弹性力学简明教程-第四版-徐芝纶第五章课件

例题第一节差分公式的推导第二节应力函数的差分解第三节应力函数差分解的实例第四节弹性体的形变势能和外力势能第五节位移变分方程第六节位移变分法习题的提示和答案教学参考资料第五章用差分法和变分法解平面问题第七节位移变分法例题例题第一节差分公式的推导第二节应力函数的差分解第三节弹性力学的基本解法是，根据静力平衡条件、形变与位移之间的几何条件和形变与应力之间的物理条件，建立微分方程和边界条件。近似解法

因此，弹性力学问题属于微分方程的边值问题。通过求解，得出函数表示的精确解答。§5-1差分公式的推导弹性力学的基本解法是，根据静力平衡条件、形变

对于工程实际问题，由于荷载和边界较复杂，难以求出函数式的解答。为此，人们探讨弹性力学的各种近似解法，主要有变分法、差分法和有限单元法。近似解法对于工程实际问题，由于荷载和边界较复杂，难以

差分法是微分方程的一种数值解法。它不是去求解函数，而是求函数在一些结点上的值。 fxo差分法 差分法是微分方程的一种数值解法。它不是去求解函数

差分法的内容是：差分法将微分方程用差分方程（代数方程）代替，于是，求解微分方程的问题化为求解差分方程的问题。将导数用有限差商来代替，将微分用有限差分来代替，差分法的内容是：差分法将微分方程用差分方程（代数方

导数差分公式的导出：导数差分公式在平面弹性体上划分等间距h的两组网格，分别∥x、y轴。网格交点称为结点，h称为步长。 导数差分公式的导出：导数差分公式在平面弹性应用泰勒级数公式将在点展开，(a)应用泰勒级数公式将在点展开，(a)1、抛物线差分公式─略去式(a)中以上项，分别用于结点1、3，抛物线差分公式结点3：结点1：1、抛物线差分公式─略去式(a)中以上项，分别用抛物线差分公式式(b)又称为中心差分公式，并由此可导出高阶导数公式。从上两式解出o点的导数公式，抛物线差分公式式(b)又称为中心差分公式，并由此可导出高阶导

应用泰勒级数导出差分公式，可得出统一的格式，避免任意性，并可估计其误差量级，式(b)的误差为。抛物线差分公式应用泰勒级数导出差分公式，可得出统一的格式，避免任意性2、线性差分公式─在式(a)中仅取一、二项时，误差量级为。线性差分公式式(c)称为向前差分公式。对结点1，得：2、线性差分公式─在式(a)中仅取一、二项时，误差量级为对结点3，得：

式(d)称为向后差分公式。

线性的向前或向后差分公式，主要用于对时间导数的公式中。线性的向前或向后差分公式，主要用于

稳定温度场中的温度场函数T(x,y)应满足下列方程和边界条件：

（在A中）, (a)

（在上）,

(b)

（在上）.

(c)例1 稳定温度场中的温度场函数T(x,y)应满足下列方程和稳定温度场的基本方程(a)是拉普拉斯方程；在上的第一类边界条件是已知边界上的温度值；在上的第二类边界条件是已知热流密度值，其中是导热系数。稳定温度场的基本方程(a)是拉普拉斯方程；在上的第

现在我们将式(a)、(b)、(c)转化为差分形式。应用图5－1网格，和抛物线差分公式，弹性力学简明教程-第四版-徐芝纶第五章课件（1）将化为差分公式，得（2）若x边界516上为第一类边界条件，则已知。（3）若y边界627上为第二类边界条件，已知，则(d)（1）将化为差分公式，得(d)

由于所以得

这时，边界点2的是未知的，对2点须列出式（d）的方程。此方程涉及到值，可将式（e）代入。(e)

由于所以得(e)

例2稳定温度场问题的差分解。设图中的矩形域为6m×4m，取网格间距为h=2m，布置网格如图，各边界点的已知温度值如图所示，试求内结点a、b的稳定温度值。ab40353025322224222017例2ab40353025322224222017解：对a、b列出方程如下：解出

（度）.（度）.1.比较导数的抛物线差分公式和线性差分公式的区别。2.应用抛物线差分公式(5-2)，试导出三阶导数的差分公式。思考题1.比较导数的抛物线差分公式和线性差分公式的区别。思考题对于单连体，按应力函数求解时，应满足:§5-2应力函数的差分解按求解对于单连体，按应力函数求解时，应满足:§5（3）求出后，由下式求应力（假设无体力）:

按求解按求解差分法求解1.应力公式(c)的差分表示。对于o点，

差分法求解：差分法求解1.应力公式(c)的差分表示。对于o点，差分法求相容方程(e)化为：对每一内结点，为未知，均应列出式(e)的方程。2.相容方程(a)的差分表示，相容方程(e)化为：对每一内结点，为对边界内一行结点列式(e)方程时，需要求出边界点和边界外一行结点（虚结点）的值。 为了求虚结点的值，需要求出边界点的、值。相容方程相容方程

3.应用应力边界条件(b)，求出边界点的、、值。边界条件 3.应用应力边界条件(b)，求出边界点的、、⑴应力边界条件用表示取出坐标的正方向作为边界线s的正向（图中为顺时针向），当移动时，为正，而为负，∴外法线的方向余弦为边界条件⑴应力边界条件用表示边界条件(f)边界条件即将上式和式(d)代入式(b)，得(f)边界条件即将上式和式(d)代入式(b)，得边界条件式(f)、(g)分别是应力边界条件的微分、积分形式。再将式(f)对s积分，从固定的基点A到边界任一点B，得边界条件式(f)、(g)分别是应力边界条件的微分、积分形通过分部积分从A到B积分，得边界条件(h)⑵由全微分求边界点的

