函数的单调性与导数课件2

1.3导数在研究函数中的应用

1.3.1函数的单调性与导数(2)

1.3导数在研究函数中的应用1运用导数解决函数的单调性问题运用导数解决函数的单调性问题2函数的单调性与导数课件23函数的单调性与导数课件24函数的单调性与导数课件25函数的单调性与导数课件26函数的单调性与导数课件27函数的单调性与导数课件28函数的单调性与导数课件29函数的单调性与导数课件210函数的单调性与导数课件2112212函数的单调性与导数课件213函数的单调性与导数课件214设函数f(x)=x-

-alnx(a∈R).讨论f(x)的单调性。练习.设函数f(x)=x--alnx(a∈R).练习.15【规范解答】f(x)的定义域为(0,+∞).f′(x)=令g(x)=x2-ax+1,其判别式Δ=a2-4.①当|a|≤2时，Δ≤0，f′(x)≥0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增.②当a＜-2时，Δ＞0,g(x)=0的两根都小于0，在(0,+∞)上，f′(x)＞0，故f(x)在(0,+∞)上单调递增【规范解答】f(x)的定义域为(0,+∞).16③当a＞2时，Δ＞0,g(x)=0的两根为当0＜x＜x1时，f′(x)＞0；当x1＜x＜x2时，f′(x)＜0；当x＞x2时，f′(x)＞0，故f(x)分别在(0,x1),(x2,+∞)上单调递增，在(x1,x2)上单调递减.③当a＞2时，Δ＞0,g(x)=0的两根为17函数的单调性与导数课件218函数的单调性与导数课件219函数的单调性与导数课件220函数的单调性与导数课件221函数的单调性与导数课件222函数的单调性与导数课件223函数的单调性与导数课件224函数的单调性与导数课件225函数的单调性与导数课件226函数的单调性与导数课件227函数的单调性与导数课件228函数的单调性与导数课件2291．若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调增函数，则m的取值范围是________．1．若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调增函数，303.设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间,试确定a的取值范围,并求其单调区间.解:若a>0,对一切实数恒成立,此时f(x)只有一个单调区间,矛盾.若a=0,此时f(x)也只有一个单调区间,矛盾.若a<0,则,易知此时f(x)恰有三个单调区间.故a<0,其单调区间是:单调递增区间:单调递减区间:和3.设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间,试确定a的取值31[规范解答]由f(0)＝1，f(1)＝0得c＝1，a＋b＝－1，则f(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex，f′(x)＝[ax2＋(a－1)x－a]ex，依题意须对于任意x∈(0,1)，有f′(x)<0.当a>0时，因为二次函数y＝ax2＋(a－1)x－a的图象开口向上，而f′(0)＝－a<0，所以须f′(1)＝(a－1)e<0，即0<a<1；[2012·江西高考]已知函数f(x)＝(ax2＋bx＋c)ex在[0,1]上单调递减且满足f(0)＝1，f(1)＝0，求a的取值范围．[规范解答]由f(0)＝1，f(1)＝0得[2012·江西32当a＝1时，对于任意x∈(0,1)有f′(x)＝(x2－1)ex<0，f(x)符合条件；当a＝0时，对于任意x∈(0,1)，f′(x)＝－xex<0，f(x)符合条件；当a<0时，因f′(0)＝－a>0，f(x)不符合条件．故a的取值范围为[0,1].

