拉萨市2022-2023学年九年级数学第一学期期末经典试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题(每小题3分,共30分)1．在同一直角坐标系中，函数y＝kx﹣k与y＝（k≠0）的图象大致是（）A． B．C． D．2．若是二次函数，且开口向下，则的值是（）A． B．3 C． D．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝4，AB＝5，则cosB的值（）A． B． C． D．4．下列几何体中，主视图和左视图都为矩形的是（）A． B．C． D．5．如图，将△ABC绕着点A顺时针旋转30°得到△AB′C′，若∠BAC′=80°，则∠B′AC=（）‘A．20° B．25° C．30° D．35°6．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，CE，若∠CBD=32°，则∠BEC的大小为（）A．64° B．120° C．122° D．128°7．如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线与⊙O的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．以上三种情况都有可能8．若一组数据为3，5，4，5，6，则这组数据的众数是（）A．3 B．4 C．5 D．69．某细胞的直径约为0.0000008米，该直径用科学记数法表示为（）A．米 B．米 C．米 D．米10．在中，，，则的值为（）A． B． C． D．二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，在正方体的展开图形中，要将﹣1，﹣2，﹣3填入剩下的三个空白处（彼此不同），则正方体三组相对的两个面中数字互为相反数的概率是______．12．如图，点G为△ABC的重心，GE∥AC，若DE＝2，则DC＝_____．13．如图，D在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是边AD一个动点，将△ABE沿BE对折成△BEF，则线段DF长的最小值为_____．14．一个等边三角形边长的数值是方程x2﹣3x﹣10＝0的根，那么这个三角形的周长为_____．15．如图，函数y＝的图象所在坐标系的原点是_______．16．为庆祝中华人民共和国成立70周年，某校开展以“我和我亲爱的祖国”为主题快闪活动，他们准备从报名参加的3男2女共5名同学中，随机选出2名同学进行领唱，选出的这2名同学刚好是一男一女的概率是：_________．17．如图所示，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8，AC⊥CD，若sin∠ACB＝，则cos∠ADC＝______．18．我国经典数学著作《九章算术》中有这样一道名题，就是“引葭赴岸”问题，（如图）题目是：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一正方形池塘，边长为一丈，有棵芦苇长在它的正中央，高出水面部分有一尺长，把芦苇拉向岸边，恰好碰到岸沿，问水深和芦苇长各是多少？（小知识：1丈=10尺）如果设水深为x尺，则芦苇长用含x的代数式可表示为尺，根据题意列方程为．三、解答题(共66分)19．（10分）如图，已知AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，∠EAB的平分线交⊙O于点C，过点C作AE的垂线，垂足为D，直线DC与AB的延长线交于点P．（1）判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若tan∠P=，AD=6，求线段AE的长．20．（6分）如图，⊙中，弦与相交于点,,连接.求证：⑴；⑵.21．（6分）如图所示，是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱的高为10米，灯柱与灯杆的夹角为.路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域的长为13.3米，从，两处测得路灯的仰角分别为和，且.求灯杆的长度.22．（8分）如图，已知AB为⊙O的直径，PA与⊙O相切于A点，点C是⊙O上的一点，且PC=PA．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若∠BAC=45°，AB=4，求PC的长．23．（8分）已知：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，分别过点A和点C作BC、AD边的平行线交于点E．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）连结BE，若，AD=，求BE的长．24．（8分）如图，点D在以AB为直径的⊙O上，AD平分，，过点B作⊙O的切线交AD的延长线于点E．(1)求证：直线CD是⊙O的切线．(2)求证：．25．（10分）如图，放置于平面直角坐标系中，按下面要求画图：（1）画出绕原点逆时针旋转的.（2）求点在旋转过程中的路径长度.26．（10分）4张相同的卡片分别写有数字﹣1、﹣3、4、6，将这些卡片的背面朝上，并洗匀．（1）从中任意抽取1张，抽到的数字大于0的概率是______；（2）从中任意抽取1张，并将卡片上的数字记作二次函数y＝ax2+bx中的a，再从余下的卡片中任意抽取1张，并将卡片上的数字记作二次函数y＝ax2+bx中的b，利用树状图或表格的方法，求出这个二次函数图象的对称轴在y轴右侧的概率．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B【分析】根据k的取值范围，分别讨论k＞0和k＜0时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行选择正确答案．【详解】解：①当k＞0时，一次函数y＝kx﹣k经过一、三、四象限，反比例函数的的图象经过一、三象限，故B选项的图象符合要求，②当k＜0时，一次函数y＝kx﹣k经过一、二、四象限，反比例函数的的图象经过二、四象限，没有符合条件的选项．故选：B．【点睛】此题考查反比例函数的图象问题；用到的知识点为：反比例函数与一次函数的k值相同，则两个函数图象必有交点；一次函数与y轴的交点与一次函数的常数项相关．2、C【分析】根据二次函数的定义和开口方向得到关于m的关系式，求m即可．【详解】解：∵是二次函数，且开口向下，∴，∴，∴．故选：C【点睛】本题考查了二次函数的定义和二次函数的性质，熟练掌握二次函数的定义和性质是解题关键．3、B【分析】根据勾股定理计算出BC长，再根据余弦定义可得答案．【详解】如图所示：∵AC＝4，AB＝5，∴BC＝＝＝3，∴cosB＝＝．故选：B．【点睛】考查了锐角三角函数，解题关键是掌握余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．4、A【解析】分别画出各几何体的主视图和左视图，然后进行判断．【详解】A、主视图和左视图都为矩形的，所以A选项正确；B、主视图和左视图都为等腰三角形，所以B选项错误；C、主视图为矩形，左视图为圆，所以C选项错误；D、主视图是矩形，左视图为三角形，所以D选项错误．故选：A．【点睛】本题考查了简单几何体的三视图：画物体的主视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．记住常见的几何体的三视图．5、A【解析】根据图形旋转的性质，图形旋转前后不发生任何变化，对应点旋转的角度即是图形旋转的角度，可直接得出∠C′AC=30°，由∠BAC′=80°可得∠BAC=∠B′AC′=50°，从而可得结论.【详解】由旋转的性质可得，∠BAC=∠B′AC′，∵∠C′AC=30°，∴∠BAC=∠B′AC′=50°，∴∠B′AC=20°.故选A.【点睛】此题主要考查了旋转的性质，图形旋转前后不发生任何变化，这是解决问题的关键．6、C【分析】根据圆周角定理可求∠CAD=32°，再根据三角形内心的定义可求∠BAC，再根据三角形内角和定理和三角形内心的定义可求∠EBC+∠ECB，再根据三角形内角和定理可求∠BEC的度数．【详解】在⊙O中，∵∠CBD=32°，