通过分部积分边界条件(h)⑵由全微分⑶∵A为定点，、和、、均为常数，而式(h)中，加减x，y的一次式不影响应力，∴可取 故边界结点的和导数值，由式(g)、(h)简化为边界条件⑶∵A为定点，、和、

式(i)的物理意义是：第一式表示从A到B边界上x向面力的主矢量；第二式表示从A到B边界上y向面力的主矢量改号;第三式表示从A到B边界上面力对B点的力距，图中以顺时针向为正。因此，可以按物理意义直接求边界条件和式(i)的物理意义是：边界条件和⑷由式(i)的第三式，可求出边界点的值;由式(i)的前两式，可求出边界点的、值，然后再求出边界外一行虚结点的值。边界条件⑷由式(i)的第三式，可求出边界点的边界（1）在边界上选定基点A，令，然后计算边界上各结点的、、；求解步骤（2）由边界结点的、值，求出边界外一行虚结点的值；4.应力函数差分解的步骤（1）在边界上选定基点A，求解步骤（2）由边界结点的（3）对边界内所有结点列式(e)的方程，联立求各结点的值；求解步骤（5）按式(d)求各结点的应力。（4）求出边界外一行虚结点的值；（3）对边界内所有结点列式(e)的方程，求解步骤（5）按思考题1、将应力函数看成是覆盖于区域A和边界s上的一个曲面，则在边界上，各点的值与从A（基点）到B面力的合力距有关，的一阶导数值与A到B的面力的合力（主矢量）有关；而在区域内，应力分量与曲面的曲率、扭率有关。思考题§5－3应力函数差分解的实例问题

此题无函数式解答。应用差分法求解。

正方形深梁,上边受均布荷载，下边两角点处有支承反力维持平衡，试求其应力。§5－3应力函数差分解的实例问题此题无函数式解1.本题具有对称性，取y轴如图，并取以反映对称性。取网格如图。取网格如图。 首先考虑对称性，可以减少未知值数目，并大量减少计算工作量。 按照物理意义，求出边界点上的和其导数值（如书中所示）：

首先考虑对称性，可以减少未知值数目，并大量减少计算工─AB间y向面力主矢量号，─AB间x向面力主矢量，

─AB间面力对B点力矩，注意符号为正.

5.求出应力，如AM线上各点应力，并绘出分布图。4.求出边界外一行虚结点的

值。3.对每一内点列差分方程，求出。2.由边界点的导数值，求出边界外一行

虚结点的值。5.求出应力，如AM线上各点应力，并绘4.求出边

比较：材料力学解─AM上为直线分布，弹性力学解─AM上为曲线分布，

由此又说明，材料力学解法只适用于杆件。比较比较：比较

（1）差分法是解微分方程边值问题和弹性力学问题的有效方法。（2）差分法简便易行，且总能求出解答。（3）差分法可配合材料力学、结构力学解法，精确地分析结构的局部应力状 态。

差分法优点：差分法评价 差分法优点：差分法评价（1）对于曲线边界和不等间距网格的计算较麻烦。（2）差分法比较适用于平面问题或二维问题。（3）凡是近似解，在求导运算时会降低精度。如的误差为，则应力的误差为。

缺点：差分法评价（1）对于曲线边界和不等间距网格的计算缺点：差分法评思考题：1.试用线性向前或向后差分公式，导出的差分方程。a（Z向厚度）AyB2FFFxaaa2.用差分法计算图中A点的应力分量。思考题：a（Z向厚度）AyB2FFFxaaa2.用差§5－4弹性体的形变势能

外力势能弹性力学变分法，又称为能量法。因其中的泛函就是弹性体的能量。泛函─是以函数为自变量（宗量）的一种函数。变分法，是研究泛函及其极值的求解方法。§5－4弹性体的形变势能

外力势能弹性力应力变分法─取应力函数为自变量，并以余能极小值条件导出变分方程。本章只介绍位移变分法。位移变分法─取位移函数为自变量，并以势能极小值条件导出变分方程。弹性力学变分法，是区别于微分方程边值问题的另一种独立解法。其中分为：应力变分法─取应力函数为自变量，并以位移变分法─取位移函外力势能─外力做了功，必然消耗了相同值的势能。当取时的外力功和能为零，则：(b)外力功和外力势能1.弹性体上的外力功和外力势能外力功：外力势能─外力做了功，必然消耗了相同值的势能。当取形变势能（2）∵应力和应变均从0增长到，故单位体积上，应力所做的功是非线性关系─线性关系─（1）作用于微小单元上的应力，是邻近部分物体对它的作用力，可看成是作用于微小单元上的“外力”。2.应力的功和形变势能（内力势能）形变势能（2）∵应力和应变均从0增长到，（线性的应力-应变关系非线性的应力-应变关系线性的应力-应变关系非线性的应力-应变关系（3）对于平面应力问题或平面应变问题

