第二章随机变量精选课件

第二章随机变量离散型随机变量随机变量的分布函数连续型随机变量一维随机变量函数的分布二维随机变量的联合分布多维随机变量的边缘分布与独立性条件分布多维随机变量函数的分布第二章随机变量离散型随机变量1

关于随机变量(及向量)的研究，是概率论的中心内容．这是因为，对于一个随机试验，我们所关心的往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量，而这些量就是随机变量．也可以说：随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，一如数学分析中的常量与变量的区分那样．变量概念是高等数学有别于初等数学的基础概念．同样，概率论能从计算一些孤立事件的概念发展为一个更高的理论体系，其基础概念是随机变量关于随机变量(及向量)的研究，是概率论的中心内容．22.1随机变量的概念(p24)定义.

设S={e}是试验的样本空间，如果量X是定义在S上的一个单值实值函数即对于每一个eS，有一实数X=X(e)与之对应，则称X为随机变量。随机变量常用X、Y、Z或、、等表示。随机变量的特点:

1X的全部可能取值是互斥且完备的2X的部分可能取值描述随机事件2.1随机变量的概念(p24)定义.设S={e}是试验的样3?请举几个实际中随机变量的例子EX．引入适当的随机变量描述下列事件：①将3个球随机地放入三个格子中，事件A={有1个空格}，B={有2个空格}，C={全有球}。②进行5次试验，事件D={试验成功一次}，F={试验至少成功一次}，G={至多成功3次}?请举几个实际中随机变量的例子EX．引入适当的随机变量描述下4随机变量的分类：随机变量随机变量的分类：52.2离散型随机变量(P25)定义若随机变量X取值x1,x2,…,xn,…且取这些值的概率依次为p1,p2,…,pn,…,则称X为离散型随机变量，而称P{X=xk}=pk,(k=1,2,…)

为X的分布律或概率分布。可表为

X～P{X=xk}=pk,(k=1,2,…)，或…X

x1 x2 …

xK … Pk p1 p2 … pk …2.2离散型随机变量(P25)定义若随机变量X取值x1,6(1)pk0,k＝1,2,…;(2)

例1设袋中有5只球，其中有2只白3只黑。现从中任取3只球(不放回)，求抽得的白球数X为k的概率。解k可取值0，1，22.分布律的性质(1)pk0,k＝1,2,…;例1设袋中7例2.某射手对目标独立射击5次，每次命中目标的概率为p，以X表示命中目标的次数，求X的分布律。解：设Ai第i次射击时命中目标，i=1,2,3,4,5则A1,A2,…A5,相互独立且P(Ai)=p,i=1,2,…5.SX={0,1,2,3,4,5},(1-p)5

例2.某射手对目标独立射击5次，每次命中目标的概率为p，以X8·几个常用的离散型分布

（一）贝努里(Bernoulli)概型与二项分布1.(0-1)分布(p26)若以X表示进行一次试验事件A发生的次数，则称X服从(0－1)分布(两点分布)X～P{X＝k}＝pk(1－p)1－k,(0<p<1)k＝0，1或·几个常用的离散型分布

（一）贝努里(Bernoulli)概9(P27)若以X表示n重贝努里试验事件A发生的次数，则称X服从参数为n,p的二项分布。

记作X~B（n,p)

,其分布律为2.(p27)定义设将试验独立重复进行n次，每次试验中，事件A发生的概率均为p，则称这n次试验为n重贝努里试验.(P27)若以X表示n重贝努里试验事件A发生的次数，则称X服10Xn)的分布函数为F(x1,x2,.SX={0,1,2,3,4,5},X的概率密度应该是什么形态？特别，当X1,X2,…,Xn独立同分布(分布函数相同)时，则有长途汽车起点站于每时的10分、25分、55分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客候车时间超过10分钟的概率012答:P{X0}=0现从中任取3只球(不放回)，求抽得的白球数X为k的概率。上题用泊松定理取=np＝(400)(0.例4设X~U(0,1),求Y=ax+b的概率密度.若Xk的边缘分布函数为FXk(xk),k=1,2,…,n,P(Ai)=p,i=1,2,…5.上公式推求Y的密度函数。(2)的大小直接影响概率的分布XYy1y2…yj…V＝max(X,Y)例3.从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率都是1/3.(1)设X为汽车行驶途中遇到的红灯数,求X的分布律.(2)求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率.解:(1)由题意,X~B(6,1/3),于是,X的分布律为:Xn)的分布函数为F(x1,x2,.例3.从某大学到火车站途11例4.

某人射击的命中率为0.02，他独立射击400次，试求其命中次数不少于2的概率。泊松定理(p28)设随机变量Xn~B(n,p),(n＝0,1,2,…),且n很大，p很小，记=np，则

解

设X表示400次独立射击中命中的次数，则X～B(400,0.02)，故P{X2}＝1－P{X＝0}－P{X＝1}＝1－0.98400－(400)(0.02)(0.98399)=…例4.某人射击的命中率为0.02，他独立射击400次，12上题用泊松定理取=np＝(400)(0.02)＝8,故近似地有

P{X2}＝1－P{X＝0}－P{X＝1}＝1－(1＋8)e－8＝0.996981.（二.）泊松(Poisson)分布P()(p28)X～P{X＝k}＝,k＝0,1,2,…(0)上题用泊松定理取=np＝(400)(0.02)＝8,13泊松定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布，当n很大，p很小时，二项分布就可近似地看成是参数=np的泊松分布泊松定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布，14例5.设某国每对夫妇的子女数X服从参数为的泊松分布,且知一对夫妇有不超过1个孩子的概率为3e-2.求任选一对夫妇,至少有3个孩子的概率。

解:由题意,例5.设某国每对夫妇的子女数X服从参数为的泊松分布,且知一15例6.进行独立重复试验，每次成功的概率为p，令X表示直到出现第m次成功为止所进行的试验次数，求X的分布律。解:m=1时,m>1时,X的全部取值为:m,m+1,m+2,…P{X=m+1}=P{第m+1次试验时成功并且

