数理方程分离变量法

关于数理方程分离变量法第一页，共五十一页，2022年，8月28日§2.1齐次发展方程的分离变量法一分离变量法简介研究两端固定的理想弦的自由振动，即定解问题

设代入上述波动方程和边界条件得

方程、边界条件均齐次用遍除第二页，共五十一页，2022年，8月28日

两边相等显然是不可能的，除非两边实际上是同一个常数，把这个常数记作------

这可以分离为关于X的常微分方程和关于T的常微分方程，且边界条件也同样进行分离称为固有值（本征值）问题第三页，共五十一页，2022年，8月28日

特征根通解求方程的通解的步骤为：

(1)写出微分方程的特征方程

(2)求出特征根，

(3)根据特征根的情况按下表写出所给微分方程的通解。二阶常系数齐次线性微分方程第四页，共五十一页，2022年，8月28日

1、在λ<0时，方程的解是

积分常数和由边界条件确定

由此解出=0,=0，从而

2、λ=0

时方程的解是则仍然解出第五页，共五十一页，2022年，8月28日

3、λ>0的情况

方程的解是

只有才能保证，方程有非零解

此时再看关于T的方程

于是或

称为固有值，

称为固有函数第六页，共五十一页，2022年，8月28日

这个方程的解

分离变量的形式解

(n=1,2,3,…)

由叠加原理，一般解为：

现在要求出叠加系数和

满足初始条件

第七页，共五十一页，2022年，8月28日

方程左边是傅里叶正弦级数,这就提示我们把右边的展开为傅里叶正弦级数，然后比较傅里叶系数，得第八页，共五十一页，2022年，8月28日，则可得原问题的解：

按上述公式计算出系数和注：该解称为古典解，在求解中我们假设无穷级数是收敛的。

如上的方法称为分离变量法，是齐次发展方程求解的一个有效方法。下面对该方法的步骤进行总结。

第九页，共五十一页，2022年，8月28日分离变量流程图固有值（特征值）问题第十页，共五十一页，2022年，8月28日偏微分方程

第十一页，共五十一页，2022年，8月28日【解】杆上温度满足下列泛定方程和定解条件

试探解

代入方程和边界条件得固有值问题

【例题1】研究细杆导热问题,初始时刻杆的一端温度为零度,另一端跟外界绝热，杆上初始温度为,试求无热源时细杆上温度的变化。和常微分方程分析：方程与边界条件均为齐次，用分离变量法，根据分离变量法流程，分析如下第十二页，共五十一页，2022年，8月28日分离变量流程图固有值（特征值）问题第十三页，共五十一页，2022年，8月28日经讨论知，仅时有非零解，且只有由得由得于是得固有值和固有函数为由此得第十四页，共五十一页，2022年，8月28日下面求解得由叠加原理，得第十五页，共五十一页，2022年，8月28日确定系数,由初值条件知

于是如取，则第十六页，共五十一页，2022年，8月28日

从而下列问题

的解为图形如下:(程序:my1)第十七页，共五十一页，2022年，8月28日(a)精确解图(b)瀑布图第十八页，共五十一页，2022年，8月28日§2.2稳定场齐次问题的分离变量法1矩形区域上拉普拉斯方程

【例题1】散热片的横截面为矩形。它的一边处于较高温度，边处于冷却介质中而保持较低的温度,其他两边，温度保持为零，求解这横截面上的稳定温度分布.【解】先写出定解问题定解问题

方程齐次这组边界条件齐次用分离变量法第十九页，共五十一页，2022年，8月28日分离变量流程图固有值（特征值）问题第二十页，共五十一页，2022年，8月28日设形式解为：

代入上述泛定方程,得到得到固有值问题和常微分方程得固有值：

第二十一页，共五十一页，2022年，8月28日固有函数：

而于是有叠加得第二十二页，共五十一页，2022年，8月28日为确定叠加系数，将代入非齐次边界条件

将等式右边展开为傅里叶正弦级数,并两边比较系数，得

第二十三页，共五十一页，2022年，8月28日联立求解得第二十四页，共五十一页，2022年，8月28日故原问题的解为小结：对矩形域上拉普拉斯方程，只要一组边界条件是齐次的，则可使用分离变量法求解。图形如下：（程序：my2）第二十五页，共五十一页，2022年，8月28日(a)精确解图(b)瀑布图第二十六页，共五十一页，2022年，8月28日【例2】求解下列问题特点：边界条件均非齐次

