2)，计算直线l1，l2，l3的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．解设k1，k2，k3分别表示直线l1，l2，l3的斜率．由于Q1，Q2,Q3的横坐标与P点的横坐标均不相等，所以k1＝eq\f（－1－2,－2－3)＝eq\f(3,5),k2＝eq\f(－2－2,4－3）＝－4，k3＝eq\f（2－2,－3－3）＝0.由k1>0知，直线l1的倾斜角为锐角；由k2<0知，直线l2的倾斜角为钝角；由k3＝0知,直线l3的倾斜角为0°。类型三直线的倾斜角、斜率的综合应用命题角度1三点共线问题例3如果三点A（2,1），B（－2，m），C(6，8)在同一条直线上，求m的值．解kAB＝eq\f(m－1,－2－2）＝eq\f(1－m，4），kAC＝eq\f（8－1,6－2)＝eq\f（7,4)，∵A，B，C三点共线,∴kAB＝kAC,即eq\f（1－m,4）＝eq\f（7，4)，∴m＝－6。反思与感悟斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的．直线上任意两点所确定的方向不变，即同一直线上任何不同的两点所确定的斜率相等，这正是利用斜率相等可证明点共线的原因．跟踪训练3证明A(－2,12)，B(1,3），C(4，－6）三点在同一条直线上．证明易知直线AB，AC的斜率都存在,∵kAB＝eq\f（12－3,－2－1）＝eq\f(9,－3)＝－3,kAC＝eq\f(－6－12，4－－2）＝eq\f(－18，6)＝－3，∴kAB＝kAC，又AB，AC过同一点A，∴A，B，C三点共线．命题角度2数形结合法求倾斜角或斜率范围例4直线l过点P（1,0)，且与以A(2,1），B（0，eq\r（3）)为端点的线段有公共点，求直线l的斜率和倾斜角的取值范围．解如图所示．∵kAP＝eq\f(1－0，2－1)＝1，kBP＝eq\f（\r（3)－0，0－1）＝－eq\r（3)，∴k∈(－∞，－eq\r（3）]∪[1，＋∞）,∴45°≤α≤120°.反思与感悟（1）由倾斜角（或范围）求斜率（或范围），利用定义式k＝tanα(α≠90°)解决．（2）由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝eq\f(y2－y1，x2－x1)(x1≠x2）求解．（3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合及公式求解．跟踪训练4已知A(3,3），B(－4,2)，C(0，－2)．若点D在线段BC上（包括端点)移动，求直线AD的斜率的取值范围．解如图所示．当点D由点B运动到点C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC,所以直线AD的斜率的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,7），\f(5,3）)）.1．对于下列命题：①若α是直线l的倾斜角,则0°≤α<180°；②若k是直线的斜率，则k∈R;③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4答案C解析①②③正确．2．若经过A(m,3），B(1，2）两点的直线的倾斜角为45°，则m等于（)A．2B．1C．－1D．－2答案A解析由tan45°＝eq\f（2－3，1－m)＝1，得m＝2.3．若三点A（2，3)，B(3，2)，Ceq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1,2）,m)）共线，则实数m的值为________．答案eq\f（9，2)解析设直线AB，BC的斜率分别为kAB,kBC，则由斜率公式,得kAB＝eq\f(3－2，2－3)＝－1，kBC＝eq\f(m－2,\f(1，2)－3）＝－eq\f(2,5）（m－2）．∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kBC，即－1＝－eq\f（2，5）(m－2）,解得m＝eq\f（9，2）。4．经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是________．(其中m≥1)答案（0°，90°]解析当m＝1时，倾斜角α＝90°；当m〉1时，tanα＝eq\f（3－2，m－1)>0，∴0°<α<90°，故0°<α≤90°。5．已知交于点M（8,6)的四条直线l1，l2,l3，l4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4,又知l2过点N(5，3)，求这四条直线的倾斜角．解l2的斜率为eq\f(6－3,8－5)＝1,∴l2的倾斜角为45°，由题意可得l1的倾斜角为22.5°,l3的倾斜角为67。5°,l4的倾斜角为90°。1．直线的斜率和倾斜角反映了直线的倾斜程度,二者紧密相连,如下表：直线情况平行于x轴垂直于x轴α的大小0°0°〈α〈90°90°90°〈α<180°k的范围0k〉0不存在k<0k的增减情况k随α的增大而增大k随α的增大而增大2.用斜率公式解决三点共线问题一、选择题1．下列说法中正确的是（)A．