在前m次试验中成功了m-1次}例6.进行独立重复试验，每次成功的概率为p，解:m=1时,16Xn)的k（1k<n)维边缘(假定汽车只在遇到红灯或到达火车站时停止)(2)的大小直接影响概率的分布03/103/10正态分布也称为高斯(Gauss)分布3、右连续性：对任意实数x，进行独立重复试验，每次成功的概率为p，二、几个常用的连续型分布事实上，对n维随机变量(X1,X2,…,Xn)，三、某射手对靶射击，单发命中概率都为0.分布函数F(x,y)具有如下性质：(p41-42)若X～f(x)＝五．n维随机变量的边缘分布与独立性(p51)几乎处处成立，则称X1，X2，…，Xn相互独立。越小，曲线越陡峻，。三、某射手对靶射击，单发命中概率都为0.以Y表示汽车在第一次停止之前所通过的交通岗数,求Y的分布律.设随机变量X服从（0，2）上的均匀分布，则随机变量Y=X2在（0，4）内的密度函数为若X～f(x)＝想一想：离散型随机变量的统计特征可以用分布律描述，非离散型的该如何描述？如：熊猫彩电的寿命X是一个随机变量，对消费者来说，你是否在意{X>5年}还是{X>5年零1分钟}Xn)的k（1k<n)维边缘想一想：离散型随机变量的统计特172.3随机变量的分布函数

一、分布函数的概念.

定义(P29)设X是随机变量，对任意实数x，事件{Xx}的概率P{Xx}称为随机变量X的分布函数。记为F(x)，即F(x)＝P{Xx}.

易知，对任意实数a,b(a<b),P{a<Xb}＝P{Xb}－P{Xa}＝F(b)－F(a).2.3随机变量的分布函数

一、分布函数的概念.18二、分布函数的性质(P29)

1、单调不减性：若x1<x2,则F(x1)F(x2);2、归一性：对任意实数x，0F(x)1，且

3、右连续性：对任意实数x，反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。故该三个性质是分布函数的充分必要性质。二、分布函数的性质(P29)1、单调不减性：若x119一般地，对离散型随机变量X～P{X=xk}＝pk,k＝1,2,…其分布函数为

例1

设随机变量X具分布律如右表解

X012P0.10.60.3试求出X的分布函数。一般地，对离散型随机变量例1设随机变量X具分布律如右表解20例2

向[0,1]区间随机抛一质点，以X表示质点坐标.假定质点落在[0,1]区间内任一子区间内的概率与区间长成正比，求X的分布函数解：

F(x)=P{X≤x}

当x<0时,F(x)=0;当x>1时,F(x)=1当0≤x≤1时,特别,F(1)=P{0≤x≤1}=k=1例2向[0,1]区间随机抛一质点，以X表示质点坐标.假定21用分布函数描述随机变量不如分布律直观，对非离散型随机变量，是否有更直观的描述方法？?ab用分布函数描述随机变量不如分布律直观，?ab222.4连续型随机变量

一、概率密度

1.定义(p33)

对于随机变量X，若存在非负函数f(x)，(-<x<+)，使对任意实数x，都有则称X为连续型随机变量，f(x)为X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数.常记为X～f(x),(-<x<+)2.4连续型随机变量

一、概率密度1.定义(23密度函数的几何意义为密度函数的几何意义为24事实上，对n维随机变量(X1,X2,…,Xn)，n维随机变量(X1,X2,…,Xn)———Rn上的随机点坐标为Y＝yj的条件下，X的条件分布律;j＝，j＝1,2,…进一步地，若X1,X2,…,Xn独立且具相同的密度函数f(x)，则M和N的密度函数分别由以下二式表出则可先求Y的分布函数:P{X＝xi}＝pi.P(Ai)=p,i=1,2,…5.则称X为连续型随机变量，f(x)为X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数.（其中g(xk)有相同的，其对应概率合并。XYy1y2…yj…设两人都随机地在这期间的任一时刻到达，先到者最多等待15分钟过时不候。V＝max(X,Y)或随机变量X1,X2,…,Xn的联合分布函数。，则P{Y≥1}=7设(X1,,X2,…,Xn)与(Y1,Y2,…，Ym)相互独立，则Xi(i=1,2,…,n))与Yi(i=1,2,…,m)相互独立；X 1 0 Y 1 0为(X,Y)关于X的边缘密度函数；5一维随机变量函数的分布设X1，X2，…，Xn为n个连续型随机变量，若对任意的(x1,x2,…,xn)Rn，2.密度函数的性质(p34)(1)非负性f(x)0，(-<x<)；

(2)归一性性质(1)、(2)是密度函数的充要性质；

EX设随机变量X的概率密度为求常数a.答:事实上，对n维随机变量(X1,X2,…,Xn)，2.25(3)若x是f(x)的连续点，则EX设随机变量X的分布函数为求f(x)(3)若x是f(x)的连续点，则EX设随机变量X的分布函数26（4）对任意实数b，若X～f(x)，(-<x<)，则P{X=b}＝0。于是（4）对任意实数b，若X～f(x)，27P(35)例2.3.2.已知随机变量X的概率密度为1)求X的分布函数F(x),2)求P{X(0.5,1.5)}P(35)例2.3.2.已知随机变量X的概率密度为28二、几个常用的连续型分布1.均匀分布(p36)若X～f(x)＝则称X在(a,b)内服从均匀分布。记作X~U(a,b)对任意实数c,d(a<c<d<b)，都有二、几个常用的连续型分布1.均匀分布(p36)则称X在(a29例.长途汽车起点站于每时的10分、25分、55分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客候车时间超过10分钟的概率1545解：设A—乘客候车时间超过10分钟X—乘客于某时X分钟到达，则XU(0,60)例.长途汽车起点站于每时的10分、25分、55分发车，设乘客302.指数分布(p36)若X～则称X服从参数为>0的指数分布。其分布函数为2.指数分布(p36)则称X服从参数为>0的指数分布。31例.电子元件的寿命X(年）服从参数为3的指数分布(1)求该电子元件寿命超过2年的概率。(2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用两年的概率为多少？解例.电子元件的寿命X(年）服从参数为3的指数分布解32例.某公路桥每天第一辆汽车过桥时刻为T，设[0，t]时段内过桥的汽车数Xt服从参数为t的泊松分布，求T的概率密度。解当t≤0时，当t>0时，=1-{在t时刻之前无汽车过桥}于是例.某公路桥每天第一辆汽车过桥时刻为T，解当t≤0时，当t33正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特别重要的地位。3.正态分布ABA，B间真实距离为，测量值为X。X的概率密度应该是什么形态？正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上3.正态分布ABA，34其中为实数，