单元体积上应力所做的功都是

(c)形变势能（3）对于平面应力问题（4）假设没有转化为非机械能和动能，则应力所做的功全部转化为弹性体的

内力势能，又称为形变势能，或应变

能，存贮于物体内部。─单位体积的形变势能（形变势能密度）。形变势能（4）假设没有转化为非机械能和动能，则形变势能（5）整个弹性体的形变势能是

(d)形变势能（5）整个弹性体的形变势能是(d)形变势能形变势能对于平面应变问题，将，。再将几何方程代入，可用位移表示为（6）将物理方程代入，平面应力问题的形变势能密度，可用形变表示为形变势能对于平面应变问题，将3.形变势能的性质（1）是应变或位移的二次泛函， 故不能应用叠加原理。（2）应变或位移发生时，总是正的，即（3）的大小与受力次序无关。（4）对应变的导数，等于对应的应力：

(g)形变势能的性质3.形变势能的性质(g)形变势能的性质

4.弹性体的总势能，是外力势能和内力（形变）势能之和，(h) 4.弹性体的总势能，是外力势能和内力(h)1.试证明在线性的应力与应变关系下，。2.试由式(e)导出式(g)。3.试列出极坐标系中平面应力问题的形变势能公式，并与式(d)、(e)和(f)相比较。思考题1.试证明在线性的应力与应变关系下，。思考题§5－5位移变分方程

在位移变分法中，所取泛函为总势能，其自变量（宗量）为位移状态函数

，。 现在来导出位移变分方程。§5－5位移变分方程 在位移变分法中，所取泛函为总势能⑴用位移表示的平衡微分方程（在A中）⑵用位移表示的应力边界条件（在上）⑶位移边界条件（在上）。实际位移(a)其中⑴、⑵属于静力平衡条件，⑶属于约束条件。 对于实际位移，可将⑶看成是必要条件，而⑴、⑵是充分条件。1.实际平衡状态的位移、，必须满足⑴用位移表示的平衡微分方程（在A中）实际位移(a)

2.虚位移状态

⑴虚位移（数学上称为位移变分），

表示在约束条件允许下，平衡状态附近的微小位移增量，如图所示。 虚位移应满足上的约束边界条件，即

虚位移(b)（在上）。2.虚位移状态虚位移(b)（在上）。

虚位移不是实际外力作用下发生的，而是假想由其他干扰产生的。因此，虚位移状态

就构成实际平衡状态附近的一种邻近状态。(c)虚位移 虚位移不是实际外力作用下发生的，而是假想由其他微分─是在同一状态下，研究由于位置(坐标)改变而引起函数的改变。其中的自变量为坐标变量x,y；

而因变量为函数，如位移，有

(d)⑵变分与微分的比较变分与微分微分─是在同一状态下，研究由于位置(d)⑵变分与微分的变分─是在同一点位置上，由于状态改变而引起泛函的改变。其中的自变量为状态函数，如位移；

而因变量为泛函，如，，，有

变分与微分(e)变分─是在同一点位置上，由于状态改变变分与微分(e)由于微分和变分都是微量，所以a.它们的运算方式相同，如式(d)，(e)；b.变分和微分可以交换次序，如

变分与微分(f)由于微分和变分都是微量，所以变分与微分(f)当发生虚位移（位移变分）时，虚位移上功和能由于虚位移引起虚应变，外力势能的变分：外力的虚功（外力功的变分）：3.在虚位移上弹性体的功和能

当发生虚位移（位移变分）时，虚位移上功和能

形变势能的变分，即实际应力在虚应变上的虚功,

由于实际应力在虚应变之前已存在,∴作为常力计算，故无系数。虚位移上功和能(j)形变势能的变分，即实际应力在虚应变上的虚功（1）在封闭系统中，假设没有非机械能的改变，也没有动能的改变，则按照能量守恒定律，在虚位移过程中形变势能的增加应等于外力势能的减少（即等于外力所做的虚功）。∴位移变分方程4.弹性力学中位移变分方程的导出（1）在封闭系统中，假设没有非机械能的改变，也没有动能的改变（2）位移变分方程─将式(g)的代入上式,得它表示，在实际平衡状态发生位移的变分时，所引起的形变势能的变分，等于外力功的变分。位移变分方程（2）位移变分方程─将式(g)的代入上式,得它表位移变分方程它表示，在实际平衡状态发生虚位移时，外力在虚位移上所做的虚功等于应力在虚应变上所做的虚功。（3）虚功方程─将式(j)的代入上式，得位移变分方程它表示，在实际平衡状态发生虚位移时，（3）虚功方其中─形变势能的变分，如式(j)所示，─外力功的变分，如式(g)所示。位移变分方程（4）最小势能原理─式(k)可写成其中U─弹性体的形变势能，如§5-4式(d),

W─弹性体的外力功，如§5-4式(a)。可以证明，式(n)可以写成为其中─形变势能的变分，如式(j)所示，位移变分方程（证明如下：位移变分方程证明如下：位移变分方程由于弹性体的总势能为故式(o)可以表示为

再将总势能对其变量（位移或应变）作二次变分运算，可得

综合式(p)，(q)，即得(p)(q)(r)位移变分方程由于弹性体的总势能为(p)(q)(r)位移变分方程位移变分方程

这就是最小势能原理。它表示在给定的外力作用下，在满足位移边界条件的所有各组位移状态中，实际存在的一组位移对应于总势能为极小值。位移变分方程这就是最小势能原理。它表示在给最小势能原理：数学表示如图(a)，物理意义如图(b)uu（实际位移）(a)(b)最小势能原理：uu（实际位移）(a)(b)（5）位移变分方程的又一形式─式(l)中可化为

