信号与线性系统分析-第二章课件

2.1LTI连续系统的响应一.微分方程的经典解法n阶常系数线性微分方程微分方程的全解由齐次解yh(t)和特解yp(t)组成

y(t)=yh(t)+yp(t)

齐次解齐次解由齐次微分方程求得

y(n)(t)+an−1y(n−1)(t)+…+a0y(t)=012.1LTI连续系统的响应一.微分方程的经典解法微分方程的

y(n)(t)+an−1y(n−1)(t)+…+a0y(t)=0齐次解是形如Cet函数的线性组合。将Cet代入上式并整理后可得n+an−1n−1+…+a0=0上式称为微分方程的特征方程，其n个根称为微分方程的特征根。yh(t)的函数形式完全由n个特征根i(i=1,2,…n)决定。i可为单根或重根。i可为实数或复数，微分方程为实常系数时，总是以共轭复数的形式出现。2y(n)(t)+an−1若齐次方程的n个特征根均为实单根，则其齐次解

et[Ccos(t)+Dsin(t)]

或Aetcos(t+)单共轭复根1,2=j

(Cr−1tr−1+Cr−2tr−2+…+C0)etr重实根

Cet单实根齐次解yh(t)特征根r重共轭复根3若齐次方程的n个特征根均为实单根，则其齐次解

特解特解的函数形式与f(t)的形式有关，以及f(t)与特征根的形式是否相同有关。

Pcos(t)+Qsin(t)

或Aetcos(t+)cost或sint

Pet(i)

或et[Prtr+Pr−1tr−1+…+P0]et

Pmtm+Pm−1tm−1+…+P0(i0)

或tr[Pmtm+Pm−1tm−1+…+P0]tm特解yp(t)f(t)4特解Pcos(t)+Qsin(t)

f(t)为常数1时，则特解为b0/a0。考察函数f(t)在t0时作用，则全解的定义域[0，)。全解由齐次解和特解组成，待定常数由初始条件y(0)、y(1)(0)、…、y(n−1)(0)确定。例：微分方程为y''(t)+5y'(t)+6y(t)=f(t)。求：当f(t)=2e−t，t0；y(0)=2，y'(0)=−1时的全解。解：特征方程为 2+5+6=(+2)(+3)=0特征根为−2、−3，微分方程的齐次解

yh(t)=C1e−2t+C2e−3t当f(t)=2e−t(t0)时，特解为yp(t)=Pe−t5f(t)为常数1时，则特解为b0/a0。5将yp''(t)、yp'(t)、yp(t)和f(t)代入微分方程得

Pe−t+5(−Pe−t)+6Pe−t=2e−t所以P=1，则特解为 yp(t)=Pe−t=e−t微分方程的全解

y(t)=yh(t)+yp(t)=C1e−2t+C2e−3t+e−t其一阶导数为

y'(t)=−2C1e−2t−3C2e−3t−e−t令t=0，并代入初始值y(0)=2、y'(0)=−1得

y(0)=C1+C2+1=2 y'(0)=−2C1−3C2−1=−1解得C1=3、C2=−2，由此得

y(t)=3e−2t−2e−3t+e−tt06将yp''(t)、yp'(t)、yp(t)和f(t)代入微分线性常系数微分方程求解过程：n阶线性常系数微分方程求特征根得齐次解yh(t)得微分方程解得特解yp(t)确定yp(t)的形式求待定系数P、Q得全解式，根据初始值求待定系数C、D7线性常系数微分方程求解过程：n阶线性常系数微分方程求特征根得例：微分方程为y''(t)+5y'(t)+6y(t)=f(t)。求：当f(t)=e−2t，t0；y(0)=1，y'(0)=0时的全解。解：微分方程的齐次解

yh(t)=C1e−2t+C2e−3t当f(t)=e−2t(t0)

，其特解为

yp(t)=P1te−2t+P0e−2t将yp''(t)、yp'(t)、yp(t)和f(t)代入微分方程，得P1=1。则特解为 yp(t)=te−2t+P0e−2t微分方程的全解

y(t)=yh(t)+yp(t)=C1e−2t+C2e−3t+te−2t+P0e−2t =(C1+P0)e−2t+C2e−3t+te−2t =C'1e−2t+C2e−3t+te−2t8例：微分方程为y''(t)+5y'(t)+6y(t)=f(其一阶导数为

y'(t)=−2C'1e−2t−3C2e−3t+e−2t−2te−2t令t=0，并代入初始值y(0)=1、y'(0)=0得

y(0)=C'1+C2=1 y'(0)=−2C'1−3C2+1=0解得C'1=2、C2=−1，由此得

y(t)=2e−2t−e−3t+te−2tt0例：微分方程为y''(t)+5y'(t)+6y(t)=f(t)。求：当f(t)=10cost，t0；y(0)=2，y'(0)=0时的全解。解：微分方程的齐次解yh(t)=C1e−2t+C2e−3t当f(t)=10cost(t0)，其特解形式为

yp(t)=Pcost+Qsint9其一阶导数为9将yp''(t)、yp'(t)、yp(t)和f(t)代入微分方程，求得特解

yp(t)=cost+sint最后可得全解为

y(t)=2e−2t−e−3t+cost+sintt0若f(t)=ejt=cost+jsint，微分方程解为yp(t)，则根据线性性质，当f(t)=cost时，解为Re[yp(t)]。上例中，可令f(t)=10ejt，得解为

yp(t)=(1−j)ejt=cost+sint+j(sint−cost)