>0，则称X服从参数为,2的正态分布,记为N(,2)，可表为X～N(,2).若随机变量其中为实数，>0，则称X服从参数为,2的正态35

(1)单峰对称

密度曲线关于直线x=对称；(p38) f()＝maxf(x)＝.正态分布有两个特性：(1)单峰对称正态分布有两个特性：36(2)的大小直接影响概率的分布越大，曲线越平坦，越小，曲线越陡峻，。正态分布也称为高斯(Gauss)分布(2)的大小直接影响概率的分布374.标准正态分布(p38)

参数＝0，2＝1的正态分布称为标准正态分布，记作X~N(0,1)。4.标准正态分布(p38)38分布函数表示为其密度函数表示为分布函数表示为其密度函数表示为39一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅(x)的值。(P226附表1)如，若Z~N（0，1）,（0.5)=0.6915,P{1.32<Z<2.43}=(2.43)-(1.32)=0.9925-0.9066注：(1)(x)＝1－(－x)；(2)若X～N(,2)，则正态分布表一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅(x)的40EX设随机变量X~N(-1,22),P{-2.45<X<2.45}=?P(39)例2.3.5.设XN(,2),求P{-3<X<+3}本题结果称为3原则.在工程应用中，通常认为P{|X|≤3}≈1，忽略{|X|>3}的值.如在质量控制中，常用标准指标值±3作两条线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报.表明生产出现异常.正态分布表EX设随机变量X~N(-1,22),P{-2.45<X<2.41(p67)14一种电子元件的使用寿命Ｘ（小时）服从正态分布Ｎ(100,152),某仪器上装有3个这种元件，三个元件损坏与否是相互独立的.求：使用的最初90小时内无一元件损坏的概率.解:设Y为使用的最初90小时内损坏的元件数,故则Y~B(3,p)其中正态分布表(p67)14一种电子元件的使用寿命Ｘ（小时）服从正态分布42一、离散型随机变量函数的分布律

2.5一维随机变量函数的分布

(p55)设X一个随机变量，分布律为X～P{X＝xk}＝pk,k＝1,2,…若y＝g(x)是一元单值实函数，则Y＝g(X)也是一个随机变量。求Y的分布律.例:已知XPk-101求：Y=X2的分布律YPk10一、离散型随机变量函数的分布律2.5一维随机变量函数的分43或Y＝g(X)～P{Y＝g(xk)}＝pk，k＝1,2,…（其中g(xk)有相同的，其对应概率合并。）一般地XPkY=g(X)或一般地XPkY=g(X)44(X,Y)的密度函数(概率密度)，或X与Y的联合密度函数，可记为设随机变量X~N(-1,22),P{-2.(2)已知该电子元件已使用了1.FY(y)=P{Yy}=P{g(X)y}Xn)的k（1k<n)维边缘已知(X,Y)的分布函数为定义(p33)对于随机变量X，若存在非负函数f(x)，(-<x<+)，使对任意实数x，都有为(X,Y)关于Y的边缘密度函数。,Xn构成一个n维向量(X1,X2,.设(X,Y)的概率密度为为(X,Y)的分布函数，或X与Y的联合分布函数。同理，对固定的i,pi.Xn)的全部可能取值为Rn上的有限或可列无穷多个点，称(X1,X2,.对于离散型随机变量的情形，若对任意整数xn)FY(y1,y2,…ym)Pqp对任意实数c,d(a<c<d<b)，都有记作X~U(a,b)一、离散型随机变量函数的分布律已知随机变量X的概率密度为二、连续型随机变量函数的密度函数

1、一般方法(p56)若X~f(x),-<x<+,Y=g(X)为随机变量X的函数，则可先求Y的分布函数

FY(y)

＝P{Yy}＝P{g(X)y}＝

然后再求Y的密度函数此法也叫“分布函数法”(X,Y)的密度函数(概率密度)，或X与Y的联合密度函数45例1.设XU(-1,1),求Y=X2的分布函数与概率密度。当y<0时当0≤y<1时当y≥1时例1.设XU(-1,1),求Y=X2的分布函数与概率密度。46例2.设X的概率密度为fX(x),y=g(x)关于x处处可导且是x的严格单减函数，求Y=g(X)的概率密度。解：Y的分布函数为

FY(y)=P{Yy}=P{g(X)y}=P{X≥g-1(y)}=1-FX(g-1(y))Y的概率密度为

fY(y)=F(g-1(y))=－fX(g-1(y))g-1(y)例2.设X的概率密度为fX(x),y=g(x)关于x处处可导472、公式法：一般地若X～fX(x),y=g(x)是单调可导函数，则

注：1只有当g(x)是x的单调可导函数时，才可用以上公式推求Y的密度函数。2注意定义域的选择其中h(y)为y＝g(x)的反函数.2、公式法：一般地注：1只有当g(x)是x的单调可导函数时48例3.已知XN(,2),求

解：的概率密度关于x严单,反函数为故例3.已知XN(,2),求解：的概率密度关于49例4设X~U(0,1),求Y=ax+b的概率密度.(a≠0)解:Y=ax+b关于x严单,反函数为故而故例4设X~U(0,1),求Y=ax+b的概率密度.(a≠050小结.小结.51习题课一、填空：1.设随机变量X服从参数为（2,p）的二项分布，随机变量Y服从参数（3,p）的二项分布，若，则P{Y≥1}=

