九年级数学上册（人教版）《垂直于弦的直径》教案

24.1.2垂直于弦的直径课题垂直于弦的直径（第一课时）课型新授课教学目标知识与技能研究圆的对称性,掌握垂径定理及其推论.学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题。过程与方法经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理及其推论的过程，锻炼学生的思维品质，学习证明的方法。情感态度价值观在学生通过观察、操作、变换和研究的过程中进一步培养学生的思维能力，创新意识和良好的运用数学的习惯和意识。教学重点垂径定理及其推论的发现、记忆与证明。教学难点垂径定理及其推论的运用。教具圆形纸张、圆规、直尺、多媒体课件教学过程问题与情境师生行为备注与修改创设情境导入新课将你手中的圆沿圆心对折，你会发现圆是一个什么图形？将手中的圆沿直径向上折，你会发现折痕是圆的一条弦，这条弦被直径怎样了？一个残缺的圆形物件，你能找到它的圆心吗？赵州桥是我国古代桥梁史的骄傲，我们能求出主桥拱的半径吗？前两个问题可以由学生动手操作，并观察结果，得到初步结论。后两个问题作为问题情境，激发学生学习兴趣，引导学生进一步的学习。合作交流探究新知圆的对称性（探究）圆是轴对称图形吗？它有几条对称轴？分别是什么？垂径定理（思考）如图：AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足E。这个图形是对称图形吗你能发现图中有哪些相等的线段和弧？请说明理由。你能用一句话概括这些结论吗？垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。你能用几何方法证明这些结论吗？你能用符号语言表达这个结论吗？3．垂径定理的推论如上图，若直径CD平分弦AB则直径CD是否垂直且平分弦所对的两条弧？如何证明？你能用一句话总结这个结论吗？（即推论：平分弦的直径也垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧）如果弦AB是直径，以上结论还成立吗？圆的对称性由学生发现并总结，教师进行板书。教师循序渐进地将一个个的问题抛出，引导学生一步步地进行思考和总结，师生一起总结垂径定理并板书。学生小组讨论，发现垂径定理的证明方法，并由学生代表发言。学生尝试将文字转变为符号语言，用几何符号表达定理的逻辑关系。教师更正并板书。教师明确定理中的条件和结论，初步理解“知二得三”口诀的含义。教师提出问题，引导学生进行思考和讨论。学生尝试得出垂径定理和推论，教师规范并板书。教师提醒学生此中的弦一定不能是直径。垂径定理的内容比较多，且为考察重点，非一课时所能解决，所以此内容最少需两课时来探究。本节课主要探讨垂径定理及第1条推论，还有它们的应用。而其它推论和更深入的应用，放在下一节课进行研究。灵活应用提高能力简单应用如图，在⊙O中，直径MN⊥AB于C，则下列结论错误的是（）AC=BCB、AN=BNC、OC=CND、AM=BM典型应用如图。在⊙O中弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离OD=3cm，则⊙O的半径为cm连结什么可得到一个直角三形？利用什么知识可以解得半径。从中你可总结出利用垂径定理计算的什么技巧？生活中的应用如图，是赵州桥的几何示意图，若其中AB是桥的跨度为37.4米,桥拱高CD为7.2米,你能求出它所在的圆的主桥拱半径吗?提示：此中直角三角形AOD中只有AD是已知量，但可以通过弦心距、半径、拱高的关系来设未知数，利用勾股定理列出方程。利用垂径定理进行的几何证明教材第82练习第2题。简单应用由学生独立完成,教师可让学生自己进行评判.在典型应用中教师可通过问题设置,引导学生联系弦、半径、弦心距或者拱高等因素，从而构成直角三角形，利用勾股定理解决问题。这也是解决计算问题的主要方法，教师一定要重点重申。此题是垂径定理计算题中另一种题型，主要利用将垂径定理、勾股定理、方程的知识进行综合应用。教师在提示后让学生进行小组讨论，然后进行总结，得出结论，让学生做好笔记，养成良好的学习习惯。本节课的应用是基础应用，在下节课中再进行灵活运用和深入应用。小结升华与作业小结升华本节课你学到了哪些数学知识？在利用垂径定理解决问题时，你掌握了哪些数学方法？这些方法中你又用到了哪些数学思想？作业布置（1）教材82页练习第1题88页第11题分层作业如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝l，则弦AB的长是多少？（2）家庭作业练习册教师提出问题，学生回顾本节课所学知识，自己进行小结，养成梳理知识的习惯。板书设计教学反思

课题垂直于弦的直径(第2课时)课型习题提高课教学目标知识与技能进一步探索和掌握垂径定理的推论,明确理解“知二得三”的意义.利用垂径定理及其推论解决相应的数学问题过程与方法经历观察、思考、推理和论证等过程，探索垂径定理的推论。在利用垂径定理解决数学问题的过程中，注意运用迁移和数形结合等数学思想与方法。情感态度价值观学生在探索的过程中，体会学习的快乐，进一步体会数学的应用性，培养学生的创新意识。教学重点垂径定理的推论教学难点垂径定理及推论的应用教具教学过程问题与情境师生行为备注创设情境导入新课上节课学习的垂径定理及推论的内容是什么？你能结合图形利用符号语言来说明吗？在垂径定理及其推论中，条件有几个，结论有几个？你知道知二得三的含义吗？如图，若AB是⊙O中的一条弦，而另一条弦CD是它的垂直平分线，则CD过圆心，即是否是这个圆的直径？如何说明。问题1复习上节课所学，主要由教师提出问题，学生回顾后进行回答。问题2由学生思考后进行总结和体会。问题3由教师提出，学生思考，教师并不急于得到答案，只是作为问题情境，引出本节课的内容。合作交流探究新知垂径定理的其它推论如上图，若弦CD垂直平分另一条弦AB，则是否可以根据圆的对称性得到，BC是圆的直径？且CD是否平分弦所对优弧和劣弧？如果条件为CD平分AB所对的优弧和劣弧，则CD是直径吗？CD平分且垂直于弦AB吗？根据“知二得三”规律，你还能变化出其它推论吗？它们是否都成立？观察和思考若直线CD具备了以下五个条件中的两个，是否都可以得到其它三个结论？①过圆心（即CD是直径）②垂直于弦；③平分弦；④平分优弧；⑤平分劣弧。你能总结和概括“知二得三”意义吗？结合刚才得出的问题，教师引导学生利用圆的对称性来解决问题1。可以继续利用对称性来解释问题2。教师循序渐进提出问题3，引导学生进行思考。进一步引导学生理解“知二得三”的含义。老师总结和板书结论。灵活应用提高能力垂径定理在作图方面的应用如图，有一段弧AB，你能用尺规将其平分吗？四等分呢？垂径定理在计算方面的应用（1）已知，若⊙O中有两条平行的弦分别分8cm和6cm，且圆的半径为5cm，求两条弦之间的距离。（提示学生一定要考虑两条弦的两种位置关系）（2）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径几何？”垂径定理在生活中的应用如图，你能用什么方法确定这个残缺的圆的圆心？教师出示问题，并引导学生利用垂径定理的推论来解决。教师引导学生画出图形，考虑两种位置关系，利用勾股定理解决计算问题。先让