求微分方程也就是确定解的形式与全部待定系数。解的形式根据表2−1和表2−2确定，待定系数由初始条件求出。10将yp''(t)、yp'(t)、yp(t)和f(t)代入微分用算子方法求微分方程11用算子方法求微分方程11二.关于0−与0+的初始值用微分方程表达动态系统时，则f(t)为系统输入，y(t)为系统输出。将时间轴分成两段，以t=0为界，左段的右端点记为0−，右段的左端点记为0+。解微分方程时，确定解的待定系数需要一组初始条件y(j)(0+)(j=0,1,2,…,n−1)。y(j)(0−)(j=0,1,2,…,n−1)反映了系统的历史情况而与激励无关，称这些值为初始状态。0−与0+的引入是由于系统输出不连续，引起y(j)(0+)和y(j)(0−)产生差异。表现为系统中出现(t)函数。12二.关于0−与0+的初始值用微分方程表达动态系统时，则f(例：微分方程为y''(t)+2y'(t)+y(t)=f"(t)+2f(t)，已知y(0−)=1，y'(0−)=−1；f(t)=(t)。求y(0+)和y'(0+)。解：将输入f(t)代入微分方程得

y''(t)+2y'(t)+y(t)="(t)+2(t)(1)由上式可设

y(t)=a(t)+r0(t)(2)y'(t)=a'(t)+b(t)+r1(t)(3)y"(t)=a"(t)+b'(t)+c(t)+r2(t)(4)将式(2)、(3)、(4)代入式(1)，由方程左右系数相等可得到a=1，b=−2，c=5。即y(t)=(t)+r0(t)13例：微分方程为y''(t)+2y'(t)+y(t)=f"(

y'(t)='(t)−2(t)+r1(t)y"(t)="(t)−2'(t)+5(t)+r2(t)对y'(t)等式两边从0−到0+积分得 y(0+)=y(0−)−2=−1同理，对y"(t)等式两边从0−到0+积分得 y'(0+)=y'(0−)+5=4对比y(0−)=1，y'(0−)=−1。14y'(t)=三.零输入响应和零状态响应

零输入响应yzi(t)：激励f(t)=0，仅由初始条件{y(j)(0+)}(j=0,1,2,…,n−1)所引起的响应。 零状态响应yzs(t)：初始状态y(j)(0−)=0，仅由输入信号f(t)所引起的响应。LTI系统的全响应为 y(t)=yzi(t)+yzs(t) yzi(t)为齐次方程的解，yzs(t)为非齐次方程的解。 当特征根为单根时，用经典解法求解分别有则全响应为15三.零输入响应和零状态响应零输入响应yzi(t)：激励f初始状态和初始条件之间关系:全响应的各阶导数为

y(j)(t)=yzi(j)(t)+yzs(j)(t)(j=0,1,2,…,n−1)分别令t=0−和t=0+代入上式得

y(j)(0−)=yzi(j)(0−)+yzs(j)(0−) y(j)(0+)=yzi(j)(0+)+yzs(j)(0+)对于因果系统：yzs(j)(0−)=0对于连续系统：yzi(j)(0+)=yzi(j)(0−)因此 y(j)(0−)=yzi(j)(0−)=yzi(j)(0+) y(j)(0+)=y(j)(0−)+yzs(j)(0+)当输入是在t=t0时刻接入，则把式中0换为t0。16初始状态和初始条件之间关系:16系统的全响应为强迫响应：由激励信号确定的响应形式当输入信号含有阶跃函数或有始的周期函数时，系统的全响应可分解为瞬态响应和稳态响应。自由响应：由系统本身的特性确定的响应形式17系统的全响应为强迫响应：由激励信号确定的响应形式当输入信号含例：微分方程为y''(t)+3y'(t)+2y(t)=2f'(t)+6f(t)；初始状态y(0−)=2，y'(0−)=1；输入函数f(t)=(t)。求零输入响应和零状态响应。解：(1)

零输入响应yzi(t)零输入响应满足齐次方程

y''(t)+3y'(t)+2y(t)=0输入为0，则有yzi(0+)=y(0−)=2，y'zi(0+)=y'(0−)=1。特征根为−1，−2，则零输入响应为

yzi(t)=Czi1e−t+Czi2e−2t代入初始值解得Czi1=5，Czi2=−3，所以系统的零输入响应为 yzi(t)=5e−t−3e−2t

18例：微分方程为y''(t)+3y'(t)+2y(t)=2f(2)

零状态响应yzs(t)当f(t)=(t)时，系统零状态响应满足方程

yzs''(t)+3yzs'(t)+2yzs(t)=2(t)+6(t) yzs(0−)=yzs'(0−)=0t=0处，yzs"(t)含有(t)，yzs'(t)有跃变，yzs(t)应连续。对方程两边从0−到0+积分得

yzs'(0+)−yzs'(0−)+3[yzs(0+)−yzs(0−)]=2所以 yzs(0+)=0，yzs'(0+)=2在t>0的区间，方程应为

yzs''(t)+3yzs'(t)+2yzs(t)=6显然有 yzs(t)=Czs1e−t+Czs2e−2t+3t019(2)零状态响应yzs(t)19代入初始值可求得Czs1=−4，Czs2=1，系统的零状态响应为

yzs(t)=(−4e−t+e−2t+3)(t)可应用LTI系统零状态响应的线性性质和微分特性求系统零状态响应：微分方程y''(t)+3y'(t)+2y(t)=2f'(t)+6f(t)先求方程yzs1''(t)+3yzs1'(t)+2yzs1(t)=f(t)初值yzs1(0−)=yzs1'(0−)=0得yzs1(t)=−e−t+0.5e−2t+0.5，则

yzs(t)=2yzs1'(t)+6yzs1(t)=(−4e−t+e−2t+3)(t)20代入初始值可求得Czs1=−4，Czs2=1，系统的零状态响(3)