习题课一、填空：522.设随机变量X服从（0，2）上的均匀分布，则随机变量Y=X2在（0，4）内的密度函数为fY(y)=

2.设随机变量X服从（0，2）上的均匀分布，则随机变量Y=X533.设随机变量X~N（2，σ2），且P（2<X<4）=0.3，则P(X<0)=3.设随机变量X~N（2，σ2），且P（2<X<4）=0.354二.从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率都是1/3.以Y表示汽车在第一次停止之前所通过的交通岗数,求Y的分布律.(假定汽车只在遇到红灯或到达火车站时停止)二.从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个交通岗是否遇55三、某射手对靶射击，单发命中概率都为0.6，现他扔一个均匀的骰子，扔出几点就对靶独立射击几发，求他恰好命中两发的概率。三、某射手对靶射击，单发命中概率都为0.6，现他扔一个均匀的56四.已知随机变量X的概率密度为求：Y=1-X2的概率密度四.已知随机变量X的概率密度为求：Y=1-X2的概率密度57二、多个随机变量函数的密度函数F(x2,y2)－F(x1,y2)－F(x2,y1)＋F(x1,y1)0.一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅(x)的值。例1设随机变量X具分布律如右表某公路桥每天第一辆汽车过桥时刻为T，正态分布也称为高斯(Gauss)分布二维离散型随机变量的分布律也可列表表示如下:分布函数F(x,y)具有如下性质：(p41-42)x+y=zx+yz一、离散型随机变量函数的分布律则Z＝g(X,Y)～P{Z＝zk}＝＝pk,(2)归一性：二维连续型随机变量及其密度函数(2)的大小直接影响概率的分布X 1 0 Y 1 0X01同理，对固定的i,pi.yV＝max(X,Y)注：1只有当g(x)是x的单调可导函数时，才可用以X—乘客于某时X分钟到达，则XU(0,60)2.6二维随机变量的联合分布

一、

多维随机变量1.定义(p41)将n个随机变量X1，X2，...,Xn构成一个n维向量(X1,X2,...,Xn)称为n维随机变量。一维随机变量X——R1上的随机点坐标二维随机变量(X,Y)——R2上的随机点坐标n维随机变量(X1,X2,…,Xn)———Rn上的随机点坐标多维随机变量的研究方法也与一维类似，用分布函数、概率密度、或分布律来描述其统计规律二、多个随机变量函数的密度函数2.6二维随机变量的联合分布58

(p41)设(X,Y)是二维随机变量，(x,y)R2,则称F(x,y)=P{Xx,Yy}为(X,Y)的分布函数，或X与Y的联合分布函数。二.联合分布函数几何意义：分布函数F()表示随机点(X,Y)落在区域中的概率。如图阴影部分：(p41)设(X,Y)是二维随机变量，(x,59对于(x1,y1),(x2,y2)R2,(x1<

x2，y1<y2),则P{x1<X

x2，y1<yy2}＝F(x2,y2)－F(x1,y2)－F(x2,y1)＋F(x1,y1).(x1,y1)(x2,y2)(x2,y1)(x1,y2)对于(x1,y1),(x2,y2)R2,(x1<60分布函数F(x,y)具有如下性质：(p41-42)且(1)归一性

对任意(x,y)R2,0F(x,y)1,分布函数F(x,y)具有如下性质：(p41-42)且(1)61

(2)单调不减

对任意yR,当x1<x2时，F(x1,y)F(x2,y)；

对任意xR,当y1<y2时，F(x,y1)F(x,y2).(3)右连续

对任意xR,yR,

(2)单调不减(3)右连续对任意x62(4)矩形不等式

对于任意(x1,y1),(x2,y2)R2,(x1<

x2，y1<y2),F(x2,y2)－F(x1,y2)－F(x2,y1)＋F(x1,y1)0.反之，任一满足上述四个性质的二元函数F(x,y)都可以作为某个二维随机变量(X,Y)的分布函数。(4)矩形不等式反之，任一满足上述四个性质的二元函数F(x,63例2.已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为1)求常数A，B，C。2)求P{0<X<2,0<Y<3}解:例2.已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为1)求常数A，B64三.联合分布律

(P42)若二维随机变量(X,Y)只能取至多可列个值

(xi,yj),(i,j＝1,2,…)，则称(X,Y)为

二维离散型随机变量。若二维离散型随机变量(X,Y)取(xi,yj)的概率为pij,则称P{X＝xi,Y＝yj,}＝pij，

(i,j＝1,2,…)，为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律，或随机变量X与Y的联合分布律.

可记为

(X,Y)～P{X＝xi,Y＝yj,}＝pij，(i,j＝1,2,…)，三.联合分布律(P42)若二维随机变量(X,Y)只能取至65XYy1y2…yj…

p11

p12...

P1j...

p21

p22...

P2j...

pi1

pi2...

Pij...........................联合分布律的性质(1)pij

0,i,j＝1,2,…

；

(2)x1x2xi二维离散型随机变量的分布律也可列表表示如下:P43XYy1y2…yj66例3.(P43)袋中有两只红球，三只白球，现不放回摸球二次，令,求(X,Y)的分布律。XY1010例3.(P43)袋中有两只红球，三只白球，现不放回摸球二次，67四.二维连续型随机变量及其密度函数1、定义p44

对于二维随机变量(X,Y)，若存在一个非负可积函数f(x,y)，使对(x,y)R2，其分布函数则称(X,Y)为二维连续型随机变量，f(x,y)为(X,Y)的密度函数(概率密度)，或X与Y的联合密度函数，可记为