函数的单调性与导数课件233函数的单调性与导数课件234若k＞0，当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下：所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－k)和(k，＋∞)，单调递减区间是(－k，k)．若k＞0，当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下：35若k＜0，当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下：所以f(x)的单调递减区间是(－∞，k)和(－k，＋∞)，单调递增区间是(k，－k)．若k＜0，当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下：36函数的单调性与导数课件237[例1](2012·福建高考)已知函数f(x)＝ex＋ax2－ex，a∈R.(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求函数f(x)的单调区间；(2)试确定a的取值范围，使得曲线y＝f(x)上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P.[自主解答](1)由于f′(x)＝ex＋2ax－e，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率k＝2a＝0，所以a＝0，即f(x)＝ex－ex.此时f′(x)＝ex－e，由f′(x)＝0得x＝1.当x∈(－∞，1)时，有f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，有f′(x)＞0.所以f(x)的单调递减区间为(－∞，1)，单调递增区间为(1，＋∞)．[例1](2012·福建高考)已知函数f(x)＝ex＋ax238(2)设点P(x0，f(x0))，曲线y＝f(x)在点P处的切线方程为y＝f′(x0)(x－x0)＋f(x0)，令g(x)＝f(x)－f′(x0)(x－x0)－f(x0)，故曲线y＝f(x)在点P处的切线与曲线y＝f(x)只有一个公共点P等价于函数g(x)有唯一零点．因为g(x0)＝0，且g′(x)＝f′(x)－f′(x0)＝ex－＋2a(x－x0)．①若a≥0，当x＞x0时，g′(x)＞0，则x＞x0时，g(x)＞g(x0)＝0；当x＜x0时，g′(x)＜0，则x＜x0时，g(x)＞g(x0)＝0.故g(x)只有唯一零点x＝x0.由P的任意性知，a≥0不合题意．(2)设点P(x0，f(x0))，曲线y＝f(x)在点P处的39②若a＜0，令h(x)＝ex－ex0＋2a(x－x0)，则h(x0)＝0，h′(x)＝ex＋2a.令h′(x)＝0，得x＝ln(－2a)，记x*＝ln(－2a)，则当x∈(－∞，x*)时，h′(x)＜0，从而h(x)在(－∞，x*)内单调递减；当x∈(x*，＋∞)时，h′(x)＞0，从而h(x)在(x*，＋∞)内单调递增．a．若x0＝x*，由x∈(－∞，x*)时，g′(x)＝h(x)＞h(x*)＝0；由x∈(x*，＋∞)时，g′(x)＝h(x)＞h(x*)＝0.所以g(x)在R上单调递增．所以函数g(x)在R上有且只有一个零点x＝x*.②若a＜0，令h(x)＝ex－ex0＋2a(x－x0)，则40b．若x0＞x*，由于h(x)在(x*，＋∞)内单调递增，且h(x0)＝0，则当x∈(x*，x0)时，有g′(x)＝h(x)＜h(x0)＝0，g(x)＞g(x0)＝0；任取x1∈(x*，x0)有g(x1)＞0.又当x∈(－∞，x1)时，易知g(x)＝ex＋ax2－(e＋f′(x0))x－f(x0)＋x0f′(x0)＜ex1＋ax2－(e＋f′(x0))x－f(x0)＋x0f′(x0)＝ax2＋bx＋c，其中b＝－(e＋f′(x0))，c＝ex1－f(x0)＋x0f′(x0)．由于a＜0，则必存在x2＜x1，使得ax＋bx2＋c＜0.所以g(x2)<0，故g(x)在(x2，x1)内存在零点，即g(x)在R上至少有两个零点．22b．若x0＞x*，由于h(x)在(x*，＋∞)内单调递增，且41函数的单调性与导数课件242函数的单调性与导数课件243函数的单调性与导数课件2441.3导数在研究函数中的应用

1.3.1函数的单调性与导数(2)

1.3导数在研究函数中的应用45运用导数解决函数的单调性问题运用导数解决函数的单调性问题46函数的单调性与导数课件247函数的单调性与导数课件248函数的单调性与导数课件249函数的单调性与导数课件250函数的单调性与导数课件251函数的单调性与导数课件252函数的单调性与导数课件253函数的单调性与导数课件254函数的单调性与导数课件2552256函数的单调性与导数课件257函数的单调性与导数课件258设函数f(x)=x-