全响应y(t)全响应为y(t)=yzi(t)+yzs(t)也可直接求

y''(t)+3y'(t)+2y(t)=2(t)+6(t) y(0−)=2，y'(0−)=1对方程两边从0−到0+积分得

y'(0+)−y'(0−)+3[y(0+)−y(0−)]=2所以 y(0+)=2，y'(0+)=3方程的解为y(t)=C1e−t+C2e−2t+3t0代入初始值可求得C1=1，C2=−2，系统的全响应为

y(t)=(e−t−2e−2t+3)(t)21(3)全响应y(t)212.2冲激响应和阶跃响应定义系统的冲激响应

h(t)=T[{0}，(t)]

设n阶微分方程为

y(n)(t)+an−1y(n−1)(t)+…+a0y(t)=f(t)

则当f(t)=(t)时，其零状态响应满足方程

h(n)(t)+an−1h(n−1)(t)+…+a0h(t)=(t) h(j)(0−)=0，j=0，1，2，…，n−1

对方程从0−到0+积分，可得(t)h(t){y(0)}={0}LTI系统一.冲激响应

222.2冲激响应和阶跃响应定义系统的冲激响应h(t)=

h(j)(0+)−h(j)(0−)=0，(j=0,1,2,…,n−2) h(n−1)(0+)−h(n−1)(0−)=1即 h(j)(0+)=0，(j=0,1,2,…,n−2) h(n−1)(0+)=1系统冲激响应可看作在上述初始条件下方程

h(n)(t)+an−1h(n−1)(t)+…+a0h(t)=0(t>0)的零输入响应。将冲激输入转换成初始条件。如果微分方程的特征根均为单根，则其冲激响应23 h(j)(0+)−h(j)(0−)=0，(j=例：微分方程为 y"(t)+5y'(t)+6y(t)=f(t)

求系统的冲激响应也就是求如下微分方程的解

h"(t)+5h'(t)+6h(t)=0 h(0+)=0，h'(0+)=1齐次方程的解为h(t)=(C1e−2t+C2e−3t)(t)，代入初始条件得

h(t)=(e−2t−e−3t)(t)

一般地，微分方程为

y(n)(t)+an−1y(n−1)(t)+…+a0y(t)=bmf(m)(t)+…+b0f(t)设 y1(n)(t)+an−1y1(n−1)(t)+…+a0y1(t)=f(t)令上式的冲激响应为h1(t)，根据LTI系统的微分特性24例：微分方程为 y"(t)+5y'(t)+6y(t)=f(t得系统的冲激响应

h(t)=bmh1(m)(t)+bm−1h1(m−1)(t)+…+b0h1(t)例：微分方程为

y"(t)+5y'(t)+6y(t)=f"(t)+2f'(t)+3f(t)先求方程h1"(t)+5h1'(t)+6h1(t)=(t)h1(t)已求得为h1(t)=(e−2t−e−3t)(t)则系统的冲激响应为

h(t)=h1"(t)+2h1'(t)+3h1(t)=(t)+(3e−2t−6e−3t)(t)式中h1'(t)=(−2e−2t+3e−3t)(t)+(e−2t−e−3t)(t) =(−2e−2t+3e−3t)(t)对h1'(t)求导可得h1"(t)。25得系统的冲激响应25二.阶跃响应定义系统的阶跃响应

g(t)=T[{0}，(t)]

设n阶微分方程为

y(n)(t)+an−1y(n−1)(t)+…+a0y(t)=f(t)

则当f(t)=(t)时，其零状态响应满足方程

g(n)(t)+an−1g(n−1)(t)+…+a0g(t)=(t) g(j)(0−)=0，j=0，1，2，…，n−1由于等号右端只含(t)，故除g(n)(t)外，g(t)及其直到n−1阶导数均连续，即有初始条件(t)g(t){y(0)}={0}LTI系统26二.阶跃响应定义系统的阶跃响应g(t)=T[{0}，

g(j)(0+)=g(j)(0−)=0，j=0，1，2，…，n−1若微分方程的特征根均为单根，则阶跃响应式中1/a0为特解。Ci由初始值确定。单位阶跃函数与单位冲激函数的关系为根据LTI系统的微积分特性，阶跃响应与冲激响应的关系为27 g(j)(0+)=g(j)(0−)=0，j=例：求图示系统的阶跃响应。解：可直接写出系统的微分方程为

y"(t)+3y'(t)+2y(t)=−f'(t)+2f(t)先求方程g1"(t)+3g1'(t)+2g1(t)=(t) g1(0+)=g1'(0+)=0解得 g1(t)=(−e−t+0.5e−2t+0.5)(t)由此得g(t)=−g1'(t)+2g1(t)=(−3e−t+2e−2t+1)(t)_∫f(t)y(t)32_++_∫228例：求图示系统的阶跃响应。解：可直接写出系统的微分方程为_=0yzi(j)(0−)yzi(j)(0+)yzs(j)(0−)yzs(j)(0+)y(j)(0−)y(j)(0+)0t(j=0,1,2,…,n−1)初值问题yzi(j)(t)yzs(j)(t)y(j)(t)29=0yzi(j)(0−)yzi(j)(0+2.3卷积积分一.卷积积分

