第十二章无穷级数

无穷级数内容概要和重难点提示常数项级数的收敛与发散的概念，收敛级数的和的概念，级数的基本性质与收敛的必要条件，几何级数与p-级数及其收敛性；正项级数收敛性的判别法、任意项级数的绝对收敛与条件收敛、交错级数与莱布尼茨定理。幕级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域；幕级数的和函数、幕级数在其收敛区间内的基本性质，简单幕级数的和函数的求法、初等函数的幕级数展开式。对数一，要理解狄利克雷收敛定理以及付式展开式。考试要求了解级数的收敛与发散、收敛级数的和的概念。了解级数的基本性质及级数收敛的必要条件，掌握几何级数及p-级数的收敛与发散的条件，掌握正项级数收敛性的比较判别法、比较判别法的极限形式和比值判别法。了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系，了解交错级数的莱布尼茨判别法。会求幕级数的收敛半径、收敛区间及收敛域。了解幕级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求简单幕级数在其收敛区间内的和函数。了解函数的麦克劳林（Maclaurin）展开式（牢记5个公式）。难点判断数项级数的敛散性剖析级数与数列的关系求和函数理解狄利克雷定理考试知识要点讲解一、常数项级数的概念与基本性质（一）基本概念1、设有数列品｝:u,u，…,u，…，将它们依次相加TOC\o"1-5"\h\zn12nu+u+...+u+...12n称为由数列构成的无穷级数，记为工un。n=12、若u+u+...+u+...=s（定数），则称级数£u收敛，且收敛于总和s；\o"CurrentDocument"12nnn=1若u+u+...+u+...=8（或者不定），则称级数工u发散。（通俗的定12nnn=1义）3、令u+u+...+u=s，称s为级数前n项部分和。显然数列｛u｝与｛s｝\o"CurrentDocument"12nnnnn有：Snsn12、若limsnSnsn12、若limsnns，则称级数u收敛，且收敛于总和，，反之就是发散。收n1敛时un2..称为级数的余项（仍为级数）。（二）基本性质1、若u,n1且vn都收敛，对于任何常数，，则(un'）也收敛，n1n1vn)vn；12、3、不改变其敛散性；在级数中添加或者去掉或者改变有限项，收敛的级数任意加括号后所得到的新级数仍收敛，且和不变;4、1、若u,n1且vn都收敛，对于任何常数，，则(un'）也收敛，n1n1vn)vn；12、3、不改变其敛散性；在级数中添加或者去掉或者改变有限项，收敛的级数任意加括号后所得到的新级数仍收敛，且和不变;4、（收敛的必要条件）七收敛limu。。，反之不成立。nn1注：（1）敛散性和其它性质一样都有：YYY,YNN,NN?；（2）题必成立；性质3的逆和否命题不成立（但是任何命题原命题成立，则逆否命（3）u收敛limss，u收敛limu0，(不能用limu0nnnnnnnnn1得出级数收敛，但是若limu。0则必发散）。nn⑷几个重要的级数敛散性结论几何级数aqn1，当|q|1时收敛于己，当|q|1时发散;n1P级数当P1时收敛，当P1时发散，（P1时即1叫做npn1nn1调和级数）。推广得:k"当mk1时收敛，当mk1时发Q(n)1m散；级数1时收敛，当p1时发散。（您会证明、会应n1用吗？）。大家回忆一下，高数在哪里还介绍过收敛的概念？例题1判定下列级数的敛散性：（1）（£（0M）"；（2）工X；（3）若（n+3曲。nn2n3—n2+2n=1n=1n=1二、常数项级数敛散性的判定（一）正项级数定义1：若在£un中un>0，则称此级数为正项级数（若un<0呢？）n=1由于正项级数中，S=u+u+...+u=s+u>s，即（s}单增，由n12nn—1nn—1n单调有界数列必收敛，知工un收敛O{sj有界，采用此结论可以得到:n=11、比较审敛法若u<v（n=1,2,...），且工V收敛，则工u也收敛；TOC\o"1-5"\h\znnnnn=1n=1若u>v（n=1,2,...），且£v发散，则£u也发散。nnnnn=1n=1注：（1）定理告诉我们，要想判断出工"〃收敛，必须找收敛的“哥哥”n=1£v，“哥哥”收敛则“弟弟”收敛，同样“弟弟”发散则“哥哥”nn=1发散；£vn收敛，则£七也收敛；另一个结论可同理给出。n=1n=12、比较审敛法的极限形式若lim匕=pnsv