又一形式（5）位移变分方程的又一形式─式(l)又一形式应用分部积分公式和格林公式（其中s为平面域A的边界，l，m为边界外法线的方向余弦），可将进行转换。又一形式应用分部积分公式又一形式∵在上，虚位移，∴

对其余几项进行同样的转换，并代入式(),可得又一形式的位移变分方程：又一形式例如，对第一项计算，(s)又一形式例如，对第一项计算，(s)因为，都是任意的独立的变分，为了满足上式,必须有（在A中）(v)（在上）(w)又一形式因为，都是任意的独立的变分，为了满足（在A

由此可见，从位移变分方程可以导出平衡微分方程和应力边界条件，或者说，位移变分方程等价于平衡微分方程和应力边界条件。由此可见，从位移变分方程可以导出平衡微分方程和⑴实际平衡状态的位移必须满足

a.上的约束(位移)边界条件；

b.上的应力边界条件；c.域A中的平衡微分方程。5.结论结论⑵位移变分方程可以等价地代替静力条件b,c。⑴实际平衡状态的位移必须满足5.结论结论⑵位移变分方程结论⑶由此得出一种变分解法，即预先使位移函数满足上的位移边界条件，再满足位移变分方程，必然也可以找出对应于实际平衡状态的位解答。结论⑶由此得出一种变分解法，即预先使位

1.微分和变分各是由什么原因引起的？2.试导出式(u)。3.试比较4.中变分方程

(1)-(5)的不同的物理解释。4.试证明二阶变分。思考题1.微分和变分各是由什么原因引起的？思考题

位移变分法是取位移为基本未知函数的。位移函数应预先满足上的位移边界条件，然后再满足位移变分方程。§5-6位移变分法位移变分法是取位移为基本未知函数的。§5-6位移(a)瑞利-里茨法（1）因位移函数是未知的，在变分法中采用设定位移试函数的方法，令

1.瑞利-里茨法

(a)瑞利-里茨法（1）因位移函数是未知的，在变分法中采用其中和均为设定的x，y的函数，并在边界上，令

（在上）（在上）(c)(b)瑞利-里茨法其中和均为设定的x，y的函数，并在边界 ∴u，v已满足了上的位移边界条件。 而，用来反映位移状态的变化， 故位移的变分为瑞利-里茨法(d) ∴u，v已满足了上的位移边界条件。瑞利-里茨法(d)瑞利-里茨法位移的变分通过，的变分来反映，故形变势能的变分为（2）位移(a)还必须满足位移变分方程瑞利-里茨法位移的变分通过，的变将式(d)，(f)代入(e)得因虚位移（位移变分）中的，是完全任意的、独立的，为了满足上式，必须:将式(d)，(f)代入(e)得因虚位移（位移变分）中的瑞利-里茨法式(g)是瑞利-里茨变分方程。它是关于，的线性代数方程组，由上式可解出，,从而得到位移的解答。瑞利-里茨法式(g)是瑞利-里茨变分方程。它是关于，

2.伽辽金法（1）设定位移试函数如式(a)所示，但令

u,v

不仅满足上的位移边界条件，而且也满足上的应力边界条件（用u,v表示）。伽辽金法伽辽金法将位移的变分，（式(d)）代入，同样由于，为完全任意的和独立的变分，得到伽辽金法（2）于是，由§5-5中式(u)可见，由于上的应力边界条件已满足，设定的位移只需满足下列变分方程将位移的变分，（式(d)）代入，同样由于将上式括号内的应力用位移来表示，得伽辽金变分方程:伽辽金法将上式括号内的应力用位移来表示，得伽辽金变分方程:伽辽金法 式(j)也是关于，的线性代数方程组，从上式解出，，便得到位移的解答。伽辽金法 式(j)也是关于，的线性代数方程伽辽金试从位移函数的设定，应满足的变分方程和求解的计算工作量等方面对瑞利-里茨法和伽辽金法进行比较。思考题试从位移函数的设定，应满足的变思考题例1

图示矩形板a×b，在上边及右边受有均布压力及，而左边和下边受有法向连杆的约束。§5-7位移变分法例题例1§5-7位移变分法例题

应用瑞利-里茨法，设定位移满足两个约束边界条件

例题(a)(b) 应用瑞利-里茨法，设定位移例题(a)(b)其余的应力边界条件及平衡微分方程由下列变分方程代替（其中）：(c)对式(c)右边的积分，应包含所有的应力边界条件（当或处积分为0），例题其余的应力边界条件及平衡微分方程由下列变分方程代替（其中且其中的，应代入相应的边界方程。将式(a)代入U，计算式(c)的左边项。共建立两个方程，求出和，得位移解答：例题(d)对于图示的简单问题，式(d)正好是其精确解。且其中的，应代入相应的边界方程。将式(a)代入例题(e)例2本题全部为位移边界条件：例题(e)例2本题全部为位移边界条件：本题以y轴为对称轴，∴

u应为x的奇函数,

v应为x的偶函数。例题(f)设定位移势函数为本题以y轴为对称轴，∴例题(f)设定位移势函数为位移(g)已满足对称性条件(f)和全部边界条件(e)。因全部为位移边界条件且均已满足，∴从§5－5式(u)可见，也可应用伽辽金变分法。例题位移(g)已满足对称性条件(f)和全部边界条将位移(g)代入上式，求出得出的位移解答与书中用瑞利-里茨法给出的结果相同。因，故伽辽金变分方程为例题(h)将位移(g)代入上式，求出第五章例题例题1例题2例题3例题4例题5例题7例题6例题第五章例题例题1例题2例题3例题4例题5例题7例题6例题例题1设图中的矩形域为，取网格间距为h=2m,布置网格如图，各边界点的已知温度值（度）如图所示，试求内结点a,b的稳定温度值。ab40353025322224222017例题1设图中的矩形域为，取网格间解：对a,b列出方程如下：解出解：对a,b列出方程如下：解出例题2用差分法计算图中A和B点的应力分量。FaBxy3aaaA.71（Z向厚度）F65例题2FaBxy3aaaA.71（Z向厚度）F65解：为反映对称性，取A为基点。令