面积为1的函数序列pn(t)，当趋于极限时成为单位冲激函数pn(t)0t1/nn/2幅值f(k)将任意激励信号f(t)用脉冲序列代替，每段宽度为=2/n，其k段的幅值用f(k)表示。f(t)0tkf(t)可近似表示为302.3卷积积分一.卷积积分pn(t)0t1/nn/2幅设LTI系统在pn(t)作用下的零状态响应为hn(t)，则在激励f(t)作用下的零状态响应为在0的极限情况下，求和成为积分上式的积分形式称为卷积积分。信号与系统分析的基本方法：

f(t)→f()d(t−)→f()dh(t−)→yzs(t)31设LTI系统在pn(t)作用下的零状态响应为hn(t)，则在一般地，如有两个函数f1(t)和f2(t)，卷积积分定义为简记为 f(t)=f1(t)*f2(t)

卷积的存在性：若两个函数均为有始可积函数，即若t<t1，f1(t)=0，t<t2，f2(t)=0，则两者的卷积存在。例1：求(t)*(t)的卷积积分。解：例2：求(t)*e−t(t)的卷积积分。解：32一般地，如有两个函数f1(t)和f2(t)，卷积积分定义为简例3：求e−t(t)*e−t(t)的卷积积分。解：常用信号的卷积积分见附录一。任意信号f(t)=f(t)*(t)零状态响应yzs(t)=h(t)*f(t)h(t)yzs(t)f(t)33例3：求e−t(t)*e−t(t)的卷积积分。常二.卷积的图示给定信号： f1(t)=(t)−(t−3)，f2(t)=e−t(t)，求y(t)=f1(t)*f2(t)。f2(−)0f1()03f2(t)t01f1(t)t03134二.卷积的图示f2(−)0f1()03f2(t)tf1()00<t<33f2(t−)t3f(3)tf2(t−)f(t)t0tf2(t−)f1()0t<03f1()0t>335f1()00<t<33f2(t−)t3f(3)tf2(2.4卷积积分的性质一.卷积的代数运算

交换律 f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)分配律 f1(t)*[f2(t)+f3(t)]=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t)yzs(t)f(t)h1(t)h2(t)++结合律 [f1(t)*f2(t)]*f3(t)=f1(t)*[f2(t)*f3(t)]h1(t)h2(t)yzs(t)f(t)yzs(t)=f(t)*[h1(t)+h2(t)]=f(t)*h(t)yzs(t)=f(t)*h1(t)*h2(t)=f(t)*h(t)362.4卷积积分的性质一.卷积的代数运算yzs(t)f(二.函数与冲激函数的卷积

根据卷积的定义推广得f(t)*(t−t1)=(t−t1)*f(t)=f(t−t1)

(t−t1)*(t−t2)=(t−t2)*(t−t1)=(t−t1−t2) f(t−t1)*(t−t2)=f(t−t2)*(t−t1)=f(t−t1−t2)

波形的平移：f(t)t0(t−t0)t0t0f(t)*(t−t0)t0t037二.函数与冲激函数的卷积根据卷积的定义推广得f(若 f(t)=f1(t)*f2(t)则 f1(t−t1)*f2(t−t2)=f1(t−t2)*f2(t−t1)=f(t−t1−t2)证：

f1(t−t1)*f2(t−t2)=[f1(t)*(t−t1)]*[f2(t)*(t−t2)] =[f1(t)*(t−t2)]*[f2(t)*(t−t1)] =f1(t−t2)*f2(t−t1) f1(t−t1)*f2(t−t2)=[f1(t)*(t−t1)]*[f2(t)*(t−t2)] =f1(t)*f2(t)*(t−t1)*(t−t2) =f(t)*(t−t1−t2)=f(t−t1−t2)38若 f(t)=f1(t)*f2(t)38例(1)：求(t+3)*(t−5)。因为

(t)*(t)=

t(t)所以 (t+3)*(t−5)=(t+3−5)(t+3−5) =(t−2)(t−2)例(2)：求e−2t(t+3)*(t−5)。因为39例(1)：求(t+3)*(t−5)。39定义梳状函数为f0(t)t0f(t)t0……T(t)……t0T2T-T-2T梳状函数与f0(t)的卷积为f0(t)*T(T)是以T为周期的周期函数。40定义梳状函数为f0(t)t0f(t)t0……T(t)……三.卷积的微分与积分

利用卷积的交换律可得另一等式。卷积的微分若 f(t)=f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)则有卷积的微分性质

f(1)(t)=f1(1)(t)*f2(t)=f1(t)*f2(1)(t)

证：微积分的表示41三.卷积的微分与积分利用卷积的交换律可得另一等式。卷积卷积的积分若 f(t)=f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)则有卷积的积分性质

f(−1)(t)=f1(−1)(t)*f2(t)=f1(t)*f2(−1)(t)