n（2）定理可改为：若u<cv（n=k,k+1,...），（其中c>0,kgZ+）且nn=1（2）当p=0时，若工七收敛，n£vn收敛，则£七也收敛；另一个结论可同理给出。n=1n=12、比较审敛法的极限形式若lim匕=pnsv

nnn=1（2）当p=0时，若工七收敛，n=1（3）当p=+3时，若£vn发散n=1n=1则£un也发散。n=13、比值审敛法（达朗贝尔判别法）若lim%+1=p，^。（1）当p<1时，工u收敛；n—3U1nnn=1（2）当p>1时，£un发散，（3）当p=1时，此法失效。n=14、根值审敛法（柯西判别法）若limgu=p，则（1）当p<1时，£u收敛；ns1n=1（2）当p>1时，£un发散，（3）当p=1时，此法失效。n=1（5）积分审敛法设f⑴为定义于［1,+3）单减的非负的连续函数，则£f（n）与f+wf（x）dx具有相同的敛散性。1n=1注：1、以上5个定理只适用于正项级数；2、方法优点缺点选择的原则比较法简单明了要找参照级数，且明确大小关系V从几何或者p-级数中找。比较法的极限形式比较简单明了要找参照级数，且明确等价关系（见推论）V从几何或者p-级数中找。比值审敛法无需找参照级数不完备（p=1方法失效）u为含阶乘或次幕的分式。根值审敛法无需找参照级数不完备（p=1方法失效）u为含阶乘或次幕的分式。3、（比较法的极限形式）推论：若un-七（n-8）（若不为无穷小由必要条件知必发散），则£气与#七同敛散。n=1n=1（二）交错级数定义2：若在£七中气是正负交错出现的，则称此级数为交错级数，常表示n=1为£（-1）«-1u，规定u>0n=1莱布尼兹审敛法若交错级数工（-1）n-1Un满足：（1）气>Un+1（从n某项开始）；n=1（2）limu=0，则£（-n-1u收敛，且和大于零而小于u，余项\r<u。nn1n+1n+1nT81n=1注：1、第一条不满足和第二条不满足结论会怎样？2、判别"〃的单调性常用到导数符号。（三）任意项级数定义3：若在工七中气是正负无序的，则称此级数为任意项级数（或一般n=1项级数）。定理：若正项级数工|uj收敛，则工气也收敛。TOC\o"1-5"\h\zn=1n=1注：（1）定理的逆否命题为£七发散，则£|un|必发散；（2）定理的逆和否命n=1n=1题都不成立，即“若正项级数工|uj发散，则工气也发散”和“工"〃收敛，则n=1n=1n=1£|u|必收敛”都是错误的。于是产生了绝对收敛和条件收敛的定义：nn=1若工un收敛，且工|uj收敛，则称它的收敛为绝对收敛；若工un收敛，n=1n=1n=1但£|uj发散，则称它的收敛为条件收敛。n=1可见，任意项级数没有自己的审敛法，但却有3种状态，即绝对收敛、条件收敛和发散三种状态。判别任意项级数敛散性的方法先判断£|uj收敛否？n=1先判断工七收敛否？n=1

