数值计算方法三次样条插值

关于数值计算方法三次样条插值第一页，共六十九页，2022年，8月28日4.4.1分段插值第二页，共六十九页，2022年，8月28日分段线性插值第三页，共六十九页，2022年，8月28日分段线性插值第四页，共六十九页，2022年，8月28日分段线性插值第五页，共六十九页，2022年，8月28日缺点：I(x)连续，但不光滑，精度较低,仅在第六页，共六十九页，2022年，8月28日分段三次Hermite插值上述分段线性插值曲线是折线，光滑性差，如果交通工具用这样的外形，则势必加大摩擦系数，增加阻力，因此用hermite分段插值更好。第七页，共六十九页，2022年，8月28日分段三次Hermite插值第八页，共六十九页，2022年，8月28日分段三次Hermite插值算法第九页，共六十九页，2022年，8月28日例题第十页，共六十九页，2022年，8月28日例题第十一页，共六十九页，2022年，8月28日4.4.2三次样条插值第十二页，共六十九页，2022年，8月28日三次样条插值第十三页，共六十九页，2022年，8月28日三次样条插值第十四页，共六十九页，2022年，8月28日三次样条插值第十五页，共六十九页，2022年，8月28日三次样条插值第十六页，共六十九页，2022年，8月28日三次样条插值第十七页，共六十九页，2022年，8月28日三次样条插值第十八页，共六十九页，2022年，8月28日三次样条插值第十九页，共六十九页，2022年，8月28日第二十页，共六十九页，2022年，8月28日三次样条插值第二十一页，共六十九页，2022年，8月28日三次样条插值第二十二页，共六十九页，2022年，8月28日三次样条插值第二十三页，共六十九页，2022年，8月28日三次样条插值第二十四页，共六十九页，2022年，8月28日例题例4.4.1已知函数y=f(x)的数表如下表所示。

求满足边界条件x00.150.300.450.60f(x)10.978000.917430.831600.73529第二十五页，共六十九页，2022年，8月28日解做差商表(P111),由于是等距离节点,第二十六页，共六十九页，2022年，8月28日由第二类边界条件得第二十七页，共六十九页，2022年，8月28日解方程得将Mi代入式4.4.14)得第二十八页，共六十九页，2022年，8月28日由于故

第二十九页，共六十九页，2022年，8月28日4．5曲线拟合的最小二乘法插值法是用多项式近似的表示函数,并要求在他们的某些点处的值相拟合.同样也可以用级数的部分和作为函数的近似表达式.无论用那种近似表达式,在实际应用中都要考虑精度,所以我们给出最佳逼近的讨论.第三十页，共六十九页，2022年，8月28日4.5.1最佳平方逼近定义4.5.1设称为函数在区间[a,b]上的内积.