-alnx(a∈R).讨论f(x)的单调性。练习.设函数f(x)=x--alnx(a∈R).练习.59【规范解答】f(x)的定义域为(0,+∞).f′(x)=令g(x)=x2-ax+1,其判别式Δ=a2-4.①当|a|≤2时，Δ≤0，f′(x)≥0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增.②当a＜-2时，Δ＞0,g(x)=0的两根都小于0，在(0,+∞)上，f′(x)＞0，故f(x)在(0,+∞)上单调递增【规范解答】f(x)的定义域为(0,+∞).60③当a＞2时，Δ＞0,g(x)=0的两根为当0＜x＜x1时，f′(x)＞0；当x1＜x＜x2时，f′(x)＜0；当x＞x2时，f′(x)＞0，故f(x)分别在(0,x1),(x2,+∞)上单调递增，在(x1,x2)上单调递减.③当a＞2时，Δ＞0,g(x)=0的两根为61函数的单调性与导数课件262函数的单调性与导数课件263函数的单调性与导数课件264函数的单调性与导数课件265函数的单调性与导数课件266函数的单调性与导数课件267函数的单调性与导数课件268函数的单调性与导数课件269函数的单调性与导数课件270函数的单调性与导数课件271函数的单调性与导数课件272函数的单调性与导数课件2731．若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调增函数，则m的取值范围是________．1．若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调增函数，743.设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间,试确定a的取值范围,并求其单调区间.解:若a>0,对一切实数恒成立,此时f(x)只有一个单调区间,矛盾.若a=0,此时f(x)也只有一个单调区间,矛盾.若a<0,则,易知此时f(x)恰有三个单调区间.故a<0,其单调区间是:单调递增区间:单调递减区间:和3.设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间,试确定a的取值75[规范解答]由f(0)＝1，f(1)＝0得c＝1，a＋b＝－1，则f(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex，f′(x)＝[ax2＋(a－1)x－a]ex，依题意须对于任意x∈(0,1)，有f′(x)<0.当a>0时，因为二次函数y＝ax2＋(a－1)x－a的图象开口向上，而f′(0)＝－a<0，所以须f′(1)＝(a－1)e<0，即0<a<1；[2012·江西高考]已知函数f(x)＝(ax2＋bx＋c)ex在[0,1]上单调递减且满足f(0)＝1，f(1)＝0，求a的取值范围．[规范解答]由f(0)＝1，f(1)＝0得[2012·江西76当a＝1时，对于任意x∈(0,1)有f′(x)＝(x2－1)ex<0，f(x)符合条件；当a＝0时，对于任意x∈(0,1)，f′(x)＝－xex<0，f(x)符合条件；当a<0时，因f′(0)＝－a>0，f(x)不符合条件．故a的取值范围为[0,1].

函数的单调性与导数课件277函数的单调性与导数课件278若k＞0，当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下：所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－k)和(k，＋∞)，单调递减区间是(－k，k)．若k＞0，当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下：79若k＜0，当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下：所以f(x)的单调递减区间是(－∞，k)和(－k，＋∞)，单调递增区间是(k，－k)．若k＜0，当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下：80函数的单调性与导数课件281[例1](2012·福建高考)已知函数f(x)＝ex＋ax2－ex，a∈R.(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求函数f(x)的单调区间；(2)试确定a的取值范围，使得曲线y＝f(x)上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P.[自主解答](1)由于f′(x)＝ex＋2ax－e，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率k＝2a＝0，所以a＝0，即f(x)＝ex－ex.此时f′(x)＝ex－e，由f′(x)＝0得x＝1.当x∈(－∞，1)时，有f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，有f′(x)＞0.所以f(x)的单调递减区间为(－∞，1)，单调递增区间为(1，＋∞)．[例1](2012·福建高考)已知函数f(x)＝ex＋ax282(2)设点P(x0，f(x0))，曲线y＝f(x)在点P处的切线方程为y＝f′(x0)(x－x0)＋f(x0)，令g(x)＝f(x)－f′(x0)(x－x0)－f(x0)，故曲线y＝f(x)在点P处的切线与曲线y＝f(x)只有一个公共点P等价于函数g(x)有唯一零点．因为g(x0)＝0，且g′(x)＝f′(x)－f′(x0)＝ex－＋2a(x－x0)．①若a≥0，当x＞x0时，g′(x)＞0，则x＞x0时，g(x)＞g(x0)＝0；当x＜x0时，g′(x)＜0，则x＜x0时，g(x)＞g(x0)＝0.故g(x)只有唯一零点x＝x0.由P的任意性知，a≥0不合题意．(2)设点P(x0，f(x0))，曲线y＝f(x)在点P处的83②若a＜0，令h(x)＝ex－ex0＋2a(x－x0)，则h(x0)＝0，h′(x)＝ex＋2a.令h′(x)＝0，得x＝ln(－2a)，记x*＝ln(－2a)，则当x∈(－∞，x*)时，h′(x)＜0，从而h(x)在(－∞，x*)内单调递减；当x∈(x*，＋∞)时，h′