一条直线和x轴的正方向所成的正角，叫做这条直线的倾斜角B．直线的倾斜角α的取值范围是［0°，180°]C．和x轴平行的直线的倾斜角为180°D．每一条直线都存在倾斜角,但并非每一条直线都存在斜率答案D解析倾斜角是直线向上方向与x轴的正方向所成的角,故A不正确；直线的倾斜角的取值范围是［0°，180°），故B不正确;当直线与x轴平行时，倾斜角为0°，故C不正确．2．若直线过坐标平面内两点(1，2)，（4,2＋eq\r（3)），则此直线的倾斜角是（)A．30°B．45°C．60°D．90°答案A解析由题意知，k＝eq\f（2＋\r（3)－2,4－1)＝eq\f(\r（3），3),∴直线的倾斜角为30°.3．已知直线l的斜率的绝对值等于eq\r(3)，则直线l的倾斜角为()A．60° B．30°C．60°或120° D．30°或150°答案C解析由题意知,|tanα｜＝eq\r（3），即tanα＝eq\r(3)或tanα＝－eq\r(3)，∴直线l的倾斜角为60°或120°.4．下列各组中，三点能构成三角形的三个顶点的为()A．（1,3)，（5，7），(10，12） B．(－1，4），（2,1),(－2,5）C．（0,2)，（2,5)，(3，7) D．(1，－1），（3，3），（5，7)答案C解析A，B，D三个选项中三点均共线．5。若图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2,k3，则（)A．k1<k2〈k3B．k3<k1<k2C．k3<k2〈k1D．k1〈k3<k2答案D解析由题图可知,k1<0，k2〉0,k3>0,且l2比l3的倾斜角大．∴k1<k3〈k2.6．已知点A(a,2）,B(3，b＋1），且直线AB的倾斜角为90°，则(）A．a＝3，b＝1 B．a＝2，b＝2C．a＝2,b＝3 D．a＝3，b∈R且b≠1答案D解析∵A（a，2），B(3，b＋1），且直线AB的倾斜角为90°，∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝3，,2≠b＋1，)）即eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝3，，b≠1，)）即a＝3，b∈R且b≠1。7．一条直线l与x轴相交,其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°〈α〈90°)，则其倾斜角为()A．α B．180°－αC．180°－α或90°－α D．90°＋α或90°－α答案D解析如图所示，当l向上的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α。故选D。8．已知直线l过点A（1，2)，且不过第四象限,则直线l的斜率k的最大值是（)A．0B．1C。eq\f（1,2）D．2答案D解析如图,kOA＝2，kl′＝0,只有当直线落在图中所示的位置时才符合题意，故k∈［0,2］．故直线l的斜率k的最大值为2.二、填空题9．斜率为2的直线过（3，5），（a，7）,(－1，b)三点，则a＋b＝________.答案1解析由题意，得2＝eq\f（7－5，a－3）＝eq\f(b－5，－1－3),∴a＝4，b＝－3，∴a＋b＝1.10．已知点A（1,2)，若在坐标轴上有一点P，使直线PA的倾斜角为135°，则点P的坐标为________．答案(3，0）或（0,3）解析由题意知，kPA＝－1，若点P在x轴上,则设P（m，0）,则eq\f(0－2，m－1）＝－1，解得m＝3;若点P在y轴上，则设P（0，n），则eq\f（n－2，0－1）＝－1，解得n＝3，故点P的坐标为（3,0)或（0,3)．11．若经过点A（1－t，1＋t)和点B（3,2t)的直线的倾斜角为钝角，则实数t的取值范围是________．答案(－2,1)解析由题意知，kAB＝eq\f（2t－1＋t,3－1－t）＝eq\f（t－1,t＋2)。因为直线的倾斜角为钝角，所以kAB＝eq\f（t－1,t＋2)〈0，解得－2〈t<1。三、解答题12．已知点A(m，－m＋3），B（2，m－1)，C(－1,4）,直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，求m的值．解由题意直线AC的斜率存在，得m≠－1.∴kAC＝eq\f(－m＋3－4,m＋1），kBC＝eq\f(m－1－4,2－－1）。∴eq\f(－m＋3－4,m＋1）＝3·eq\f(m－1－4,2－－1），整理，得－m－1＝（m－5)(m＋1),即（m＋1）（m－4)＝0，∴m＝4或m＝－1(舍去）．∴m＝4.13．已知坐标平面内三点P(3，－1)，M(6，2)，N(－eq\r(3）,eq\r(3）），直线l过点P。若直线l与线段MN相交，求直线l的倾斜角的取值范围．解考虑临界状态，令直线PM的倾斜角为α1，直线PN的倾斜角为α2，由题意知，tanα1＝1,tanα2＝－eq\f（\r(3），3），故直线PM的倾斜角为45°,直线PN的倾斜角为150°。根据倾斜角的定义知，符合条件的直线l的倾斜角α的取值范围是45°≤α≤150°。四、探究与拓展14．若点P(x，y）在以A(－3，1)，B(－1,0)，C(－2，0）为顶点的△ABC的内