边界点的应力函数值：边界点的导数值：

由上式及，求出边界外一行虚结点的值：

解：为反映对称性，取A为基点。令对1点列差分方程：代入各值，解出。再求出应力分量：

对1点列差分方程：例题3

正方形的板块，厚度，受一对集中力F的作用，如图。试取，应用差分法求解该问题的应力分量。1098HGEDIJBAChhhh323414323111276xyh=l/4FF例题31098HGEDIJBAChhhh3234143231解：⑴本题具有的两个对称轴，为了反映对称性，在y向外荷载作用下，取

网格结点编号如图所示。

解：⑴本题具有的两个对称轴，为了反映对称性，在y⑵计算各边界结点处的、、值。在A点及J点，各取布置于两侧，以反映荷载的对称性，按公式（其中即AB之间面力对B点的力矩，图中以顺时针方向为正）。⑵计算各边界结点处的、、值。求出边界上各结点的值，如下图所示。 结点 A B CDEGHI J

00000000读者可检验，上述的值反映了边界结点和边界外一行虚结点上值的对称性。

F/2F/2F/2-Fh/2-Fh/2-Fh求出边界上各结点的值，如下图所示。F/2F/2F/2-Fh/⑶计算边界外一行结点的值。由得到

由得到⑶计算边界外一行结点的值。⑷对内结点1、2、3、4分别列出下列类型的方程：0点：对结点1，对结点2，⑷对内结点1、2、3、4分别列出下列类型对结点1，对结点3，对结点4，解出对结点3，解出⑸按照应力公式及，求得AJ及EI截面上的应力分量：⑸按照应力公式例题4

试证明，在同样的应变分量，和下，平面应变情况下单位厚度的形变势能大于平面应力情况下的形变势能。例题例题4例题对于平面应变情况，只需将上式中，变换为解：平面应力情况下，单位厚度的形变势能是：例题(a)对于平面应变情况，只需将上式中，解：平面应力情况下代入，得显然，方括号内将式⑴中的，都作为式(b)的变换，整理后得平面应变情况下的形变势能公式，

例题(c)代入，得例题(c)从式(c)可见，在平面应变情况下，形变势能中的第一、二、三项均大于平面应力情况下的值，而第四项不变。因此，平面应变的形变势能大于平面应力的形变势能U。例题从式(c)可见，在平面应变情况下，形变势能中例题5图中表示一板块，受到铅直方向均布拉力作用下发生拉伸变形，并使之两端固定下来，若在其中切开一小口AB时，试说明板的形变势能将发生什么变化？例题CDEFAB例题5图中表示一板块，受到铅直方向均布拉力作用下发解：⑴当AB线切开时，AB线上的应力趋于0。而形变势能是正定的，，当这部应力时，相应的形变势能也失去因此，板的总的形变势能减少。 ⑵当AB线切开后，边界CD和EF仍是固定的，我们可以比较两种状态：例题解：⑴当AB线切开时，AB线上的应力趋于例题(b)AB线张开，出现裂纹。这是稳定的平衡状态。由于系统的稳定平衡状态与邻近的状态相比，总势能处于极小值，而(a)、(b)两种状态的外力势能不变，因此，(b)的形变势能小于(a)，即形变势能将减少。例题(a)AB切开后，仍然处于闭合状态，不发生张开。这是不稳定的平衡状态；(b)AB线张开，出现裂纹。这是稳定的平例题例题6单位厚度的深梁，两侧边固定，上下边受均布荷载q作用，如图所示。试用位移变分法求解其位移。取，。题图有错：y=-b处的面力应指向下。例题qyxbuvbaaoq例题6单位厚度的深梁，两侧边固定，解：在图示荷载作用下，深梁的位移应对称于x轴，而反对称于y轴。因此，位移分量u应为、的奇函数，而v为x、y的偶函数，xy如图所示。可以设定位移势函数如下：解：在图示荷载作用下，深梁的位移应对称于x轴，而反对称于y轴上式已满足两端的约束边界条件，以及对称和反对称性条件。以下按瑞利-里茨法进行计算。例题例题假设只取u，v中一项，即将u和v代入形变势能公式（平面应力问题），得：例题假设只取u，v中一项，即例题