证：同理可得另一等式。42卷积的积分同理可得另一等式。42

LTI系统的微分和积分特性正是卷积的微分和积分特性

yzs(t)=h(t)*f(t) yzs(1)(t)=h(t)*f(1)(t) yzs(−1)(t)=h(t)*f(−1)(t)卷积的微积分所以因为43LTI系统的微分和积分特性正是卷积的微分和积分特性所以因为应用卷积的积分性质，则有同理可得44应用卷积的积分性质，则有同理可得44则有卷积的微积分卷积的微积分成立的条件：a)被求导的函数f1(t)（或f2(t)）在t=−处为零值；b)或被积分的函数f2(t)（或f1(t)）在(−，)区间上的积分值为零。当f1(t)和f2(t)都为有始信号时，总是满足条件。当f1(t)和f2(t)满足45则有卷积的微积分卷积的微积分成立的条件：当f1(t)和f2(例：求卷积[1+(t)]*e−t(t)。解：直接应用定义求应用卷积的微积分求46例：求卷积[1+(t)]*e−t(t)。应用卷积的微积分根据卷积的微分和积分运算，可得杜阿密尔积分其实质是将信号分解成一系列阶跃函数之和：f(t)0tkf(k)卷积的微分和积分推广可得

f(i)(t)=f1(j)(t)*f2(i−j)(t)47根据卷积的微分和积分运算，可得杜阿密尔积分其实质是将信号分解LTI系统在激励f(t)作用下的零状态响应为在0的极限情况下，可得48LTI系统在激励f(t)作用下的零状态响应为在0的例2.4−4

：求图示函数的卷积。0123tf1(t)21012tf2(t)-11012tf2(1)(t)-20123tf1(−1)(t)40123tf1(t)*f2(t)44549例2.4−4：求图示函数的卷积。0123tf1(t)210例：求t(t−1)*"(t−2)。解：t(t−1)*"(t−2)=[(t−1)+(t−1)(t−1)]*"(t−2)

(t)*"(t)='(t)*'(t)=(t)*'(t)='(t) t(t)*"(t)=(t)*(t)*"(t)='(t)*'(t)*(t)=(t)t(t−1)*"(t−2)=(t−1)*"(t−2)+[(t−1)(t−1)]*"(t−2) ='(t−3)+(t−3)50例：求t(t−1)*"(t−2)。50例：LTI连续系统如图所示，已知ha(t)=0.5e−4t(t)，gb(t)=(1−e−t)(t)，gc(t)=2e−3t(t)，f(t)=(t)−(t−2)，求系统的冲激响应和零状态响应。y(t)f(t)ha(t)gb(t)++gc(t)解： hb(t)=g'b(t)=e−t(t)+(1−e−t)(t)=e−t(t) hc(t)=g'c(t)=−6e−3t(t)+2e−3t(t)=2(t)−6e−3t(t)系统的冲激响应为51例：LTI连续系统如图所示，已知ha(t)=0.5e−4t

h(t)=(t)*[ha(t)+hb(t)]*hc(t) =[0.5e−4t(t)+e−t(t)]*[2(t)−6e−3t(t)]系统的阶跃响应为输入为f(t)=(t)−(t−2)时零状态响应

yzs(t)=g(t)−g(t−2)=(e−t−e−4t)(t)−[e−(t−2)−e−4(t−2)](t−2)52 h(t)=(t)*[ha(t)+hb(t)]*hc(t也可直接列出阶跃输入时系统运算关系式

g(t)=[(t)*ha(t)+'(t)*gb(t)]'*gc(t)=ha(t)*gc(t)+gb'(t)*gc(t)=0.5e−4t(t)*2e−3t(t)+e−t(t)*2e−3t(t)=(e−3t−e−4t)(t)+(e−t−e−3t)(t)=(e−t−e−4t)(t)y(t)f(t)ha(t)gb(t)++gc(t)53也可直接列出阶跃输入时系统运算关系式y(t)f(t)ha(t四.相关函数

为两信号间的时间差。R12()与R21()一般不相等，但有R12()=R21(−)自相关函数定义为能量有限实信号f1(t)与f2(t)的互相关函数定义为相关函数描述两信号f1(t)与f2(t−)的相似程度。=0时称为相关系数描述两信号f1(t)与f2(t)的相似程度。54四.相关函数为两信号间的时间差。R12()与R21(两者之间的关系为

R12()=f1(t)*f2(−t)若f1(t)、f2(t)都为实偶函数，则两者相同。例：求信号f(t)=(t)−(t−2)的自相关函数。解：按自相关函数定义相关函数表示成与卷积函数比较55两者之间的关系为相关函数表示成与卷积函数比较55上式可表示成由此可得R()=0(<−2,>2)2+02tf(t)-202tf(t)-2<−2>22+0<<2−2<<056上式可表示成由此可得R()=0由此可得R12()=0(<−2,>2)例:f1(t)=(t)−(t−2),f2(t)=t[(t)−(t−2)],求互相关函数。解：由互相关函数定义由R21()=R12(−)可得

R21()=0.52+2+2(−2<<0)R21()=2−0.52(0<<2)57由此可得R12()=0题2.15解：先求系统y'(t)+2y(t)=f(t)的冲激响应h1(t)。解微分方程得h1(t)=Ce−2t(t)令t=0+代入得h1(t)=e−2t(t)由此得系统冲激响应

h(t)=h1"(t)=[e−2t(t)]"='(t)−2(t)+4e−2t(t)阶跃响应为58题2.15解：先求系统y'(t)+2y(t)=f(t)的题2.16f1(t)t−2012f2(t)t−20(1)2(1)f1(t)*f2(t)t−4014f1(t)*f2(t)*f2(t)t−601659题2.16f1(t)t−2012f2(t)t−20(1)2题2.22解：输入为f(t)时，响应为输入为(t)时，冲激响应则为60题2.22解：输入为f(t)时，响应为输入为(t)时，冲题2.29解：y(t)=f(t)*[(t)+ha(t)+ha(t)*ha(t)]*hb(t)h(t)=[(t)+(t−1)+(t−1)*(t−1)]*[(t)−(t−3)]=[(t)−(t−3)]+[(t−1)−(t−4)]+[(t−2)−(t−5)]=(t)+(t−1)+(t−2)−(t−3)−(t−4)−(t−5)y(t)f(t)ha(t)ha(t)++hb(t)ha(t)+61题2.29解：y(t)=f(t)*[(t)+ha(t)+h习题

