2022-2023学年上海市杨浦区九年级（上）期中数学试题及答案解析

第=page2323页，共=sectionpages2323页2022-2023学年上海市杨浦区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知a−ba+b=A.15 B.−15 C.52.下列两个三角形不一定相似的是(

)A.两条直角边的比都是2：3的两个直角三角形

B.腰与底的比都是2：3的两个等腰三角形

C.有一个内角为50°的两个直角三角形

D.有一个内角是503.在Rt△ABC中，∠C=90A.sinA=13 B.c4.已知a=b，下列说法中，错误的是(

)A.a//b B.a−b=0 C.5.在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AD：BD=A.DEBC=12 B.D6.新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，已知在5×5的网格图形中，点A、B、C、D为不同的点且都在格点上，如果∠ADC=A.3

B.5

C.7

D.9二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）7.已知α为锐角，cotα=2s

8.已知线段a是线段b、c的比例中项，如果a=2，b=3，那么c

9.如果两个相似三角形的面积比为3：4，那么它们对应高之比为______．

10.已知点P是线段AB上的一点，如果AP2=BP⋅A

11.计算：3a−12(

12.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB13.如图，已知梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC与中位线EF交于点G

14.如图，已知：△ABC中，AB=AC，AD⊥BC.15.已知在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，AB=4，B

16.如图，小红晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往走2.5米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知小明的身高是1.5米，那么路灯A离地面的高度AB的长为______17.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AF⊥CD，A

18.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E在边CD上，点A、D关于直线BE的对称点分别是点M、N三、解答题（本大题共7小题，共46.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.(本小题5.0分)

如图，已知△ABC中，BA=a，BC=b，DE//BC，点D是边AB上的一点，ADDB=23．

(1)请直接写出向量A20.(本小题5.0分)

如图，梯形ABCD中，AD//BC，点E是边AD的中点，连接BE并延长交CD的延长线于点F，交AC于点G．

(1)21.(本小题5.0分)

如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE//B22.(本小题5.0分)

如图，已知△ABC中，AB=12，∠B=30°，tanC=2423.(本小题8.0分)

已知：如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于D．

(1)求证：ADCD=ABBC24.(本小题8.0分)

如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在边AC上，联结BD，以BD为斜边作等腰直角三角形BDE(点E在直线BD右侧)，联结CE．

25.(本小题10.0分)