(X,Y)～f(x,y)，(x,y)R2四.二维连续型随机变量及其密度函数1、定义p44则称68特别,F(1)=P{0≤x≤1}=k=1X～P{X＝k}＝,k＝0,1,2,…(0)某射手对目标独立射击5次，每次命中目标的概率为p，以X表示命中目标的次数，求X的分布律。2：随机变量X与Y独立的充分必要条件是(p49)对于离散型随机变量的情形，若对任意整数上题用泊松定理取=np＝(400)(0.fN(z)＝n[1－F(z)]n－1f(z).两个常用的二维连续型分布

(1)二维均匀分布(p45)求X、Y的边缘分布律。(1)归一性对任意(x,y)R2,0F(x,y)1,电子元件的寿命X(年）服从参数为3的指数分布Xn)的全部可能取值为Rn上的有限或可列无穷多个点，称(X1,X2,.两个常用的二维连续型分布

(1)二维均匀分布(p45)设随机变量X服从（0，2）上的均匀分布，则随机变量Y=X2在（0，4）内的密度函数为2、联合密度f(x,y)的性质(p44)泊松定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布，fM(z)＝n[F(z)]n－1f(z)；故关于X和Y的分布律分别为：某公路桥每天第一辆汽车过桥时刻为T，2、联合密度f(x,y)的性质(p44)(1)非负性：f(x,y)0,(x,y)R2;(2)归一性：反之，具有以上两个性质的二元函数f(x,y)，必是某个二维连续型随机变量的密度函数。此外，f(x,y)还有下述性质(3)若f(x,y)在(x,y)R2处连续，则有特别,F(1)=P{0≤x≤1}=k=12、联合密度f(x,69(4)对于任意平面区域GR2,EX设求:P{X>Y}G(4)对于任意平面区域GR2,EX设求70求：(1)常数A；(2)F(1,1)；(3)(X,Y)落在三角形区域D：x0,y0,2X+3y6内的概率。

例4.设解(1)由归一性求：(1)常数A；(2)F(1,1)；例4.设解(171(3)(X,Y)落在三角形区域D：x0,y0,2X+3y6内的概率。解(3)(X,Y)落在三角形区域D：x0,y0,72

3.两个常用的二维连续型分布

(1)二维均匀分布(p45)

若二维随机变量(X,Y)的密度函数为则称(X,Y)在区域D上(内)服从均匀分布。易见，若（X，Y）在区域D上(内)服从均匀分布，对D内任意区域G，有3.两个常用的二维连续型分布

(1)二维均匀73例5.设(X,Y)服从如图区域D上的均匀分布，(1)求(X,Y)的概率密度；(2)求P{Y<2X}；(3)求F(0.5,0.5)例5.设(X,Y)服从如图区域D上的均匀分布，74其中，1、2为实数，1>0、2>0、||<1，则称(X,Y)服从参数为1,2,1,2,的二维正态分布，可记为

(2)二维正态分布N(1,2,1,2,)

若二维随机变量(X,Y)的密度函数为(P101)其中，1、2为实数，1>0、2>0、||<1，75分布函数的概念可推广到n维随机变量的情形。事实上，对n维随机变量(X1,X2,…,Xn)，F(x1,x2,…,xn)＝P(X1x1,X2x2,…,Xnxn)称为的n维随机变量(X1,X2,…,Xn)的分布函数，或随机变量X1,X2,…,Xn的联合分布函数。定义2.4.6.n维随机变量(X1,X2,...Xn)，如果存在非负的n元函数f(x1,x2,...xn)使对任意的n元立方体分布函数的概念可推广到n维随机变量的情形。定义2.4.6.76定义2.4.7.若(X1,X2,...Xn)的全部可能取值为Rn上的有限或可列无穷多个点，称(X1,X2,...Xn)为n维离散型的，称P{X1=x1,X2=x2,...Xn=xn}，(x1,x2,...xn)为n维随机变量(X1,X2,...Xn)的联合分布律。则称(X1,X2,...Xn)为n维连续型随机变量，称f(x1,x2,...xn)为(X1,X2,...Xn)的概率密度。定义2.4.7.若(X1,X2,...Xn)的全部可能取值77求：（1）P{X0},(2)P{X1},(3)P{Yy0} EX:随机变量（X，Y）的概率密度为xyD答:P{X0}=0求：（1）P{X0},(2)P{X1},(3)P{Y78FY(y)＝F(+,y)＝＝P{Yy}称为二维随机变量(X,Y)关于Y的边缘分布函数.

2.7.边缘分布与独立性

一、边缘分布函数(p46)FX(x)＝F(x,+)＝＝P{Xx}称为二维随机变量(X,Y)关于X的边缘分布函数；边缘分布实际上是高维随机变量的某个(某些)低维分量的分布。FY(y)＝F(+,y)＝79例1.已知(X,Y)的分布函数为求FX(x)与FY(y)。例1.已知(X,Y)的分布函数为求FX(x)与FY(y)80二、边缘分布律若随机变量X与Y的联合分布律为(p47)(X,Y)～P{X＝xi,Y＝yj,}＝pij，i,j＝1,2,…则称P{X＝xi}＝pi.＝，i＝1,2,…为(X,Y)关于X的边缘分布律；P{Y＝yj}＝p.j＝，j＝1,2,…为(X,Y)关于Y的边缘分布律。边缘分布律自然也满足分布律的性质。二、边缘分布律若随机变量X与Y的联合分布律为(p47)P{81例2.已知(X,Y)的分布律为x\y 1 0 1 1/10 3/10 03/103/10求X、Y的边缘分布律。 解： x\y 1 0 pi. 1 1/10 3/10 0 3/10 3/10 p.j

故关于X和Y的分布律分别为：X 1 0 Y 1 0 P2/5 3/5 P 2/5 3/52/53/52/53/5例2.已知(X,Y)的分布律为解： 故关于X和Y82三、边缘密度函数为(X,Y)关于Y的边缘密度函数。设(X,Y)～f(x,y),(x,y)R2,则称(p48)

