第4章离散时间系统结构与滤波器设计3fir

1、写出帕塞瓦尔定理2、给出hd(n)3、求W(ejw)124.4

FIR滤波器设计方法无限长单位冲激响应(IIR)数字滤波器存在明显的缺点：相位的非线性。日常生活中，像图像处理以及数据传输等都要求信道具有线性相位特性。若要逼近线性相位，则需采用全通网络进行相位校正，又将大大增加系统的复杂度。3优点：可以具有严格的线性相位，同时具有任意的幅度特性。FIR滤波器的单位冲激响应是有限长序列，因而滤波器一定是稳定的。对于任何非因果有限长序列，只要经过一定的延时都能变成因果的有限长序列，因而总能用因果系统来实现。可以用快速傅里叶变换(FFT)算法来实现，提高运算效率。缺点：取得很好的幅度衰减特性，FIR滤波器系统的阶次比IIR滤波器高。FIR滤波器特点4最感兴趣的是具有线性相位的FIR滤波器。对相位不作特殊要求的FIR滤波器，一般可以用IIR滤波器来代替IIR滤波器设计中的各种变换法对FIR滤波器设计是不适用的，这是因为IIR滤波器是利用有理分式的系统函数，而FIR滤波器的系统函数只是多项式。注意：5一、FIR滤波器最优化准则设计FIR滤波器主要有两种最优化准则均方误差最小准则最大误差最小化准则此处我们主要介绍均方误差最小准则下的滤波器设计。6均方误差最小准则误差能量最小若用，表示要求的频率响应，用表示实际得到的滤波器频率响应，以表示频率响应误差，即则均方误差为：设计目的选择一组，便均方误差最小。7由于：用FIR滤波器来逼近，故长度是有限长的，可得：8按照帕塞瓦公式有：要使e2最小，就必须使第一项求和式最小，即希望有：即：9结论:最小均方误差准则所要求的设计结果为矩形窗设计法。矩形窗设计的滤波器过渡带最窄由于吉布斯（Gibbs）效应，窗谱的肩峰过大，造成所设计出的滤波器:通带起伏不均匀且过大，阻带衰减不够小，不能满足某些工程要求。10设计具有有限长单位冲激响应h(n)的滤波器来逼近理想滤波器频率响应。指标是在频域提出的设计是在时域进行的二、

窗函数设计法11我们以一个截止频率为的线性相位的理想低通滤波器为例来加以讨论。设滤波器的群延时为,即：12hd(n)是中心点在α的偶对称无限长非因果序列，要得到有限长的h(n)，一种最简单的办法就是取矩形窗RN(n)，即：若有线性相位的约束，窗函数的选择必须保证所截取h(n)是对称的。13为分析方便，选取，所以有：14Hd(n)及W(n)的频谱特性15窗函数的频率特性为：对矩形窗，则有：可表示成幅度函数与相位函数：加窗对滤波器频率响应的影响16

在之内为一个主瓣，两侧形成许多衰减振荡的旁瓣17如果将理想频率响应也写成：其中：因此，FIR滤波器的频率响应为：显然，FIR滤波器的频率响应也是线性相位的。

矩形窗所设计滤波器的频率特性18FIR数字滤波器的幅度函数19总结:(1)理想幅度特性不连续点处边沿加宽，形成一个过渡带，过渡带的宽度等于窗的频率响应的主瓣宽度此处过渡带是指两个肩峰之间的宽度，与滤波器的真正过渡带有一些区别滤波器的过渡带比这个数值要小(2)在截止频率的两边的地方出现最大的肩峰值，肩峰的两侧形成起伏振荡，其振荡幅度取决于旁瓣的相对面积20主瓣带宽和过渡带宽的关系21（3）增加截取长度N，则在主瓣附近的窗的频率响应为改变N只能：改变幅度绝对值大小改变窗谱的主瓣宽度、滤波器过度带宽不能改变主瓣与旁瓣的相对比例，最大肩峰则总是8.95%，这种现象称为吉布斯(Gibbs)效应。22矩形窗截断造成肩峰为8.95%，则阻带最小衰减为这个衰减量在工程上常常是不够的。为了加大阻带衰减，需要改善窗函数。（二）、各种常用窗函数23通常希望窗函数满足两项要求:窗谱主瓣尽可能地窄，以获得较陡的过渡带;尽量减少窗谱的最大旁瓣的相对面积，使肩峰和波纹减小，增大阻带的衰减。在滤波器阶数给定的情况下，这两项要求往往不能同时得到满足的通常采用增加主瓣宽度（牺牲过渡带宽）以换取对旁瓣的抑制，为了得到平坦的通带幅度响应和较小的阻带波纹。24若窗函数在边沿处(n=0和n=N-l附近)比矩形窗变化要平滑而缓慢：窗边沿不再陡峭，则高频分量减小，阻带衰减增大。但窗谱的主瓣宽度却比矩形窗的要宽，造成滤波器幅度函数过渡带的加宽。251、矩形窗2、三角形（Bartlett）窗

