第14讲根的判别式与韦达定理

第14讲根的判别式与韦达定理模块一一元二次方程根的判别式知识导航式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a^0)根的判别式，通常用希腊字母，△”来表示，即△=b2—4ac.当^>0时，方程ax2+bx+c=0(a/0)有两个不等的实数根；当^=0时，方程ax2+bx+c=0(a/0)有两个相等的实数根；当^<0时，方程ax2+bx+c=0(a/0)无实数根.计算判别式的值，可以判断一元二次方程根的情况；反之，若一元二次方程有两个不等实数根，则△>0;若一元二次方程有两个相等实数根，则△=0；若一元二次方程无实数根，则△<0.注意：当△=0时，方程有两个相等的实根，不能说方程只有一个根当△>0时，方程有两个实根(一元二次方程有实根).例1已知关于x的一元二次方程x2—2x+m=0有解，求m的范围.己知关于x的一元二次方程x2—Ex—m=0有两个不相等实数根，求m的取值范围.求证：关于x的一元二次方程ax2—(3a+Z)x+2(a+Z)=0(a/0)总有实数根已知关于x的方程ax2—(3a+l)x+2(a+l)=0有两个不相等的实数根，求a的取值范围(2016武汉元月调考第9题)关于x的方程(m—2)x2+2x+1=0有实数根，求m的取值范围.拓展己知关于x的方程(〃一1)x2+mx+1=0有两个相等的实数根，试说明关于j的方程m2j2—2mj—m2—2n2+3=0的根的情况【总结】1、在处理【例1】和【练1】这类问题时，一定要注意先判断方程类型，若方程类型不确定，则需要分类讨论2、关于方程类型，题目在设问方面会有下列说法：“关于x的一元二次方程有解”则方程一定为一元二次方程.“关于x的方程有两实根”则方程一定为一元二次方程.“关于x的方程有解”则方程类型不确定，需要分类讨论例2己知a、b、c是三角形三边，求证：关于x的方程(a+b)x2+2cx+(a+b)=0无实根.己知：a、b、c分别是△ABC的三边长，求证：关于x的方程b2x2+(b2+c2—a2)x+c2=0没有实数根.练习己知△ABC三边a，b，c，关于x的方程(a+c)x2+2bx—a+c=0，x2+2ax+b2=0均有两个相等的实数根，试判断^ABC的形状.模块二一元二次方程根与系数关系知识导航：由因式分解法可知，方程(X一呵)(x—x2)=0(X1,x2为已知数)的两根为X1和x2，将方程化为X2+px+q=0的形式，即X2一(x1+x2)x+X]X2=0,则二次项系数为1,一次项系数为p=—(x1+x2),q=X1X2.于是，上述方程两个根的和、积与系数的关系分别有如下关系：X]+^2=—p，1产2=q对于一般地一元二次方程ax2+bx+c=0，二次项系数a未必是1.根据求根公式，-b+v'-b+v'b2一4acX]=12a-b-\b2一4acX2=2a由此可知，Ibcx.+x2=——，X.X2=—aa这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根之和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比.例3⑴若X1，X2是一元二次方程X2—5x+6=0的两个根，则x1+x2的值是―一元二次方程X2—4x—c=0的一个根是3，则另一个根是，c=若方程X2—3x一1=0的两根为X]、x2，则的值为X1x2⑷关于X的一元二次方程X2一mx+2m—1=0的两个实数根分别是x1>x2，且x12+x22=7，贝MX]—X2)2的值是练习⑴方程X2—2X—1=0的两个实数根分别为X]、X2，(x1—Z)(X2—1)=cz，设X]、X2是方程2X2—6X+l=o的两个实数根，则(X]—2)(X2一土)的值为TOC\o"1-5"\h\zX2X1【总结】1、用韦达定理，常见的恒等变形有：1,1X+X,,-+一=2,X]2+x22=(X]+x2)2—2X]X2，(X]—X2)2=(X]+x2)2—4X]X2\o"CurrentDocument"X1X2X1X2x—x=、:(X+X)2—4xX1212，12X]3+x?3=(X]+X2)(X]2+X22—X1X2)=(X]+X2K—aX^IX]+x?)2、韦达定理只有在两根存在的情况下才成立，故使用韦达定理的前提条件是b2—4ac>0例4已知X]，X2是方程X2—3x+l=0的两个实数根，则X]2+x22=(X1—2)(X(X1—2)(X2—2)=；X]2+X],X2+x?2=X1—X2=,X]2—X22=11,——,,X1___,X2+土=X1X2XXL——X1练习已知X]，x2是方程2x2一3x—5=0的两个根，求下列代数式的值:x,xXx2+x22=，—+—=X]x2Xx2+x22=X，—X?2=xx2例5已知关于x的方程X2—2(k—l)x+k2=0有两个实数根X],x2.求k的取值范围.若xl+x2=1—x]x2，求k的值.练习关于x的方程x2+2(a—l)x+a2—7a—4=0的两根为x].x2，且x]x2—3xl—3x2+2=0,求a的值例6关于一兀二次方程x2+2x+k+l=0的实数解是乂]和x2.求k的取值范围；如果x1+x2—x1x2<—1且k为整数，求k的值.练习己知关于x的方程x2+2(m+2)x+m2—5=0有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16,求m的值.例7己知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2—(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长是5.k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长.练习在等腰△ABC中，/A、/B、/C的对边分别为a、b、c，已知a=3，b和c是关于x的方程x2+mx+2—1m=0的两个实数根，求△ABC的周长.2课后作业A基础巩固已知x=l是方程x2+bx—2=0的一个根，则方程的另一个根是()TOC\o"1-5"\h\zA.1B.2C.—2D.—1已知一元二次方程x2—4x+3=0两根为x],x2,则x1,x2=()A.4B.3C.—4D,—3己知关于x的一元二次方程(1—2k)x2—2、Ex—1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是关于x的方程kx+(l—k)x—1=0有两个不等实根，则k的取值范围是.关于x的方程kx2+(l—k)x—l=0有实根，则k的取值范围是求证：不论m为何值时，关于x的方程x2—2mx—2m—4=0总有两个不相等的实根.如果一直角三角形的三边长分别为a，b，c，b为斜边，求证：关于x的方程a(x2—1)—2cx+b(x2+1)=0有两个相等的实数根己知x1，x2是方程x2—5x+2=0的两个实数根，则x12+x22=