其中为区间[a,b]上的权函数,且满足下面两个条件:第三十一页，共六十九页，2022年，8月28日容易验证,上述定义的函数内积满足一般内积概念中四条基本性质.第三十二页，共六十九页，2022年，8月28日内积的性质第三十三页，共六十九页，2022年，8月28日函数的欧几里得范数定义4.5.2设称为函数f(x)的欧几里得范数,或2范数.第三十四页，共六十九页，2022年，8月28日函数的欧几里得范数性质第三十五页，共六十九页，2022年，8月28日线性相关的函数系定义4.5.3设函数,如果存在一组不全为零的数使成立,则称函数系是线性相关的,否则称是线性无关的.第三十六页，共六十九页，2022年，8月28日线性相关的函数系的判定定理4.5.1函数在区间[a,b]上线性相关的充分必要条件是Gramer行列式第三十七页，共六十九页，2022年，8月28日不难证明在R上线性无关.定理的等价说法是:函数系线性无关的充分必要条件是Gramer行列式.第三十八页，共六十九页，2022年，8月28日最佳平方逼近定义4.5.4设函数及函数系且线性无关.记为连续函数空C[a,b]的子空间,如果存在元素满足第三十九页，共六十九页，2022年，8月28日则称为f(x)在上的最佳平方逼近函数.且其中是法方程唯一的一组解.第四十页，共六十九页，2022年，8月28日令则误差为第四十一页，共六十九页，2022年，8月28日特例取则法方程为其中第四十二页，共六十九页，2022年，8月28日例题例4.5.1设求f(x)在区间[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式.解设由于第四十三页，共六十九页，2022年，8月28日故法方程为解得第四十四页，共六十九页，2022年，8月28日平方误差为第四十五页，共六十九页，2022年，8月28日4.5.2对离散数据的曲线拟合最小二乘法曲线拟合问题对于f(x)插值问题,要想提高精度,就要增加节点,因此多项式的次数也就太高,计算量过大,而节点少,多项式的次数低,但误差精度不能保证,为了消除误差干扰,取多一些节点利用最小二乘法确定低次多项式近似表示f(x),这就是曲线拟合问题.第四十六页，共六十九页，2022年，8月28日在科学实验中,得到函数y=f(x)的一组实验数据:,求曲线与实验数据误差在某种度量意义下最小.第四十七页，共六十九页，2022年，8月28日设是[a,b]上一组线性无关的连续函数系,令记误差.为寻求我们常以误差加权平方和最小为度量标准,即第四十八页，共六十九页，2022年，8月28日达到极小值,这里是[a,b]上的权函数.类似前述最佳平方逼近方法,有多元函数极值必要条件有第四十九页，共六十九页，2022年，8月28日用向量内积形式表示,上式可记上式为求的法方程组,其矩阵的形式为第五十页，共六十九页，2022年，8月28日其中由于向量组是线性无关,故式(4.5.14)的系数行列式第五十一页，共六十九页，2022年，8月28日故式(4.5.14)存在唯一解,于是得到函数f(x)的最小二乘解其平方误差为第五十二页，共六十九页，2022年，8月28日特例第五十三页，共六十九页，2022年，8月28日例题例4.5.2设函数y=f(x)的离散数据如下表所示试用二次多项式拟和上述数据,并求平方误差.01234500.20.40.60.811.0001.2211.4921.8222.2262.718第五十四页，共六十九页，2022年，8月28日解由式(4.5.16)可得解方程组得所以拟合二次函数为第五十五页，共六十九页，2022年，8月28日平方误差为第五十六页，共六十九页，2022年，8月28日例4.5.3地球温室效应问题下表统计了近100年内地球大气气温上升的数据.试根据表中数据建立一数学模型即拟和曲线,并根据这一模型,预报地球气温何年会比1860年的平均温度高第五十七页，共六十九页，2022年，8月28日年份N1860年后地球气温增加值年份N1860年后地球气温增加值18800.0119400.1018900.0219500.1319000.0319600.1819100.0419700.2419200.0619800.3219300.08第五十八页，共六十九页，2022年，8月28日解为简化数据,从1880年起年份记N,其变换n=(N-1870)/10.将地球气温增加值改记为t=1,2,3,4,6,8,10,13,18,24,32,也就是将原气温增加值扩大100倍,根据新数据绘制图4.5.1(P119)第五十九页，共六十九页，2022年，8月28日从图可以看出,气温t与变换n大致服从指数函数增长过程,因此,可以假设t与n满足指数函数关系为决定参数α,β将上式改写成第六十页，共六十九页，2022年，8月28日记则有这是已知数据相应地变为如下表所示n1234567891011ln1ln2ln3ln4ln6ln8ln10ln13ln19ln24ln32第六十一页，共六十九页，2022年，8月28日由式(4.5.16),取n=1,m=10,并将上表已知数据带入得解方程组得:第六十二页，共六十九页，2022年，8月28日相应的t与n的指数型拟合曲线关系为就是所求地球温室效应的指数函数的数学模型,以此进行预报,即已知t值求第六十三页，共六十九页，2022年，8月28日以地球气温比1860年上升为例,即以t=700代入上式可得:N(7)=2078(年)第六十四页，共六十九页，2022年，8月28日4.5.3矛盾方程组的最小二乘解设矛盾方程组这里m>n,记第六十五页，共六十九页，2022年，8月28日则上式可简记为Ax=b.矛盾方程组的最小二乘解x*是指满足第六十六页，共六十九页，2022年，8月28日引理设则B为半正定对称方阵,当R(A)=n,则B是正定对称方程.若A的各列线性无关