令v=—„n,w=—nn,贝。它们都是正项，n2n2v+w=u,v-w=unnnnnn若工un绝对收敛，n=1若Yun条件收敛，则£|un|Yvn,n=1n=1n=1例题2判定下列级数的敛散性：（1）Y（1）Y「二；（2）产，n=1Jn41+X4dx0兀n—3nn=1（3）乙定-sin-）,；nnn=1（4）切4；⑸Y5n；⑹切竺（a,b>0）。nn+a2narctannnnbn=1n=1n=1解：（1）因为Jn41+x4dx>Jnxdx=—，所以0<]—<—002Jn4‘1+x4dxn20而Y-2收敛（p=2），由比较法知，原级数收敛。n2n=1而Y（-）n收敛（q=3V1），由比较法极限形式知，兀兀n=1原级数收敛。x—sinxx—sinx（3）因为limx—0x36所以应nU-sin七〜兰31nn6n=1所以原级数Y所以原级数Yun与Yvnn=1n=1（4）取v=—，因为limu=ea（用到了重要极限），nnansvn（5）同敛散，于是当a>1时收敛，当a<（5）因为lim匝=->1，所以原级数发散。nsn”（6）因为lim%+t=limw-竺=alim（—）b=a。所以当aV1时，原级数收nsuns（n+1）bann—sn+1n敛；当a>1时，原级数发散，当a=1时，原级数为Y—，此时若b>1，原nbn=1

级数收敛；当b<1时，原级数发散。综上所述(略)例题3判定下列级数的敛散性：(1)£(-1)n商；(2)芝(-1)〃——。n+100n+(—1)nn=1n=2解：(1)limu=limv3n=0，设f(x)=*3x(x>0)，则n*n〃"+100X+100=可0-x=可0-x)V02jx(x+100)审敛法知原级数收敛。(x>100)即当n>100时，un>u，n+1由莱布尼兹(2)这是交错级数，u用莱布尼兹定理。但是>u，不能n+1满足limu=0但是不满足uTOC\o"1-5"\h\znfsn1n—(-k)=T1-9；—\n+—1n)n—1因为交错级数£(-"X生收敛，£上发散，故原级数发散。n—1n—1n=2n=2例题4(04，数一)设有方程尤〃+nx=1(neZ+)，证明此方程存在唯一实根x，并证明当a>1(2)这是交错级数，u用莱布尼兹定理。但是>u，不能n+1n=1解：令f(x)=xn+nx—1，则f(x)在【0,+3)连续，f(0)=—1<0，f(1)=n—1>0。由零点定理，知f(x)在(0,1)内至少有一个零点；又因为f\x)=nxn-1+n>0(x>0)，知f(x)在(0,1)内至多有一个零点所以f(x)在【0,+3)有仅有一个零点，故原方程有且仅有一个实根x0，且0<x<1。由于x0=宁，所以0<x0=宇<—当a>1时，0<x；<-，由比较审敛法，知级数£x；收敛。n=1

例题5（04，数一，4分）设£七为正项级数，下列结论正确的是（）n=1（A）若limna=0，则工a收敛；（B）若我。0使得limna=X，则工a发TOC\o"1-5"\h\znnnnnT81nT31n=1n=1散。（C）若£a收敛，则limn2a=0。（D）若工a发散，则我。0使得limna=X。1nnsn1nn—snn=1n=1分析：（B）中由lim%-]=X/n知，a与1同阶，故£a发散。其它的可以举反nnnn=1例。如：（A）取发散的£-^，（C）取收敛的产—，（D）取发散的£-^nlnn3nlnnn=1n=分析：（B）中由lim%-]=X/n知，例题6（09，数一，4分）设有两个数列{a},{b}，若lima=0，则（）nnms（A）当£b收敛时，£ab收敛。

nnnn=1n=（A）当£b收敛时，£ab收敛。

nnnn=1n=1（C）当£|bn|收敛时，£a2b2收敛。n=1n=1（B）当£bn发散时，n=1（D）当£|bn|发散时，n=1£a光发散。n=1分析：由lima=0知BM>0，nn—s使得|aj<M，又£|bj收敛，n=1所以lim|b|=0，

n

n—sb<1。0<a2b2=a2b它的可以举反例。如:(A)取再知当£|bn|收敛时，n=1£a2b2收敛。其n=1（B）取a=b=—；（D）取例题7设偶函数f（x）的二阶导函数在U（0）连续，且f（0）=1,f〃（0）=2,证明£（f己）-1）绝对收敛。n