在本题中体力，在边界上只有的均布荷载，。由此，瑞利-里茨方程成为

例题再积分求U，例题再积分求U，边界是，且，从到积分。再将U代入上式，得到两个求的方程：边界是，且当取，且时，上两式方程简化为由此解出,位移分量的解答是例题例题例题7图中所示的薄板，厚度，三边固定，一边受到均布压力q的作用。试用瑞利-里茨的位移变分法求解，其中取，。例题例题7图中所示的薄板，厚度，三边固定aabxyqaabxyq解：在瑞利-里茨法中，设定位移试函数应满足位移边界条件，并应反映图示问题的对称性。取解：在瑞利-里茨法中，设定位移试函数应满足位移边界条件上式已反映了位移对称于y轴的要求：v为x的偶函数，u为x的奇函数。仅取各一项进行运算，由于体力，面力只存在于AB边（），因此求解的位移变分方程为：例题上式已反映了位移对称于y轴的要求：v为x的例题当，且取泊松系数时，形变势能简化为将u、v代入,例题（a）（b）当，且取泊松系数时，形形变势能U为将U及代入式(a)，(b)，得(c)(d)形变势能U为将U及从式(c)、(d)解出例题于是得到位移分量，再求应力分量，取，得：从式(c)、(d)解出例题于是得到位移分量，再求应力分量例题在对称轴上，x=0，,在边界，,例题在对称轴上，x=0，本题中，由于u，v中各只取一项，且取，因此，求出的位移解的精度较低；而由近似解的位移求应力时，其应力精度要降低一阶，其精度更差些。对于实际问题，应取更多的项数进行计算。本题中，由于u，v中各只取一项，且取

第五章教学参考资料

（一）本章学习重点及要求

1.弹性力学的基本解法是，根据静力平衡条件，形变和位移之间的几何条件和形变与应力之间的物理条件建立微分方程和边界条件，并由此求解应力、形变和位移。从数学上看，弹性力学问题可化为微分方程的边值问题，通过求解，得出函数式的精确解答。教学参考资料第五章教学参考资料 但是对于工程实际问题，由于荷载、边界等较为复杂，难以求出函数式的解答。从弹性力学基本理论建立以来，为了解决工程实际问题，人们就探讨了各种可供应用的近似解法。弹性力学中最主要的近似解法是变分法、差分法和有限单元法分法。教学参考资料 但是对于工程实际问题，由于荷载、边界等较为复杂，难

2.差分法是微分方程的一种近似数值解法。在差分法中，将连续函数用一些结点上的函数值来代替，并从而将微分方程及其边界条件变换为差分(代数)方程，使问题易于求解。在这种方法中，采用了将函数离散的手段。教学参考资料2.差分法是微分方程的一种近似数值解教学参考

3.变分法是弹性力学中另一独立的求解方法。

在变分法中根据平衡状态时的能量处于极小值的条件，建立变分方程，并进行求解。弹性力学中的变分方程和微分方程是互通的，可以互相导出。 由于变分法得出的常常是近似的解答，所以也将变分法归入弹性力学的近似解法。

教学参考资料教学参考资料4.有限单元法是20世纪中期发展起来的弹性力学近似解法。在有限单元法中,首先将区域离散化，把连续体变换为离散化结构；然后将连续体的能量极小值条件应用到离散化结构，从而建立求解的方法。有限单元法应用计算机进行计算，可以有效地解决各种复杂的工程问题。教学参考资料4.有限单元法是20世纪中期发展起来教学参考资料

5.对于工程技术人员来讲，这些弹性力学的近似解法，是用来解决实际问题的有效手段。因此，读者不仅要理解，而且要能应用这些近似解法。教学参考资料5.对于工程技术人员来讲，这些弹性力学的近似

1.导数的差分公式抛物线差分公式,

线性向前差分公式,

线性向后差分公式,教学参考资料

（二）本章内容提要教学参考资料（二）本章内容提要边界条件

教学参考资料

2.应力函数的差分解法相容方程边界条件教学参考资料2.应力函数的差分解法应力公式教学参考资料应力公式教学参考资料

3.变分法是研究泛函及其极值的求解方法。

弹性力学中的位移变分法，是取位移函数为宗量，由总势能处于极小值的条件来导出变分方程，然后进行求解的。以下列出平面应力问题的有关变分公式及方程。教学参考资料3.变分法是研究泛函及其极值的求解方法。教学参考资料4.弹性体的功和能总势能外力功外力势能形变(内力)势能教学参考资料教学参考资料

5.在虚位移上弹性体的功和能

虚位移(位移变分),是在约束条件允许下，在平衡状态附近的微小位移增量。虚位移状态

其中u，v为实际平衡状态下的位移。教学参考资料5.在虚位移上弹性体的功和能教学参考资料当虚位移发生时，外力的虚功外力势能的变分形变势能的变分教学参考资料当虚位移发生时，教学参考资料

6.变分方程⑴在封闭系统中，假定没有非机械能的改变，也没有动能的改变，则按照能量守恒定律，在虚位移过程中，形变势能的增加应等于外力势能的减少，即上式也可以改用下列各形式表示和解释。⑵位移变分方程教学参考资料6.变分方程教学参考资料⑶虚功方程⑷最小势能原理

其中。或者表示为，教学参考资料⑶虚功方程教学参考资料⑸位移变分方程的又一形式教学参考资料⑸位移变分方程的又一形式教学参考资料

7.位移变分法⑴瑞利－里茨法：设定位移试函数，

预先满足上的约束边界条件，再满足瑞利－里茨变分方程，教学参考资料7.位移变分法教学参考资料⑵伽辽金法：设定位移势函数预先满足上的约束边界条件和上的应力边界条件，再满足伽辽金变分方程，教学参考资料⑵伽辽金法：设定位移势函数预先满足教学参考资料