为(X,Y)关于X的边缘密度函数；同理，称易知N(1,2,12,22,)的边缘密度函数fX(x)是N(1,12)的密度函数，而fX(x)是N(2,22)的密度函数，故二维正态分布的边缘分布也是正态分布。三、边缘密度函数为(X,Y)关于Y的边缘密度函数。83例3.设(X,Y)的概率密度为（1）求常数c;(2)求关于X的边缘概率密度解:(1)由归一性例3.设(X,Y)的概率密度为（1）求常数c;(2)求关于X84设(X,Y)服从如图区域D上的均匀分布，求关于X的和关于Y的边缘概率密度

x=yx=-yEX设(X,Y)服从如图区域D上的均匀分布，x=yx=-yEX85四、随机变量的相互独立性定义2.4.1称随机变量X与Y独立，如果对任意实数a<b,c<d，有(p49)p{a<Xb,c<Yd}=p{a<Xb}p{c<Yd} 即事件{a<Xb}与事件{c<Yd}独立，则称随机变量X与Y独立。定理2.4.2：随机变量X与Y独立的充分必要条件是(p49) F(x,y)=FX(x)FY(y)四、随机变量的相互独立性定义2.4.1称随机变量X与Y独立86定理2.4.3.(p50)设(X,Y)是二维连续型随机变量，X与Y独立的充分必要条件是f(x,y)=fX(x)fY(y)定理2.4.4.(p50)设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为Pi,j=P{X=xi,Y=yj},i,j=1,2,...，则X与Y独立的充分必要条件是对任意i,j，Pi,j=Pi.Pj。由上述定理可知，要判断两个随机变量X与Y的独立性，只需求出它们各自的边缘分布，再看是否对(X,Y)的每一对可能取值点,边缘分布的乘积都等于联合分布即可定理2.4.3.(p50)设(X,Y)是二维连续型随机变量87EX：判断例1、例2、例3中的X与Y是否相互独立例(p50).已知随机变量(X,Y)的分布律为且知X与Y独立，求a、b的值。例4.(p51)甲乙约定8:009:00在某地会面。设两人都随机地在这期间的任一时刻到达，先到者最多等待15分钟过时不候。求两人能见面的概率。EX：判断例1、例2、例3中的X与Y是否相互独立例(p50)88定义.设n维随机变量(X1,X2,...Xn)的分布函数为F(x1,x2,...xn),(X1,X2,...Xn)的k（1k<n)维边缘分布函数就随之确定，如关于(X1,X2）的边缘分布函数是FX1,X2（x1,x2,)=F(x1,x2,,...)若Xk的边缘分布函数为FXk(xk),k=1,2,…,n,五．n维随机变量的边缘分布与独立性(p51)则称X1,X2,...Xn相互独立，或称(X1,X2,...Xn)是独立的。定义.设n维随机变量(X1,X2,...Xn)的分布函数为89对于离散型随机变量的情形，若对任意整数i1,i2,…,in及实数有则称离散型随机变量X1,X2,…,Xn相互独立。

设X1，X2，…，Xn为n个连续型随机变量，若对任意的(x1,x2,…,xn)Rn，

f(x1,x2,…,xn)＝fX1(x1)fX2(x2)…fXn(xn)几乎处处成立，则称X1，X2，…，Xn相互独立。对于离散型随机变量的情形，若对任意整数则称离散型随机变量X190定义2.4.6.设n维随机变量(X1,X2,...Xn)的分布函数为FX(x1,x2,...xn)；m维随机变量(Y1,Y2,…Ym)的分布函数为FY(y1,y2,…ym),X1,X2,...Xn,Y1,Y2,…Ym组成的n+m维随机变量（X1,X2,...Xn,Y1,Y2,…Ym)的分布函数为F（x1,x2,...xn,y1,y2,…ym).如果F（x1,x2,...xn,y1,y2,…ym).=FX(x1,x2,...xn)FY(y1,y2,…ym)则称n维随机变量(X1,X2,...Xn)与m维随机变量(Y1,Y2,…Ym)独立。定义2.4.6.设n维随机变量(X1,X2,...Xn)的91定理2.4.7设(X1,,X2,…,Xn)与(Y1,Y2,…，Ym)相互独立，则Xi(i=1,2,…,n))与Yi(i=1,2,…,m)相互独立；又若h,g是连续函数，则h(X1,,X2,…,Xn)与g(Y1,Y2,…，Ym)相互独立.定理2.4.7设(X1,,X2,…,Xn)与(Y1,92设随机变量X与Y的联合分布律为(X,Y)～P{X＝xi,Y＝yj,}＝pij，(i,j＝1,2,…)，X和Y的边缘分布律分别为2.8条件分布

一.离散型随机变量的条件分布律设随机变量X与Y的联合分布律为2.8条件分布

一.离散型93为Y＝yj的条件下，X的条件分布律;若对固定的j,p.j>0,则称同理，对固定的i,pi.

>0,称为X＝xi的条件下，Y的条件分布律;为Y＝yj的条件下，X的条件分布律;若对固定的j,p.j94EX.设某昆虫的产卵数X服从参数为50的泊松分布，又设一个虫卵能孵化成虫的概率为0.8,且各卵的孵化是相互独立的，求此昆虫产卵数X与下一代只数Y的联合分布律.EX.设某昆虫的产卵数X服从参数为50的泊松分布，又设一个虫95二连续型随机变量的条件概率密度

定义.给定y，设对任意固定的正数>0，极限存在，则称此极限为在条件条件下X的条件分布函数.记作可证当时二连续型随机变量的条件概率密度

定义.给定y，设对任意固96若记为在Y=y条件下X的条件概率密度，则由(3.3.3)知,当时，.类似定义，当时若记为在Y=y条件97例2.已知(X,Y)的概率密度为(1)求条件概率密度(2)求条件概率xy1解:=…p55例2.已知(X,Y)的概率密度为(1)求条件概率密度(2)求982.8多维随机变量函数的分布