证明：f(x)为偶函数，所以f(0)=0，故f(x)的麦克劳林展式为f(x)=f(0)+f'(0)x+2!f"(0)x2+°(x2)=1+x2+。(x2)，111111、于是f(―)=1+—+0(—)，所以f(―)—1且f(―)—1>0。nn2n2nn2n由£-1收敛，知原级数绝对收敛。n2n=1思考练习：(1)判断(-1)n-1(^-1)的敛散性，若收敛，是何种收敛？n=1(2)设a=j4tannxdx，求£1(a+a),并证明女＞0，£土收敛。n0nnn+2n人TOC\o"1-5"\h\zn=1n=1三、函数项级数的概念以及收敛问题(一)定义定义在区间I上的函数列{"(x)}:u(x),u(x),...,u(x),...构成的n12n无穷项级数£u(x)称为函数项级数。若存在xGI使得数项级数£u(x)收n0n0n=1n=1敛，则称点x0为£un(x)的一个收敛点，所有收敛点的集合I收称为收敛域；同n=1理可以定义发散点和发散域。显然I收uI散=1,I收cI散2。令S(x)=u(x)+u(x)+u(x)叫做部分和函数，若limS(x)=s(x)，则称£u(x)收TOC\o"1-5"\h\zn12nnnnT81n=1敛于和函数s(x)；否则£un(x)发散。n=1两个常用的函数项级数为(1)幕级数£axn=a+ax+...+ax〃+...(agR)；n01nin=0(2)傅里叶级数£a(2)傅里叶级数£acosnx+bsinnx1、阿贝尔（Abel）定理幕级数£。》除了仅在x=0处收敛和在整个X轴n=0上都收敛外，若x0为收敛点，则对于（-|x0|,|x0|）内一切点X，工anxn都绝对收n=0敛；若x为发散点，则对于（-3-x）u（|x,+3）内一切点x，£aXn都发散。0010nn=0注：深刻领会定理揭示的幕级数收敛特点，从而知道有一个确定的数R的存在。2、求收敛半径R和收敛域的方法（1）求R的公式：在£aXn中n=0R=li小—n或者R=1n*alimJa1n+1nnT3（1）求R的公式：在£aXn中n=0（2）求收敛域（区别于收敛区间）的方法先说特殊的：若R=0，则幕级数仅在x=0处收敛；若R=+3，则它在整个x轴上都收敛。对一般地R（由阿贝尔定理知，起码它在xe（-R,R）内绝对收敛），这时需考虑端点x=±R的敛散性（即考察两个数项级数£a（土R）n敛散性），nn=0假若x=R收敛，x=-R发散，则收敛域为xe（-R,R1，其它的类推。注：求收敛半径的方法只适合于标准的幕级数（£。产），对关于x-x0的幕级n=0数、缺项的幕级数以及非幂级数工anfn（x），则需要做变换化为标准的幕级数，n=0这时敛散性不再符合阿贝尔定理了。例题8填空：（1）设工a”（x-2）n在x=-1处收敛，那么它在x=4处是（）n=0的，数项级数£an是（）的。n=0（2）设气＞0，£（-1）n-1an条件收敛，那么£。产收敛域是（）。n=1n=0

(3)（08,数一，4分）设£气（X+2）n在X=0处收敛，在x=—4处发散，nn=1(3)£。3—3n）的收敛域为（n）。n=0例题9求下列幕级数的收敛半径和收敛域:n=0例题9求下列幕级数的收敛半径和收敛域:£5n+(