“

”在时成立；此时主瓣宽度为,阻带最小衰减为25db。常用的窗函数26

3、汉宁（Henning）窗（升余弦窗）2728当时，，窗谱的幅度函数为：主瓣宽度比矩形窗的主瓣宽度增加一倍，即为，但是阻带最小衰减变为44db。29对升余弦改进，可得到旁瓣更小的效果：

99.963%的能量集中在窗谱的主瓣内，主瓣宽度相同为，但旁瓣幅度更小，旁瓣峰值小于主瓣峰值的1%，此时阻带最小衰减为53db

。4、海明（Hamming）窗（改进的升余弦窗）30为抑制旁瓣，可再加上余弦的二次谐波分量，主瓣宽度为矩形窗谱主瓣宽度的三倍，即为，此时，阻带最小衰减为74db

。5、布拉克曼窗（Blackman）31一种适应性强的窗，其窗函数的表示式为是第一类变形零阶贝塞尔函数，是一个可自由选择的参数，它可以同时调整主瓣宽度与旁瓣电平越大，则窗越尖锐，而频谱的旁瓣相对越小，但主辩宽度也相应增加。主瓣宽度同时也可以由窗口长度调节6、凯泽窗（Kaiser）32

过渡带通带纹波阻带最小衰减/dB2.1203.3844.5385.6586.7647.8658.96010.0563.00/N4.46/N5.86/N7.24/N8.64/N10.0/N11.4/N12.8/N0.270.08680.02740.008680.002750.0008680.0002750.000087-30-40-50-60-70-80-90-100

凯泽窗性能一览表33当=0时，相当于矩形窗，这是因为。当=5.44时，相当于海明窗，但凯泽窗旁瓣频谱收敛得更快。海明窗主瓣之外的能量为0.037%

，凯泽窗主瓣之外的能量为0.012%，因而能量更加集中在主瓣中。当=8.5时，相当于布拉克曼窗。凯泽窗函数是以n=（N-1）/2为对称中心呈偶对称的，即从n=（N-1）/2这一中点向两边变化时逐渐减小，最边上两点34

窗函数窗谱性能指标加窗后滤波器性能指标旁瓣峰值/Db主瓣宽度/过渡带宽度/（阻带最小衰减/dB矩形窗三角形窗汉宁窗海明窗布拉克曼窗凯泽窗-13-25-31-41-57-572444650.92.13.13.35.55-21-25-44-53-74-80

