高思导引四年级第十九讲格点与割补教师版

..第19讲 格点与割补内容概述明确格点多边形的概念,学会通过分割和添补的方法计算其面积；学会利用割补法计算不规则图形的面积；掌握格点多边形的面积计算公式.典型问题兴趣篇1．图19-l中相邻两格点问的距离均为1厘米．三个多边形的面积分别是多少平方厘米?答案：4平方厘米2平方厘米8平方厘米[分析]方法：正方形格点阵中多边形面积公式：〔N+-1>×单位正方形面积,其中N为图形内格点数,L为图形周界上格点数．有N=0,L=10,则用粗线围成图形的面积为：〔0+10÷2-1>×1=4<平方厘米>有N=0,L=10,则用粗线围成图形的面积为：〔1+4÷2-1>×1=2<平方厘米>有N=5,L=8,则用粗线围成图形的面积为：〔5+8÷2-1>×1=8<平方厘米>2．图19-2中相邻两格点问的距离均为l厘米．三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米?答案：5平方厘米5平方厘米0.5平方厘米[分析]方法：正方形格点阵中多边形面积公式：〔N+-1>×单位正方形面积,其中N为图形内格点数,L为图形周界上格点数．有N=4,L=4,则用粗线围成图形的面积为：〔4+4÷2-1>×1=5<平方厘米>有N=4,L=4,则用粗线围成图形的面积为：〔4+4÷2-1>×1=5<平方厘米>有N=0,L=3,则用粗线围成图形的面积为：〔0+3÷2-1>×1=0.5<平方厘米>3．图19-3中每个小正方形的面积均为2平方厘米．阴影多边形的面积是多少平方厘米?答案：19平方厘米[分析]方法：交点组成了正方形格点,正方形格点阵中多边形面积公式：〔N+-1>×单位正方形面积,其中N为图形内格点数,L为图形周界上格点数．有N=7,L=17,则用粗线围成图形的面积为：〔7+7÷2-1>×2=19<平方厘米>4．图19-4是一个三角形点阵,其中能连出的最小的等边三角形的面积为l平方厘米．三个多边形的面积分别为多少平方厘米?答案：6平方厘米6平方厘米14平方厘米[分析]方法：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：<2N+L-2>x单位正三角形面积,其中N为图形内格点数,L为图形周界上格点数．有N=0,L=8,所以用粗线围成的图形的面积为：<0×2+8-2>×1=6<平方厘米>．有N=2,L=4,所以用粗线围成的图形的面积为：<2×2+4-2>×1=6<平方厘米>．有N=4,L=7,所以用粗线围成的图形的面积为：<4×2+7-2>×1=14<平方厘米>．5．如图19-5所示,如果每个小等边三角形的面积都是1平方厘米．四边形ABCD和三角形EFG的面积分别是多少平方厘米?答案：20平方厘米10平方厘米[分析]方法：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：<2N+L-2>x单位正三角形面积,其中N为图形内格点数,L为图形周界上格点数．有N=9,L=4,所以用粗线围成的图形的面积为：<9×2+4-2>×1=20<平方厘米>．有N=4,L=4,所以用粗线围成的图形的面积为：<4×2+4-2>×1=10<平方厘米>．6．图19-6中的数字分别表示对应线段的长度,试求这个多边形的面积．<单位：厘米>答案：32平方厘米[分析]3×2+2×4+〔5-2×〔3+1+2=327．如图19-7所示,在正方形ABCD内部有一个长方形．EFGH．已知正方形ABCD的边长是6厘米,图中线段AE、AH都等于2厘米．求长方形EFGH的面积．答案：16平方厘米[分析]先算正方形面积6×6=36再算左上角和右下角三角形面积2×2÷2×2=4后算左下角和右上角三角形面积4×4÷2×2=1636-4-16=168．如图19-8所示,四边形ABCD是长方形,长AD等于7厘米,宽AB等于5厘米,四边形CDEF是平行四边形．如果BH的长是3厘米,那么图中阴影部分面积是多少平方厘米?答案：25平方厘米[分析]=DC×BC=5×7=35,HC=BC-BH=7-3=4,所以=×CD×HC=×5×4=10．=-=35-10=25<平方厘米>.9．如图19-9所示,大正方形的边长为10厘米．连接大正方形的各边中点得到一个小正方形,将小正方形每边三等分,再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连．