8.对变分法的简单评价⑴位移变分法适用于具有各种边界条件的问题，因此，它的适用范围广泛。⑵变分法中设定试函数时，一般总是局限于某种函数的范围内，不是完全任意的。因此，变分法得出的通常是近似解。⑶由于位移解答是近似的，在求导运算后要降低精度。因此在位移变分法中，应力的精度低于位移的精度。教学参考资料8.对变分法的简单评价教学参考资料⑷用变分法求解实际问题时，主要的难点在于：a.设定试函数必须预先满足一定的边界条件；b.当试函数中所取项数较多时，计算工作量很大。但与求解微分方程的解法相比，变分法具有更容易和更有可能地解决实际问题的能力。因此，变分法得到了广泛的应用。教学参考资料⑷用变分法求解实际问题时，主要的难点在于：教学参考资料例题第一节差分公式的推导第二节应力函数的差分解第三节应力函数差分解的实例第四节弹性体的形变势能和外力势能第五节位移变分方程第六节位移变分法习题的提示和答案教学参考资料第五章用差分法和变分法解平面问题第七节位移变分法例题例题第一节差分公式的推导第二节应力函数的差分解第三节弹性力学的基本解法是，根据静力平衡条件、形变与位移之间的几何条件和形变与应力之间的物理条件，建立微分方程和边界条件。近似解法

因此，弹性力学问题属于微分方程的边值问题。通过求解，得出函数表示的精确解答。§5-1差分公式的推导弹性力学的基本解法是，根据静力平衡条件、形变

对于工程实际问题，由于荷载和边界较复杂，难以求出函数式的解答。为此，人们探讨弹性力学的各种近似解法，主要有变分法、差分法和有限单元法。近似解法对于工程实际问题，由于荷载和边界较复杂，难以

差分法是微分方程的一种数值解法。它不是去求解函数，而是求函数在一些结点上的值。 fxo差分法 差分法是微分方程的一种数值解法。它不是去求解函数

差分法的内容是：差分法将微分方程用差分方程（代数方程）代替，于是，求解微分方程的问题化为求解差分方程的问题。将导数用有限差商来代替，将微分用有限差分来代替，差分法的内容是：差分法将微分方程用差分方程（代数方

导数差分公式的导出：导数差分公式在平面弹性体上划分等间距h的两组网格，分别∥x、y轴。网格交点称为结点，h称为步长。 导数差分公式的导出：导数差分公式在平面弹性应用泰勒级数公式将在点展开，(a)应用泰勒级数公式将在点展开，(a)1、抛物线差分公式─略去式(a)中以上项，分别用于结点1、3，抛物线差分公式结点3：结点1：1、抛物线差分公式─略去式(a)中以上项，分别用抛物线差分公式式(b)又称为中心差分公式，并由此可导出高阶导数公式。从上两式解出o点的导数公式，抛物线差分公式式(b)又称为中心差分公式，并由此可导出高阶导

应用泰勒级数导出差分公式，可得出统一的格式，避免任意性，并可估计其误差量级，式(b)的误差为。抛物线差分公式应用泰勒级数导出差分公式，可得出统一的格式，避免任意性2、线性差分公式─在式(a)中仅取一、二项时，误差量级为。线性差分公式式(c)称为向前差分公式。对结点1，得：2、线性差分公式─在式(a)中仅取一、二项时，误差量级为对结点3，得：

式(d)称为向后差分公式。

线性的向前或向后差分公式，主要用于对时间导数的公式中。线性的向前或向后差分公式，主要用于

稳定温度场中的温度场函数T(x,y)应满足下列方程和边界条件：

（在A中）, (a)

（在上）,

(b)

（在上）.

(c)例1 稳定温度场中的温度场函数T(x,y)应满足下列方程和稳定温度场的基本方程(a)是拉普拉斯方程；在上的第一类边界条件是已知边界上的温度值；在上的第二类边界条件是已知热流密度值，其中是导热系数。稳定温度场的基本方程(a)是拉普拉斯方程；在上的第

现在我们将式(a)、(b)、(c)转化为差分形式。应用图5－1网格，和抛物线差分公式，弹性力学简明教程-第四版-徐芝纶第五章课件（1）将化为差分公式，得（2）若x边界516上为第一类边界条件，则已知。（3）若y边界627上为第二类边界条件，已知，则(d)（1）将化为差分公式，得(d)

由于所以得

这时，边界点2的是未知的，对2点须列出式（d）的方程。此方程涉及到值，可将式（e）代入。(e)

由于所以得(e)

例2稳定温度场问题的差分解。设图中的矩形域为6m×4m，取网格间距为h=2m，布置网格如图，各边界点的已知温度值如图所示，试求内结点a、b的稳定温度值。ab40353025322224222017例2ab40353025322224222017解：对a、b列出方程如下：解出

（度）.（度）.1.比较导数的抛物线差分公式和线性差分公式的区别。2.应用抛物线差分公式(5-2)，试导出三阶导数的差分公式。思考题1.比较导数的抛物线差分公式和线性差分公式的区别。思考题对于单连体，按应力函数求解时，应满足:§5-2应力函数的差分解按求解对于单连体，按应力函数求解时，应满足:§5（3）求出后，由下式求应力（假设无体力）:

按求解按求解差分法求解1.应力公式(c)的差分表示。对于o点，

差分法求解：差分法求解1.应力公式(c)的差分表示。对于o点，差分法求相容方程(e)化为：对每一内结点，为未知，均应列出式(e)的方程。2.相容方程(a)的差分表示，相容方程(e)化为：对每一内结点，为对边界内一行结点列式(e)方程时，需要求出边界点和边界外一行结点（虚结点）的值。 为了求虚结点的值，需要求出边界点的、值。相容方程相容方程