六种窗函数基本参数的比较3536给定过渡带宽，阻带衰减，则可求得凯泽窗FIR滤波器的阶数N（M=N-1)和形状参数

，即最小阻带衰减只由窗形状决定，不受N的影响而过渡带的宽度则随窗宽N的增加而减小。凯泽窗经验设计法37（1）首先是给定所要求的频率响应函数；（2）其次，求（3）再次，由过渡带宽及阻带最小衰减的要求，选定窗的形状及N的大小，一般N要通过几次试探而最后确定；（4）求得所设计的FIR滤波器的单位抽样响应（5）求，检验是否满足设计要求，否则需重新设计。（三）、窗函数法的设计步骤38窗函数设计举例低通滤波器所要求设计的低通滤波器的技术指标：39关键参数确定由于窗函数设计法的通带波纹与阻带波纹相同，因此为达到预期指标，需要以阻带波纹指标进行设计。由于窗函数设计法在幅度间断点处逼近的对称性，因此所对应的理想低通滤波器的截止频率为：40由凯泽窗的设计公式可以得到：因此，滤波器的单位冲激响应为：41第II类线性相位系统421、四大类FIR线性相位滤波器的长度，对称特性，及特殊零点2、求h(n)3、求h(n)4344高通滤波器和多通带滤波器1G2G3G4w1w2w3πG3wcπ45具有广义线性相位的理想高通滤波器的频率响应为：其单位冲激响应为：高通滤波器46所要求设计的高通滤波器的技术指标：根据凯泽窗设计公式可得到：由窗函数设计法的对称性可得：47第I类线性相位高通滤波器4849通过验证计算可得此时的通带逼近误差为0.0213，高于预定指标0.021，可以通过增大β的方法而达到预定指标；也可以保持β不变将M增大至25，调整过渡带变窄而满足指标，但是此时为II类线性相位系统，在ω=π处为零，不适合高通系统，因此可以将M增大至26就会解决此问题。5051关于高通滤波器设计的讨论可以推广到多通带和多阻带的情况。G1G2G3G4w1w2w3π52如果令多频带滤波器的相位为线性则相应的单位冲激响应为：注意：逼近误差与跳变幅度成正比，在设计时需要进行指标的归一化，利用最苛刻的指标进行凯泽窗设计53离散时间微分器理想的连续时间微分器的频率响应为：其理想冲激响应为：54零相微分器55M=10,b=2.456M=5,b=2.457频率抽样法则是从频域出发，把给定的理想频率响应Hd(ejw)加以等间隔抽样，即：然后以此作为实际FIR数字滤波器的频率特性的抽样值H(k)，即令：三、

频率抽样法 58有限长序列的频域重构596061频率抽样点上滤波器实际频率响应严格地和理想频率响应数值相等。抽样点之间的频率响应则是由各抽样点的加权内插函数的延伸叠加而形成的，有一定的逼近误差。逼近误差取决于理想频率响应曲线形状和采样的点数.62如果设计的是线性相位的FIR数字滤波器，则其抽样值的幅度和相位一定要满足对称的约束条件。第I类线性相位FIR滤波器：幅度函数应为偶对称的：如果抽样值也用幅值与相角表示，则：必须满足：线性相位的约束63对于第二类,第三类及第四类线性相位FIR滤波器，幅度和相位同样应满足相应的约束关系（幅度要满足奇偶对称，相位为广义线性相位）。64对进行频率抽样，就是在z平面单位圆上的N个等间隔点上抽取出频率响应值。为保证线性相位特性，在单位圆上可以有两种抽样方式：第一种是第一个抽样点在处(或)第二种是第一个抽样点在处(或)每种方式可分为N是偶数、奇数两种频率抽样的两种方法6566第一种频率抽样(I型)为：其内插公式保持不变。67第二种频率抽样(Ⅱ型)为：H(z)??

69求离散傅里叶反变换，可得由此得出：求z变换，可得：70过渡带抽样优化设计为使逼近误差更小，也就是减小在通带边缘由于抽样点的陡然变化而引起的起伏振荡。与窗函数法的平滑截断类似使理想频率响应的不连续点的边缘加上一些过渡的抽样点；从而增加过渡带，减小频带边缘的突变，也就减小了起伏振荡，增大了阻带最小衰减。过渡抽样点上的取值不同，效果也就不同。7172一般过渡带取二、三点抽样值即可得到满意结果。在低通设计中，不加过渡抽样点时，阻带最小衰减为-2OdB，一点过渡抽样的最优设计，阻带最小衰减可提高到-4O到-54dB左右，二点过渡抽样的最优设计可达-6OdB到-75dB左右，三点过渡抽样的最优设计则可达-80dB到-95dB左右。频率抽样法的优点是可以在频域直接设计，并且适合于最优化设计

734.5

IIR与FIR滤波器特性比较1、在相同的技术指标下，IIR滤波器可用比FIR滤波器较少的阶数来满足指标的要求，所用的存储单元少，运算次数少，较为经济。例如，用频率抽样法设计