请问：图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米?答案：50平方厘米[分析]如下图,我们将大正方形中的所有图形分成A、B两种三角形．其中含有A形三角形8个,B形三角形16个,其中阴影部分含有A形三角形4个,B形三角形8个．所以,阴影部分面积恰好为大正方形面积的,即为×10×10=50<平方厘米>．10．在图19-10中,五个小正方形的边长都是2厘米,求三角形ABC的面积．答案：14平方厘米[分析]方法：转化为正方形格点,正方形格点阵中多边形面积公式：〔N+-1>×单位正方形面积,其中N为图形内格点数,L为图形周界上格点数．有N=3,L=3,则用粗线围成图形的面积为：〔3+3÷2-1>×4=14<平方厘米>拓展篇1.图19-11中相邻格点围成的最小正方形或正三角形的面积均为l平方厘米．这三个多边形的面积分别是多少平方厘米?答案：7.5平方厘米6.5平方厘米9平方厘米[分析]方法：正方形格点阵中多边形面积公式：〔N+-1>×单位正方形面积,其中N为图形内格点数,L为图形周界上格点数．有N=4,L=9,则用粗线围成图形的面积为：〔4+9÷2-1>×1=7.5<平方厘米>有N=3,L=9,则用粗线围成图形的面积为：〔3+9÷2-1>×1=6.5<平方厘米>有N=4,L=12,则用粗线围成图形的面积为：〔4+12÷2-1>×1=9<平方厘米>2. <1>图19-12中每个小正方形的面积是2平方厘米．阴影部分面积是多少平方厘米?<2>图19-13中每个小正三角形的面积是4平方厘米．阴影部分面积是多少平方厘米?答案：17平方厘米56平方厘米[分析]方法：正方形格点阵中多边形面积公式：〔N+-1>×单位正方形面积,其中N为图形内格点数,L为图形周界上格点数．有N=3,L=13,则用粗线围成图形的面积为：〔3+13÷2-1>×2=17<平方厘米>[分析]方法：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：<2N+L-2>x单位正三角形面积,其中N为图形内格点数,L为图形周界上格点数．有N=4,L=8,所以用粗线围成的图形的面积为：<4×2+8-2>×4=56<平方厘米>．3．图19-14中每个小正方形的边长为1厘米．阴影部分的面积是多少平方厘米?答案：14平方厘米[分析]方法：可用公式先算出整个图形的面积,在减去中间空白部分的面积。正方形格点阵中多边形面积公式：〔N+-1>×单位正方形面积,其中N为图形内格点数,L为图形周界上格点数．有N=21,L=8,则用粗线围成图形的面积为：〔21+8÷2-1>×1=24<平方厘米>有N=5,L=12,则用粗线围成图形的面积为：〔5+12÷2-1>×1=10<平方厘米>24-10=14平方厘米4．如图19-15和图19-16,把两个相同的正三角形的各边分别五等分和七等分,并连接这些分点．已知图19-15中阴影部分的面积是294平方分米．请问：图19-16中的阴影部分的面积是多少平方分米?答案：200平方分米[分析]在图19-15中,原正三角形被分成25个小正三角形,而阴影部分含有12个小正三角形,所以每个小正三角形的面积为294÷12=24.5,所以原正三角形的面积为24.5×25=612.5<平方分米>．而在图19-16中,原正三角形被分成49块,而阴影部分含有16块,所以阴影部分的面积为612.5÷49×16=200<平方分米>．5．如图19-17,在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形,如果正方形A的面积是36平方厘米,那么正方形B的面积是多少平方厘米?答案：32平方厘米[分析]在A中做一条对角线,三角形会被平分为4部分,整个三角形面积为72,在B中连接两条对角线,整个图形被分为9部分,B占四部分。36×2=7272÷9×4=326．如图19-18所示,正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米,M是AB中点,N是CD中点,P是EF中点．请问：三角形MNP的面积是多少平方厘米?答案：2.25平方厘米[分析]如下图,我们将图19-18分成大小、形状相同的三角形,有正六边形ABCDEF包含有24个小正三角形,而阴影部分MNP包含有9个小正三角形．正六边形ABCDEF的面积为6,所以每个小正三角形的面积为6÷24=,所以三角形MNP的面积为9×=2.25<平方厘米>．7．