如图，已知在菱形ABCD中，AB=5，cosB=35，点E、F分别在边BC、CD上，AF的延长线交BC的延长线于点G，且∠EAF=12∠BAD．

(1)求证：AE2=EC⋅答案和解析1.【答案】C

【解析】解：∵a−ba+b=23，

∴3a−3b=2a+2.【答案】D

【解析】【分析】

根据直角三角形的性质，等腰三角形的性质以及相似三角形的判定方法分别判断得出答案．

本题考查相似三角形的判定，相似三角形的最常用的方法判断方法：“AA”，“SAS”，“HL”也可以判断两直角三角形相似．

【解答】

解：A.两条直角边之比为2：3的两个直角三角形，一定相似，故此选项不合题意；

B.两个等腰三角形的腰与底边对应成比例，则这两个等腰三角形必相似，故此选项不合题意；

C.有一个内角为50°的两个直角三角形，一定相似，故此选项不合题意；

D.有一个内角是50°的两个等腰三角形，因为3.【答案】A

【解析】解：∵∠C=90°，BC=1，AB=3，

∴AC=AB2−BC24.【答案】B

【解析】解：A、由a=b知，两向量方向相同，所以a//b，说法正确，不符合题意；

B、a−b=0，原说法不正确，符合题意；

C、由a=b知，两向量的模相等，即|a|=|5.【答案】D

【解析】解：如图，

可假设DE//BC，则可得ADDB=AEEC=12，ADAB6.【答案】D

【解析】解：如图，满足条件的点D有9个．

故选：D．

利用圆周角定理，画出图形，可得结论．

本题考查作图−复杂作图，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

7.【答案】60

【解析】解：∵cotα=2sin60°=2×38.【答案】43【解析】【分析】

根据比例中项的定义，若b是a，c的比例中项，即b2=ac.即可求解．

题主要考查了线段的比例中项的定义，注意线段不能为负．

【解答】

解：∵线段a是线段b、c的比例中项，

∴a2=bc，

∵9.【答案】3：2

【解析】解：∵两个相似三角形的面积之比为3：4，

∴相似比是3：2，

又∵相似三角形对应高的比等于相似比，

∴对应高线的比为3：2．

故答案为：3：2．

根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，对应高线的比等于相似比解答．

本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．

10.【答案】5−【解析】解：∵AP2=BP⋅AB，

∴AP=5−12AB，

∴11.【答案】2a【解析】解：原式=3a−a+2b=2a12.【答案】23【解析】解：∵AC=2，AB=3，∠ACB=90°，

∴BC=32−22=5，

∵1213.【答案】3.5

【解析】解：∵EF是梯形ABCD的中位线，AD=3，EF=5，

∴EF=12(AD+BC)，即5=12(3+BC)．

∴B14.【答案】144c【解析】解：∵AB=AC，AD⊥BC，

∴BD=CD，

∵BE是△ABC的中线，

∴点G是△ABC的重心，

∴AG=2DG，BG=2EG，

∵BE=15cm，AG=12c15.【答案】6

【解析】解：∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD，

∵△ABD∽△DBC，

∴A16.【答案】6.75

【解析】解：∵身高影长=路灯的高度路灯的影长，

当小红在CG处时，Rt△DCG∽Rt△DBA，即CDBD=CGAB，

当小红在EH处时，Rt△FEH∽Rt△FBA，即EFBF=EHAB=CGAB，

∴CDBD=17.【答案】94【解析】解：∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，

∴CD=DB=12AB，

∴∠B=∠DCB，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠DCB=90°，

∵AF⊥CD，

∴∠CEA=90°，

∴∠18.【答案】87【解析】解：如图，当点E在边CD上时，点A、D关于直线BE的对称点分别是点M、N.如果直线MN恰好经过点C，

∵BM=AB=6，AD=BC=8，

∴MC=BC2−BM2=82−62=27，

∴CN=MN−MC=AD−M19.【答案】25【解析】解：(1)请直接写出向量AE关于a、b的分解式，分别为AD，DE．

∵AC=AB+BC=b−a，

∵DE//CB，

∴AE：EC=AD：DB=2：3，

∴A20.【答案】解：(1)∵AD//BC，

∴△DEF∽△CBF，

∴FDFC=EDBC=13，

∴FC=3FD=6，

∴DC【解析】(1)由平行线得出△DEF∽△CBF，得出对应边成比例求出FC，即可得出DC的长；

(2)由平行线得出△DEF∽△C21.【答案】解：(1)设S△BDE=x．

∴ S△ADES△BDE=ADDB，

∴S△A【解析】设S△BDE=x，则可得出△22.【答案】解：连接AE，过点A作AF⊥BC，垂足为F，

在Rt△AFB中，∠B=30°，AB=12，

∴AF=12AB=6，

∵DE是AB的垂直平分线，

∴EB=【解析】连接AE，过点A作AF⊥BC，垂足为F，先在Rt△AFB中，利用含30度角的直角三角形的性质可得AF=12AB=623.【答案】证明：(1)如图，作DF//AB，交BC于点F，则∠FDB=∠DBA，

∵BD平分∠ABC，

∴∠DBA=∠DBC，

∴∠FDB=∠DBC，

∴DF=BF，

∵ADBF=CDCF，

∴ADCD=BFCF，

∴ADCD=D【解析】(1)作DF//AB，交BC于点F，由∠FDB=∠DBA，∠DBA=∠DBC，得∠FDB=∠DBC，则DF=BF，由平行线分线段成比例定理得ADBF=CDCF，变形为24.【答案】(1)证明：∵∠A=45°，∠ACB=90°，

∴∠ABC=45°，Rt△ABC是等腰直角三角形，

∴BCAC=22，

∵△BDE是等腰直角三角形，

∴∠DBE=45°，BEBD=22，

∴∠ABC−∠DBC=∠DBE−∠DBC，即∠ABD=∠CBE，BEBD=BCBA=22，

∴△ABD∽△CBE；

(2)解：如图1，点D在线段AC上时，过点E作EM⊥BC于M，作EN⊥AC，交AN的延长线于点N，设DE、B【解析】(1)根据∠A=45°可得Rt△ABC是等腰直角三角形，根据角的和差得出∠ABD=∠CBE，根据等腰直角三角形的性质可得BEBD=BCBA=22，即可判定△ABD∽△CBE；

(2)点D在线段AC上时，过点E作EM⊥BC于M，作EN⊥AC，交25.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD为菱形，

∴AD//BC，∠BAC=∠CAD=12∠BAD，

又∵∠EAF=12∠BDA，

∴∠CAD=∠EAF，

∴∠EAC=∠DAF，

∵AD//BC，

∴∠DA