2.2(2),(4);2.4(2),(3);2.122.17(4),(7),(10);2.19(2),(3);2.23

2.27;2.28;2.3062习题622.1LTI连续系统的响应一.微分方程的经典解法n阶常系数线性微分方程微分方程的全解由齐次解yh(t)和特解yp(t)组成

y(t)=yh(t)+yp(t)

齐次解齐次解由齐次微分方程求得

y(n)(t)+an−1y(n−1)(t)+…+a0y(t)=0632.1LTI连续系统的响应一.微分方程的经典解法微分方程的

y(n)(t)+an−1y(n−1)(t)+…+a0y(t)=0齐次解是形如Cet函数的线性组合。将Cet代入上式并整理后可得n+an−1n−1+…+a0=0上式称为微分方程的特征方程，其n个根称为微分方程的特征根。yh(t)的函数形式完全由n个特征根i(i=1,2,…n)决定。i可为单根或重根。i可为实数或复数，微分方程为实常系数时，总是以共轭复数的形式出现。64y(n)(t)+an−1若齐次方程的n个特征根均为实单根，则其齐次解

et[Ccos(t)+Dsin(t)]

或Aetcos(t+)单共轭复根1,2=j

(Cr−1tr−1+Cr−2tr−2+…+C0)etr重实根

Cet单实根齐次解yh(t)特征根r重共轭复根65若齐次方程的n个特征根均为实单根，则其齐次解

特解特解的函数形式与f(t)的形式有关，以及f(t)与特征根的形式是否相同有关。

Pcos(t)+Qsin(t)

或Aetcos(t+)cost或sint

Pet(i)

或et[Prtr+Pr−1tr−1+…+P0]et

Pmtm+Pm−1tm−1+…+P0(i0)

或tr[Pmtm+Pm−1tm−1+…+P0]tm特解yp(t)f(t)66特解Pcos(t)+Qsin(t)

f(t)为常数1时，则特解为b0/a0。考察函数f(t)在t0时作用，则全解的定义域[0，)。全解由齐次解和特解组成，待定常数由初始条件y(0)、y(1)(0)、…、y(n−1)(0)确定。例：微分方程为y''(t)+5y'(t)+6y(t)=f(t)。求：当f(t)=2e−t，t0；y(0)=2，y'(0)=−1时的全解。解：特征方程为 2+5+6=(+2)(+3)=0特征根为−2、−3，微分方程的齐次解

yh(t)=C1e−2t+C2e−3t当f(t)=2e−t(t0)时，特解为yp(t)=Pe−t67f(t)为常数1时，则特解为b0/a0。5将yp''(t)、yp'(t)、yp(t)和f(t)代入微分方程得

Pe−t+5(−Pe−t)+6Pe−t=2e−t所以P=1，则特解为 yp(t)=Pe−t=e−t微分方程的全解

y(t)=yh(t)+yp(t)=C1e−2t+C2e−3t+e−t其一阶导数为

y'(t)=−2C1e−2t−3C2e−3t−e−t令t=0，并代入初始值y(0)=2、y'(0)=−1得

y(0)=C1+C2+1=2 y'(0)=−2C1−3C2−1=−1解得C1=3、C2=−2，由此得

y(t)=3e−2t−2e−3t+e−tt068将yp''(t)、yp'(t)、yp(t)和f(t)代入微分线性常系数微分方程求解过程：n阶线性常系数微分方程求特征根得齐次解yh(t)得微分方程解得特解yp(t)确定yp(t)的形式求待定系数P、Q得全解式，根据初始值求待定系数C、D69线性常系数微分方程求解过程：n阶线性常系数微分方程求特征根得例：微分方程为y''(t)+5y'(t)+6y(t)=f(t)。求：当f(t)=e−2t，t0；y(0)=1，y'(0)=0时的全解。解：微分方程的齐次解

yh(t)=C1e−2t+C2e−3t当f(t)=e−2t(t0)

，其特解为

yp(t)=P1te−2t+P0e−2t将yp''(t)、yp'(t)、yp(t)和f(t)代入微分方程，得P1=1。则特解为 yp(t)=te−2t+P0e−2t微分方程的全解

y(t)=yh(t)+yp(t)=C1e−2t+C2e−3t+te−2t+P0e−2t =(C1+P0)e−2t+C2e−3t+te−2t =C'1e−2t+C2e−3t+te−2t70例：微分方程为y''(t)+5y'(t)+6y(t)=f(其一阶导数为

y'(t)=−2C'1e−2t−3C2e−3t+e−2t−2te−2t令t=0，并代入初始值y(0)=1、y'(0)=0得

y(0)=C'1+C2=1 y'(0)=−2C'1−3C2+1=0解得C'1=2、C2=−1，由此得

y(t)=2e−2t−e−3t+te−2tt0例：微分方程为y''(t)+5y'(t)+6y(t)=f(t)。求：当f(t)=10cost，t0；y(0)=2，y'(0)=0时的全解。解：微分方程的齐次解yh(t)=C1e−2t+C2e−3t当f(t)=10cost(t0)，其特解形式为

yp(t)=Pcost+Qsint71其一阶导数为9将yp''(t)、yp'(t)、yp(t)和f(t)代入微分方程，求得特解

yp(t)=cost+sint最后可得全解为

y(t)=2e−2t−e−3t+cost+sintt0若f(t)=ejt=cost+jsint，微分方程解为yp(t)，则根据线性性质，当f(t)=cost时，解为Re[yp(t)]。上例中，可令f(t)=10ejt，得解为

yp(t)=(1−j)ejt=cost+sint+j(sint−cost)