图19-19中小正方形和大正方形的边长分别是4厘米和6厘米．阴影部分的面积是多少平方厘米?答案:18平方厘米[分析]先算两个正方形面积4×4+6×6=52,再算两个空白三角形面积6×6÷2=184×<4+6>÷2=20最后算左上角小阴影三角形面积4×<6-4>÷2=452-18-20+4=188．图19-20中,三角形ABC和DEF是两个完全相同的等腰直角三角形,其中DF长9厘米,CF长3厘米,求阴影部分的面积．答案：27平方厘米[分析]如图<a>,将原题中图形分为12个完全一样的小等腰三角形．△ABC占有9个小等腰三角形,其中阴影部分占有6个小等腰三角形,S=9×9÷2=40.5<平方厘米>,所以阴影部分的面积为40.5÷9×6=27<平方厘米>9．图19-21是一个边长为l米的正方形和一个等腰梯形拼成的"火炬"．梯形的上底长1.5米,A为上底的中点,B为下底的中点,线段AB恰好是梯形的高,长为0.5米,CD长为0.3米．图中阴影部分的面积是多少平方米?答案：平方米[分析]：将下图中一些点标上字母．延长AB交正方形边EF于H点我们先求出梯形JICK与正方形IFEC的面积和,再求出三角形AFH与梯形AHED的面积和,将前者与后者做差所得到的值即为所求阴影部分的面积=×<1.5+1>×0.5=0.625,=1×1=1．=×AH×FH=×〔AB+BH×<FE>=×<0.5+1>-〔×1=0.375,=×<AH+DE>×HE=×<AB+BH+CE-CD>×<FE>=×<0.5+1+1->×<×1>=．有=+--=0.625+l-0.375-=<平方米>．即阴影部分的面积为平方米．10．在图19-22中,每一个小正方形的面积都是1平方厘米．用粗线围成的图形面积是多少平方厘米?答案：6.5平方厘米[分析]正方形格点阵中多边形面积公式：〔N+-1>×单位正方形面积,其中N为图形内格点数,L为图形周界上格点数．有N=4,L=7,则用粗线围成图形的面积为：〔4+-1>×1=6.5<平方厘米>11．如图19-23,正方形网格的总面积等于96平方厘米,求阴影图形的面积．答案：38平方厘米[分析]先算每个小正方形面积：96÷〔6×8=2平方厘米。正方形格点阵中多边形面积公式：〔N+-1>×单位正方形面积,其中N为图形内格点数,L为图形周界上格点数．有N=8,L=21,则用粗线围成图形的面积为：〔8+24÷2-1>×2=38<平方厘米>12．如图19-24,每个小等边三角形的面积都是1平方厘米．阴影部分的面积是多少平方厘米?答案：17平方厘米[分析]正三角形方形格点阵中多边形面积公式：<2N+L-2>x单位正三角形面积,其中N为图形内格点数,L为图形周界上格点数．有N=6,L=7,所以用粗线围成的图形的面积为：<6×2+7-2>×1=17<平方厘米>．超越篇1．图19-25中每个小正方形的边长为1厘米．阴影部分的面积是多少平方厘米?答案：34平方厘米[分析]大面积减小面积：〔41+-1-〔19+-1=34〔平方厘米2．如图19-26,平面上有16个点,相邻两点间隔为1厘米．在每个点都钉上钉子,形成4行4列的正方形钉阵．现在有许多皮筋,请问：可以套出多少种不同面积的三角形?<面积相同但形状不同的三角形算一种>答案：9种[分析]由小到大,共9种。3．已知大的正六边形面积是72平方厘米,按图19-27中不同方式切割<切割点均为等分点>,形成的阴影部分面积各是多少平方厘米?答案：18平方厘米54平方厘米24平方厘米[分析]把每个图形分割成若干个相同的小正三角形72÷24×6=18〔平方厘米72÷24×8=54〔平方厘米72÷18×6=24〔平方厘米4.图19-28为一个边长为2厘米的正方形,分别连接顶点与对应边中点．围成的阴影部分的面积为多少平方厘米?答案：0.8平方厘米[分析]2×2÷5=0.8〔平方厘米5．如图19-29所示,已知一个四边形的两条边的长度和三个角的度数,这个四边形的面积是多少平方厘米?<单位：厘米>答案：20平方厘米[分析]将AD、BC延长交于E,有∠EDC=45°,∠ECD=90°,所以△CDE为等腰直角三角形,有EC=DC．而∠ECD=45°,∠EAB=90°,所以△ABE也是等腰直角三角形,有EA=AB．有=×AB×EA=,=×EC×DC=．有=-=-=20．6.如图19-30所示,这个多边形六条边的长度分别是1、2、3、4、5、7．问：这个图形的面积最大可能是多少?答案：26平方厘米[分析]5×4+2×3=26〔平方厘米7．如图19-31,有一个80×100