一、二维离散型随机变量函数的分布律设二维离散型随机变量（X，Y），(X,Y)～P(X＝xi,Y＝yj)＝pij，i,j＝1,2,…则Z＝g(X,Y)～P{Z＝zk}＝＝pk,k＝1,2,…(X,Y)(x1,y1)(x1,y2)…(xi,yj)…pijp12p13p14Z=g(X,Y)g(x1,y1)g(x1,y2)g(xi,yj)或2.8多维随机变量函数的分布

一、二维离散型随机变量函数的99

EX

设随机变量X与Y独立，且均服从0-1分布，其分布律均为X

0

1

Pqp(1)求W＝X＋Y的分布律;(2)求V＝max(X,Y)的分布律；(3)求U＝min(X,Y)的分布律。(4)求w与V的联合分布律。EX设随机变量X与Y独立，且均服从0-100(X,Y)(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)pijW＝X＋YV＝max(X,Y)U＝min(X,Y)011201110001VW01012000(X,Y)(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)pijW＝101二、多个随机变量函数的密度函数1、一般的方法：分布函数法(p60)若(X1,X2,…,Xn)~f(x1,x2,…,xn),(x1,x2,…,xn)Rn,Y=g(X1,X2,…,Xn),则可先求Y的分布函数:然后再求出Y的密度函数:二、多个随机变量函数的密度函数1、一般的方法：分布函数法(p1022、几个常用函数的密度函数(1)和的分布已知(X,Y)～f(x,y),(x,y)R2,求Z＝X＋Y的密度。

zx+y=z

x+yz

若X与Y相互独立，则Z＝X＋Y的密度函数

2、几个常用函数的密度函数z若X与Y相互独立，则Z103例1.设随机变量X与Y独立且均服从标准正态分布，求证：Z=X+Y服从N（0，2）分布。一般地，设随机变量X1,X2，...,Xn独立且Xi服从正态分布N(i,i2),i=1,...,n,则p62例1.设随机变量X与Y独立且均服从标准正态分布，求证：Z=104例2.卡车装运水泥,设每袋水泥的重量X(kg)服从N(50,2.52)分布,该卡车的额定载重量为2000kg,问最多装多少袋水泥,可使卡车超载的概率不超过0.05.解:设最多装n袋水泥,Xi为第i袋水泥的重量.则由题意,令查表得例2.卡车装运水泥,设每袋水泥的重量X(kg)服从N(50,105(2)商的分布已知(X,Y)～f(x,y),(x,y)R2,求Z＝的密度。

y

G1

0x

G2特别，当X，Y相互独立时，上式可化为

其中fX(x),fY(y)分别为X和Y的密度函数。

(2)商的分布y特别106

3、极大(小)值的分布设X1,X2,…,Xn相互独立，其分布函数分别为F1(x1),F2(x2),…,Fn(xn)，记M＝max{X1,X2,…,Xn},N＝min{X1,X2,…,Xn}则，M和N的分布函数分别为：FM(z)＝F1(z)…Fn(z)3、极大(小)值的分布FM(z)＝F1(z)…107

特别，当X1,X2,…,Xn独立同分布(分布函数相同)时，则有

FM(z)＝[F(z)]n;FN(z)＝1－[1－F(z)]n.

进一步地，若X1,X2,…,Xn独立且具相同的密度函数f(x)，则M和N的密度函数分别由以下二式表出

fM(z)＝n[F(z)]n－1f(z)；

fN(z)＝n[1－F(z)]n－1f(z).

特别，当X1,X2,…,Xn独立同分布(108例3.设系统L由两个相互独立的子系统联接而成，联接的方式分别为(i)串联，(ii)并联，如图所示设L1,L2的寿命分别为X与Y，已知它们的概率密度分别为其中>0，>0,试分别就以上两种联结方式写出L的寿命Z的概率密度．例3.设系统L由两个相互独立的子系统联接而成，联接的方式分109小结小结110第二章随机变量离散型随机变量随机变量的分布函数连续型随机变量一维随机变量函数的分布二维随机变量的联合分布多维随机变量的边缘分布与独立性条件分布多维随机变量函数的分布第二章随机变量离散型随机变量111

关于随机变量(及向量)的研究，是概率论的中心内容．这是因为，对于一个随机试验，我们所关心的往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量，而这些量就是随机变量．也可以说：随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，一如数学分析中的常量与变量的区分那样．变量概念是高等数学有别于初等数学的基础概念．同样，概率论能从计算一些孤立事件的概念发展为一个更高的理论体系，其基础概念是随机变量关于随机变量(及向量)的研究，是概率论的中心内容．1122.1随机变量的概念(p24)定义.

设S={e}是试验的样本空间，如果量X是定义在S上的一个单值实值函数即对于每一个eS，有一实数X=X(e)与之对应，则称X为随机变量。随机变量常用X、Y、Z或、、等表示。随机变量的特点:

1X的全部可能取值是互斥且完备的2X的部分可能取值描述随机事件2.1随机变量的概念(p24)定义.设S={e}是试验的样113?请举几个实际中随机变量的例子EX．引入适当的随机变量描述下列事件：①将3个球随机地放入三个格子中，事件A={有1个空格}，B={有2个空格}，C={全有球}。②进行5次试验，事件D={试验成功一次}，F={试验至少成功一次}，G={至多成功3次}?请举几个实际中随机变量的例子EX．引入适当的随机变量描述下114随机变量的分类：随机变量随机变量的分类：1152.2离散型随机变量(P25)定义若随机变量X取值x1,x2,…,xn,…且取这些值的概率依次为p1,p2,…,pn,…,则称X为离散型随机变量，而称P{X=xk}=pk,(k=1,2,…)

为X的分布律或概率分布。可表为

X～P{X=xk}=pk,(k=1,2,…)，或…X

x1 x2 …

xK … Pk p1 p2 … pk …2.2离散型随机变量(P25)定义若随机变量X取值x1,116(1)pk0,k＝1,2,…;(2)