求微分方程也就是确定解的形式与全部待定系数。解的形式根据表2−1和表2−2确定，待定系数由初始条件求出。72将yp''(t)、yp'(t)、yp(t)和f(t)代入微分用算子方法求微分方程73用算子方法求微分方程11二.关于0−与0+的初始值用微分方程表达动态系统时，则f(t)为系统输入，y(t)为系统输出。将时间轴分成两段，以t=0为界，左段的右端点记为0−，右段的左端点记为0+。解微分方程时，确定解的待定系数需要一组初始条件y(j)(0+)(j=0,1,2,…,n−1)。y(j)(0−)(j=0,1,2,…,n−1)反映了系统的历史情况而与激励无关，称这些值为初始状态。0−与0+的引入是由于系统输出不连续，引起y(j)(0+)和y(j)(0−)产生差异。表现为系统中出现(t)函数。74二.关于0−与0+的初始值用微分方程表达动态系统时，则f(例：微分方程为y''(t)+2y'(t)+y(t)=f"(t)+2f(t)，已知y(0−)=1，y'(0−)=−1；f(t)=(t)。求y(0+)和y'(0+)。解：将输入f(t)代入微分方程得

y''(t)+2y'(t)+y(t)="(t)+2(t)(1)由上式可设

y(t)=a(t)+r0(t)(2)y'(t)=a'(t)+b(t)+r1(t)(3)y"(t)=a"(t)+b'(t)+c(t)+r2(t)(4)将式(2)、(3)、(4)代入式(1)，由方程左右系数相等可得到a=1，b=−2，c=5。即y(t)=(t)+r0(t)75例：微分方程为y''(t)+2y'(t)+y(t)=f"(

y'(t)='(t)−2(t)+r1(t)y"(t)="(t)−2'(t)+5(t)+r2(t)对y'(t)等式两边从0−到0+积分得 y(0+)=y(0−)−2=−1同理，对y"(t)等式两边从0−到0+积分得 y'(0+)=y'(0−)+5=4对比y(0−)=1，y'(0−)=−1。76y'(t)=三.零输入响应和零状态响应

零输入响应yzi(t)：激励f(t)=0，仅由初始条件{y(j)(0+)}(j=0,1,2,…,n−1)所引起的响应。 零状态响应yzs(t)：初始状态y(j)(0−)=0，仅由输入信号f(t)所引起的响应。LTI系统的全响应为 y(t)=yzi(t)+yzs(t) yzi(t)为齐次方程的解，yzs(t)为非齐次方程的解。 当特征根为单根时，用经典解法求解分别有则全响应为77三.零输入响应和零状态响应零输入响应yzi(t)：激励f初始状态和初始条件之间关系:全响应的各阶导数为

y(j)(t)=yzi(j)(t)+yzs(j)(t)(j=0,1,2,…,n−1)分别令t=0−和t=0+代入上式得

y(j)(0−)=yzi(j)(0−)+yzs(j)(0−) y(j)(0+)=yzi(j)(0+)+yzs(j)(0+)对于因果系统：yzs(j)(0−)=0对于连续系统：yzi(j)(0+)=yzi(j)(0−)因此 y(j)(0−)=yzi(j)(0−)=yzi(j)(0+) y(j)(0+)=y(j)(0−)+yzs(j)(0+)当输入是在t=t0时刻接入，则把式中0换为t0。78初始状态和初始条件之间关系:16系统的全响应为强迫响应：由激励信号确定的响应形式当输入信号含有阶跃函数或有始的周期函数时，系统的全响应可分解为瞬态响应和稳态响应。自由响应：由系统本身的特性确定的响应形式79系统的全响应为强迫响应：由激励信号确定的响应形式当输入信号含例：微分方程为y''(t)+3y'(t)+2y(t)=2f'(t)+6f(t)；初始状态y(0−)=2，y'(0−)=1；输入函数f(t)=(t)。求零输入响应和零状态响应。解：(1)

零输入响应yzi(t)零输入响应满足齐次方程

y''(t)+3y'(t)+2y(t)=0输入为0，则有yzi(0+)=y(0−)=2，y'zi(0+)=y'(0−)=1。特征根为−1，−2，则零输入响应为

yzi(t)=Czi1e−t+Czi2e−2t代入初始值解得Czi1=5，Czi2=−3，所以系统的零输入响应为 yzi(t)=5e−t−3e−2t

80例：微分方程为y''(t)+3y'(t)+2y(t)=2f(2)