(xx—2)(x2—2)=；(xx—2)(x2—2)=；X]2+x「X2+^22=X]—了2=,"—易2=X,X

___，—+—=X]X2XX•———=;X]X2(2015年汉阳区九上期中)己知关于x的方程X2—2(k—l)X+k2=0有两个实数根X],x2.求k的取值范围；若x]+x2=1—x]x2，求k的值.已知关于x的一元二次方程mx2—2x+1=0.若方程有两个实数根，求m的范围；若方程的两个实数根为x,x，且xx一X一X=1,求m的值1212122111.己知，关于x的方程X2一kx+k—1=0求证：无论k取何值，方程总有两实数根若等腰△ABC的一边长为2,另两边为这个方程的两个根，求△ABC的周长数学故事“石头剪刀布”或能揭示演化策略“石头剪刀布”是游戏中解决争端的常用方式，每人各出剪刀、石头、布中的一种，通过石头砸剪刀、剪刀剪布、布包住石头的规则，可以在两人甚至多人中决出胜负.不过，科学家发现，大自然也用自己的方式玩着类似'石头剪刀布”这样的游戏，数学家和生物学家利用这种方式研究了从人类社会到培养皿中的细菌的各种现象.如今，研究者又发现，当玩家不断改变策略时，三种武器的使用频率会轮流上升与下降，呈现出一种固定的模式.这一发现或许可以帮助我们理解生物在生存之争中是如何维持竞争策略的.一旦应用到生物中来，石头剪刀布就不仅仅是两个小孩子的游戏，而变成多玩家之间的复杂关系了.比方说，某些蜥蜴用来赢得伴侣的策略就有三种：侵略、合作与欺骗，这三种策略就和石头剪刀布一样，有着环状的胜负关系(侵略战胜合作，欺骗战胜侵略，合作战胜欺骗)，而对于蜥蜴来说，成功繁衍后代就意味着赢得游戏，在生物的“石头剪刀布”游戏中，通常是大的种群中随机产生一对玩家开始比拼，每个玩家通常都保持一种固定的策略一一即对每一个对手都出同样的姿势(石头、剪刀或者布).每次对决之后，赢家就增加一个(对应着繁衍后代)，使用同样的策略，而输家则消失.对这种模型进行仔细的数学研究以后发现，出石头、剪刀和布的玩家会随着时间波动.随着初始情况中每种策略所占比例不同，整个群体的情况会分别演变成不同的长期行为，比如用石头、剪刀、布的个体各占三分之一，或者一种策略大幅减少另两种上升，过一段时间又反过来，呈现剧烈的周期波动.受到计算机模拟的启发，康奈尔大学的两位数学家StevenStrogatz和DanielleToupo决定研究一下如果玩家中途改变策略会发生什么.“我觉得这个想法很吸引人，就想找到一种最简洁的数学模型来描述它，Strogatz说.他们试图回到最基础的原理，寻找纯粹的公式，而非复杂的计算机模拟.Strogatz和Toupo修正了“石头剪刀布”方程，允许一些“突变子女”存在，它们所采用的策略和亲代不同.此前的研究者也研究了突变，但一直假设突变是对称的，即每种策略变成其他策略的几率相同，但Strogatz和Toupo考虑到了其他的模式，比如出石头的玩家可能会生下出布的子女，但反过来则不尽然.每种突变最终都会导致一种循环，即出石头、剪刀和布的玩家数都各自不停地上下波动，循环不息.而更令人惊讶的是，他们还证明哪怕突变率极低甚至接近于0,整个游戏还是会进入这种循环模式，论文发表于本月的《物理评论E》(PhysicalReviewE)中，只是增加了一点点突变的因素，游戏结果就不再是三种各占三分之一的稳定态或是剧烈波动态了，“我认为该研究最吸引入的一点是，这种‘游戏’在自然界中真的存在，”加州大学圣克鲁兹分校的生态学家BarrySinervo说，他没有参与这项工作，“哪怕你不是数学家，也会欣赏这一研究.”Sinervo-直在研究加州一种侧斑鬣蜥，该蜥蜴的种群行为也会进入像，石头剪刀布”一样的振荡状态.Sinervo和同事通过野外的长期观察发现，采取侵略、合