3.应用应力边界条件(b)，求出边界点的、、值。边界条件 3.应用应力边界条件(b)，求出边界点的、、⑴应力边界条件用表示取出坐标的正方向作为边界线s的正向（图中为顺时针向），当移动时，为正，而为负，∴外法线的方向余弦为边界条件⑴应力边界条件用表示边界条件(f)边界条件即将上式和式(d)代入式(b)，得(f)边界条件即将上式和式(d)代入式(b)，得边界条件式(f)、(g)分别是应力边界条件的微分、积分形式。再将式(f)对s积分，从固定的基点A到边界任一点B，得边界条件式(f)、(g)分别是应力边界条件的微分、积分形通过分部积分从A到B积分，得边界条件(h)⑵由全微分求边界点的

通过分部积分边界条件(h)⑵由全微分⑶∵A为定点，、和、、均为常数，而式(h)中，加减x，y的一次式不影响应力，∴可取 故边界结点的和导数值，由式(g)、(h)简化为边界条件⑶∵A为定点，、和、

式(i)的物理意义是：第一式表示从A到B边界上x向面力的主矢量；第二式表示从A到B边界上y向面力的主矢量改号;第三式表示从A到B边界上面力对B点的力距，图中以顺时针向为正。因此，可以按物理意义直接求边界条件和式(i)的物理意义是：边界条件和⑷由式(i)的第三式，可求出边界点的值;由式(i)的前两式，可求出边界点的、值，然后再求出边界外一行虚结点的值。边界条件⑷由式(i)的第三式，可求出边界点的边界（1）在边界上选定基点A，令，然后计算边界上各结点的、、；求解步骤（2）由边界结点的、值，求出边界外一行虚结点的值；4.应力函数差分解的步骤（1）在边界上选定基点A，求解步骤（2）由边界结点的（3）对边界内所有结点列式(e)的方程，联立求各结点的值；求解步骤（5）按式(d)求各结点的应力。（4）求出边界外一行虚结点的值；（3）对边界内所有结点列式(e)的方程，求解步骤（5）按思考题1、将应力函数看成是覆盖于区域A和边界s上的一个曲面，则在边界上，各点的值与从A（基点）到B面力的合力距有关，的一阶导数值与A到B的面力的合力（主矢量）有关；而在区域内，应力分量与曲面的曲率、扭率有关。思考题§5－3应力函数差分解的实例问题

此题无函数式解答。应用差分法求解。

正方形深梁,上边受均布荷载，下边两角点处有支承反力维持平衡，试求其应力。§5－3应力函数差分解的实例问题此题无函数式解1.本题具有对称性，取y轴如图，并取以反映对称性。取网格如图。取网格如图。 首先考虑对称性，可以减少未知值数目，并大量减少计算工作量。 按照物理意义，求出边界点上的和其导数值（如书中所示）：

首先考虑对称性，可以减少未知值数目，并大量减少计算工─AB间y向面力主矢量号，─AB间x向面力主矢量，

─AB间面力对B点力矩，注意符号为正.

5.求出应力，如AM线上各点应力，并绘出分布图。4.求出边界外一行虚结点的

值。3.对每一内点列差分方程，求出。2.由边界点的导数值，求出边界外一行

虚结点的值。5.求出应力，如AM线上各点应力，并绘4.求出边

比较：材料力学解─AM上为直线分布，弹性力学解─AM上为曲线分布，

由此又说明，材料力学解法只适用于杆件。比较比较：比较

（1）差分法是解微分方程边值问题和弹性力学问题的有效方法。（2）差分法简便易行，且总能求出解答。（3）差分法可配合材料力学、结构力学解法，精确地分析结构的局部应力状 态。

差分法优点：差分法评价 差分法优点：差分法评价（1）对于曲线边界和不等间距网格的计算较麻烦。（2）差分法比较适用于平面问题或二维问题。（3）凡是近似解，在求导运算时会降低精度。如的误差为，则应力的误差为。

缺点：差分法评价（1）对于曲线边界和不等间距网格的计算缺点：差分法评思考题：1.试用线性向前或向后差分公式，导出的差分方程。a（Z向厚度）AyB2FFFxaaa2.用差分法计算图中A点的应力分量。思考题：a（Z向厚度）AyB2FFFxaaa2.用差§5－4弹性体的形变势能

外力势能弹性力学变分法，又称为能量法。因其中的泛函就是弹性体的能量。泛函─是以函数为自变量（宗量）的一种函数。变分法，是研究泛函及其极值的求解方法。§5－4弹性体的形变势能

外力势能弹性力应力变分法─取应力函数为自变量，并以余能极小值条件导出变分方程。本章只介绍位移变分法。位移变分法─取位移函数为自变量，并以势能极小值条件导出变分方程。弹性力学变分法，是区别于微分方程边值问题的另一种独立解法。其中分为：应力变分法─取应力函数为自变量，并以位移变分法─取位移函外力势能─外力做了功，必然消耗了相同值的势能。当取时的外力功和能为零，则：(b)外力功和外力势能1.弹性体上的外力功和外力势能外力功：外力势能─外力做了功，必然消耗了相同值的势能。当取形变势能（2）∵应力和应变均从0增长到，故单位体积上，应力所做的功是非线性关系─线性关系─（1）作用于微小单元上的应力，是邻近部分物体对它的作用力，可看成是作用于微小单元上的“外力”。2.应力的功和形变势能（内力势能）形变势能（2）∵应力和应变均从0增长到，（线性的应力-应变关系非线性的应力-应变关系线性的应力-应变关系非线性的应力-应变关系（3）对于平面应力问题或平面应变问题