让和分别满足拉普拉斯方程,并各有一组齐次边界条件，即则，而上面两个定解问题分别用例1的方法求解。称为定解问题的分拆。第二十七页，共五十一页，2022年，8月28日

【例题3】带电的云跟大地之间的静电场近似是匀强的，水平架设的输电线处在这个静电场之中，导线看成圆柱型，求导线外电场的电势。

【解】先将物理问题表为定解问题。取圆柱的轴为z轴，物理问题与Z轴无关。圆柱面在平面的剖口是圆柱外的空间中没有电荷，故满足拉普拉斯方程

（在柱外）

可以看出，边界条件无法分离变量，只能另辟蹊径。在极坐标下研究该问题，在极坐标下，上述问题可表示成2圆形区域问题第二十八页，共五十一页，2022年，8月28日设分离变数形式的试探解为

代入拉普拉斯方程，得令此条件是根据电学原理加上的移项、整理后得：第二十九页，共五十一页，2022年，8月28日分离为两个常微分方程

（自然边界条件，附加）得固有值和固有函数为和固有值问题解得第三十页，共五十一页，2022年，8月28日将本征值代入常微分方程，得到欧拉型常微分方程

作代换则，方程化为：

于是通解是

解得即第三十一页，共五十一页，2022年，8月28日一个傅里叶级数等于零,意味着所有傅里叶系数为零,即：

由此得：

由条件得第三十二页，共五十一页，2022年，8月28日主要部分是项,可见在表达式中不应出现高次幂，于是

最后得柱外的静电势为：由知结合前面系数关系，有习题6、8第三十三页，共五十一页，2022年，8月28日

§2.3非齐次方程的求解

设该问题的解为：例1求解有界弦的受迫振动问题（Ⅰ）我们已经知道，对应齐次问题的固有函数系为又设因已知，所以

固有函数展开法（又称傅立叶级数法）第三十四页，共五十一页，2022年，8月28日代入非齐次方程和初始条件得：用Laplace变换求解得：∴

方法总结：将未知函数和非齐次项按照对应的齐次问题的固有函数展开，其展开系数为另一变量的未知函数，代入非齐次方程和初始条件确定该未知函数。第三十五页，共五十一页，2022年，8月28日设：【解】对应齐次问题的固有函数系为代入泛定方程，得于是有例2求解有界弦的受迫振动问题（Ⅱ）第三十六页，共五十一页，2022年，8月28日代入初始条件

于是：

第三十七页，共五十一页，2022年，8月28日当时：

的解为

解释第三十八页，共五十一页，2022年，8月28日推导：对应齐次方程的通解为

设非齐次方程的特解为，解得

于是非齐次方程的通解为由定解条件得代入整理即得。第三十九页，共五十一页，2022年，8月28日故原问题的解为解释第四十页，共五十一页，2022年，8月28日

§2.4非齐次边界条件问题

上一节研究了非齐次偏微分方程，齐次边界条件的情况。现在讨论非齐次边界条件下的情况。【例1】长为、侧面绝热的均匀细杆，在的一端保持恒温，另一端有热流为的定常热流进入。设杆的初始温度分布是，求杆上的温度变化.【解】物理问题的定解问题按照叠加原理，将的定解问题分解为两部分之和，第四十一页，共五十一页，2022年，8月28日满足定解问题即解得满足定解问题解释为什么？第四十二页，共五十一页，2022年，8月28日由分离变量法知，其解为由初值条件知故第四十三页，共五十一页，2022年，8月28日与t无关，设v=v(x)小结：满足定解问题即可边界条件齐次化。第四十四页，共五十一页，2022年，8月28日§2.5固有值问题

常微分方程的本征值问题是由齐次边界条件决定的。

用分离变量法求解偏微分方程的定解问题时，会得到含有参数

些参数称为固有值，其对应的方程解称为固有函数。

的齐次常微分方程和齐次边界条件（或自然边界条件）。这类问题中的参数依据边界条件只能取某些特定值才会使方程有非零解。这固有值及固有函数：一、第四十五页，共五十一页，2022年，8月28日固有函数系：在区间上正交，即其固有值和固有函数分别为

二、第四十六页，共五十一页，2022年，8月28日三、其固有值和固有函数分别为

固有函数系：在区间上正交，即第四