零状态响应yzs(t)当f(t)=(t)时，系统零状态响应满足方程

yzs''(t)+3yzs'(t)+2yzs(t)=2(t)+6(t) yzs(0−)=yzs'(0−)=0t=0处，yzs"(t)含有(t)，yzs'(t)有跃变，yzs(t)应连续。对方程两边从0−到0+积分得

yzs'(0+)−yzs'(0−)+3[yzs(0+)−yzs(0−)]=2所以 yzs(0+)=0，yzs'(0+)=2在t>0的区间，方程应为

yzs''(t)+3yzs'(t)+2yzs(t)=6显然有 yzs(t)=Czs1e−t+Czs2e−2t+3t081(2)零状态响应yzs(t)19代入初始值可求得Czs1=−4，Czs2=1，系统的零状态响应为

yzs(t)=(−4e−t+e−2t+3)(t)可应用LTI系统零状态响应的线性性质和微分特性求系统零状态响应：微分方程y''(t)+3y'(t)+2y(t)=2f'(t)+6f(t)先求方程yzs1''(t)+3yzs1'(t)+2yzs1(t)=f(t)初值yzs1(0−)=yzs1'(0−)=0得yzs1(t)=−e−t+0.5e−2t+0.5，则

yzs(t)=2yzs1'(t)+6yzs1(t)=(−4e−t+e−2t+3)(t)82代入初始值可求得Czs1=−4，Czs2=1，系统的零状态响(3)

全响应y(t)全响应为y(t)=yzi(t)+yzs(t)也可直接求

y''(t)+3y'(t)+2y(t)=2(t)+6(t) y(0−)=2，y'(0−)=1对方程两边从0−到0+积分得

y'(0+)−y'(0−)+3[y(0+)−y(0−)]=2所以 y(0+)=2，y'(0+)=3方程的解为y(t)=C1e−t+C2e−2t+3t0代入初始值可求得C1=1，C2=−2，系统的全响应为

y(t)=(e−t−2e−2t+3)(t)83(3)全响应y(t)212.2冲激响应和阶跃响应定义系统的冲激响应

h(t)=T[{0}，(t)]

设n阶微分方程为

y(n)(t)+an−1y(n−1)(t)+…+a0y(t)=f(t)

则当f(t)=(t)时，其零状态响应满足方程

h(n)(t)+an−1h(n−1)(t)+…+a0h(t)=(t) h(j)(0−)=0，j=0，1，2，…，n−1

对方程从0−到0+积分，可得(t)h(t){y(0)}={0}LTI系统一.冲激响应

842.2冲激响应和阶跃响应定义系统的冲激响应h(t)=

h(j)(0+)−h(j)(0−)=0，(j=0,1,2,…,n−2) h(n−1)(0+)−h(n−1)(0−)=1即 h(j)(0+)=0，(j=0,1,2,…,n−2) h(n−1)(0+)=1系统冲激响应可看作在上述初始条件下方程

h(n)(t)+an−1h(n−1)(t)+…+a0h(t)=0(t>0)的零输入响应。将冲激输入转换成初始条件。如果微分方程的特征根均为单根，则其冲激响应85 h(j)(0+)−h(j)(0−)=0，(j=例：微分方程为 y"(t)+5y'(t)+6y(t)=f(t)

求系统的冲激响应也就是求如下微分方程的解

h"(t)+5h'(t)+6h(t)=0 h(0+)=0，h'(0+)=1齐次方程的解为h(t)=(C1e−2t+C2e−3t)(t)，代入初始条件得

h(t)=(e−2t−e−3t)(t)

一般地，微分方程为

y(n)(t)+an−1y(n−1)(t)+…+a0y(t)=bmf(m)(t)+…+b0f(t)设 y1(n)(t)+an−1y1(n−1)(t)+…+a0y1(t)=f(t)令上式的冲激响应为h1(t)，根据LTI系统的微分特性86例：微分方程为 y"(t)+5y'(t)+6y(t)=f(t得系统的冲激响应

h(t)=bmh1(m)(t)+bm−1h1(m−1)(t)+…+b0h1(t)例：微分方程为

y"(t)+5y'(t)+6y(t)=f"(t)+2f'(t)+3f(t)先求方程h1"(t)+5h1'(t)+6h1(t)=(t)h1(t)已求得为h1(t)=(e−2t−e−3t)(t)则系统的冲激响应为

h(t)=h1"(t)+2h1'(t)+3h1(t)=(t)+(3e−2t−6e−3t)(t)式中h1'(t)=(−2e−2t+3e−3t)(t)+(e−2t−e−3t)(t) =(−2e−2t+3e−3t)(t)对h1'(t)求导可得h1"(t)。87得系统的冲激响应25二.阶跃响应定义系统的阶跃响应

g(t)=T[{0}，(t)]

设n阶微分方程为

y(n)(t)+an−1y(n−1)(t)+…+a0y(t)=f(t)

则当f(t)=(t)时，其零状态响应满足方程

g(n)(t)+an−1g(n−1)(t)+…+a0g(t)=(t) g(j)(0−)=0，j=0，1，2，…，n−1由于等号右端只含(t)，故除g(n)(t)外，g(t)及其直到n−1阶导数均连续，即有初始条件(t)g(t){y(0)}={0}LTI系统88二.阶跃响应定义系统的阶跃响应g(t)=T[{0}，

g(j)(0+)=g(j)(0−)=0，j=0，1，2，…，n−1若微分方程的特征根均为单根，则阶跃响应式中1/a0为特解。Ci由初始值确定。单位阶跃函数与单位冲激函数的关系为根据LTI系统的微积分特性，阶跃响应与冲激响应的关系为89 g(j)(0+)=g(j)(0−)=0，j=例：求图示系统的阶跃响应。解