例1设袋中有5只球，其中有2只白3只黑。现从中任取3只球(不放回)，求抽得的白球数X为k的概率。解k可取值0，1，22.分布律的性质(1)pk0,k＝1,2,…;例1设袋中117例2.某射手对目标独立射击5次，每次命中目标的概率为p，以X表示命中目标的次数，求X的分布律。解：设Ai第i次射击时命中目标，i=1,2,3,4,5则A1,A2,…A5,相互独立且P(Ai)=p,i=1,2,…5.SX={0,1,2,3,4,5},(1-p)5

例2.某射手对目标独立射击5次，每次命中目标的概率为p，以X118·几个常用的离散型分布

（一）贝努里(Bernoulli)概型与二项分布1.(0-1)分布(p26)若以X表示进行一次试验事件A发生的次数，则称X服从(0－1)分布(两点分布)X～P{X＝k}＝pk(1－p)1－k,(0<p<1)k＝0，1或·几个常用的离散型分布

（一）贝努里(Bernoulli)概119(P27)若以X表示n重贝努里试验事件A发生的次数，则称X服从参数为n,p的二项分布。

记作X~B（n,p)

,其分布律为2.(p27)定义设将试验独立重复进行n次，每次试验中，事件A发生的概率均为p，则称这n次试验为n重贝努里试验.(P27)若以X表示n重贝努里试验事件A发生的次数，则称X服120Xn)的分布函数为F(x1,x2,.SX={0,1,2,3,4,5},X的概率密度应该是什么形态？特别，当X1,X2,…,Xn独立同分布(分布函数相同)时，则有长途汽车起点站于每时的10分、25分、55分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客候车时间超过10分钟的概率012答:P{X0}=0现从中任取3只球(不放回)，求抽得的白球数X为k的概率。上题用泊松定理取=np＝(400)(0.例4设X~U(0,1),求Y=ax+b的概率密度.若Xk的边缘分布函数为FXk(xk),k=1,2,…,n,P(Ai)=p,i=1,2,…5.上公式推求Y的密度函数。(2)的大小直接影响概率的分布XYy1y2…yj…V＝max(X,Y)例3.从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率都是1/3.(1)设X为汽车行驶途中遇到的红灯数,求X的分布律.(2)求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率.解:(1)由题意,X~B(6,1/3),于是,X的分布律为:Xn)的分布函数为F(x1,x2,.例3.从某大学到火车站途121例4.

某人射击的命中率为0.02，他独立射击400次，试求其命中次数不少于2的概率。泊松定理(p28)设随机变量Xn~B(n,p),(n＝0,1,2,…),且n很大，p很小，记=np，则

解

设X表示400次独立射击中命中的次数，则X～B(400,0.02)，故P{X2}＝1－P{X＝0}－P{X＝1}＝1－0.98400－(400)(0.02)(0.98399)=…例4.某人射击的命中率为0.02，他独立射击400次，122上题用泊松定理取=np＝(400)(0.02)＝8,故近似地有

P{X2}＝1－P{X＝0}－P{X＝1}＝1－(1＋8)e－8＝0.996981.（二.）泊松(Poisson)分布P()(p28)X～P{X＝k}＝,k＝0,1,2,…(0)上题用泊松定理取=np＝(400)(0.02)＝8,123泊松定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布，当n很大，p很小时，二项分布就可近似地看成是参数=np的泊松分布泊松定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布，124例5.设某国每对夫妇的子女数X服从参数为的泊松分布,且知一对夫妇有不超过1个孩子的概率为3e-2.求任选一对夫妇,至少有3个孩子的概率。

解:由题意,例5.设某国每对夫妇的子女数X服从参数为的泊松分布,且知一125例6.进行独立重复试验，每次成功的概率为p，令X表示直到出现第m次成功为止所进行的试验次数，求X的分布律。解:m=1时,m>1时,X的全部取值为:m,m+1,m+2,…P{X=m+1}=P{第m+1次试验时成功并且

在前m次试验中成功了m-1次}例6.进行独立重复试验，每次成功的概率为p，解:m=1时,126Xn)的k（1k<n)维边缘(假定汽车只在遇到红灯或到达火车站时停止)(2)的大小直接影响概率的分布03/103/10正态分布也称为高斯(Gauss)分布3、右连续性：对任意实数x，进行独立重复试验，每次成功的概率为p，二、几个常用的连续型分布事实上，对n维随机变量(X1,X2,…,Xn)，三、某射手对靶射击，单发命中概率都为0.分布函数F(x,y)具有如下性质：(p41-42)若X～f(x)＝五．n维随机变量的边缘分布与独立性(p51)几乎处处成立，则称X1，X2，…，Xn相互独立。越小，曲线越陡峻，。三、某射手对靶射击，单发命中概率都为0.以Y表示汽车在第一次停止之前所通过的交通岗数,求Y的分布律.设随机变量X服从（0，2）上的均匀分布，则随机变量Y=X2在（0，4）内的密度函数为若X～f(x)＝想一想：离散型随机变量的统计特征可以用分布律描述，非离散型的该如何描述？如：熊猫彩电的寿命X是一个随机变量，对消费者来说，你是否在意{X>5年}还是{X>5年零1分钟}Xn)的k（1k<n)维边缘想一想：离散型随机变量的统计特1272.3随机变量的分布函数

一、分布函数的概念.

定义(P29)设X是随机变量，对任意实数x，事件{Xx}的概率P{Xx}称为随机变量X的分布函数。记为F(x)，即F(x)＝P{Xx}.

易知，对任意实数a,b(a<b),P{a<Xb}＝P{Xb}－P{Xa}＝F(b)－F(a).2.3随机变量的分布函数

一、分布函数的概念.128二、分布函数的性质(P29)

1、单调不减性：若x1<x2,则F(x1)F(x2);2、归一性：对任意实数x，0F(x)1，且

3、右连续性：对任意实数x，反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。故该三个性质是分布函数的充分必要性质。二、分布函数的性质(P29)1、单调不减性：若x1129一般地，对离散型随机变量X～P{X=xk}＝pk,k＝1,2,…其分布函数为

例1

设随机变量X具分布律如右表