∴∠CAD=32°，

∵点E是△ABC的内心，

∴∠BAC=64°，

∴∠EBC+∠ECB=(180°-64°)÷2=58°，

∴∠BEC=180°-58°=122°．

故选：C．【点睛】本题考查了三角形的内心，圆周角定理，三角形内角和定理，关键是得到∠EBC+∠ECB的度数．7、B【详解】解：如图，在中，令x=0，则y=－；令y=0，则x=，∴A（0，－），B（，0）．∴OA=OB=．∴△AOB是等腰直角三角形．∴AB=2，过点O作OD⊥AB，则OD=BD=AB=×2=1．又∵⊙O的半径为1，∴圆心到直线的距离等于半径．∴直线y=x-2与⊙O相切．故选B．8、C【分析】根据众数的定义即可求解．【详解】一组数据为3，5，4，5，6中，5出现的次数最多，∴这组数据的众数为5；

故选：C．【点睛】本题考查了众数的概念，众数是一组数据中出现次数最多的数，注意一组数据的众数可能不只一个．9、B【分析】根据绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为且，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：根据科学计数法得：．故选：B．【点睛】本题主要考查科学计数法，熟记科学计数法的一般形式是且是关键，注意负指数幂的书写规则是由原数左边第一个不为零的数字开始数起．10、C【解析】在中，先求出的度数，再根据特殊角的三角函数值即可得出答案.【详解】，=故选C.【点睛】本题考查了锐角三角函数，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.二、填空题(每小题3分,共24分)11、【解析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．【详解】解：将-1、-2、-3分别填入三个空，共有3×2×1=6种情况，其中三组相对的两个面中数字和均为零的情况只有一种，故其概率为.故答案为.【点睛】本题考查概率的求法与运用．一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率.12、1．【分析】根据重心的性质可得AG：DG＝2：1，然后根据平行线分线段成比例定理可得＝＝2，从而求出CE，即可求出结论．【详解】∵点G为△ABC的重心，∴AG：DG＝2：1，∵GE∥AC，∴＝＝2，∴CE＝2DE＝2×2＝4，∴CD＝DE+CE＝2+4＝1．故答案为：1．【点睛】此题考查的是重心的性质和平行线分线段成比例定理，掌握重心的性质和平行线分线段成比例定理是解决此题的关键．13、【分析】连接DF、BD，根据DF＞BD−BF可知当点F落在BD上时，DF取得最小值，且最小值为BD−BF的长，然后根据矩形的折叠性质进一步求解即可.【详解】如图，连接DF、BD，由图可知，DF＞BD−BF，当点F落在BD上时，DF取得最小值，且最小值为BD−BF的长，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=4、BC=6，∴BD=，由折叠性质知AB=BF=4，∴线段DF长度的最小值为BD−BF=，故答案为：.【点睛】本题主要考查了矩形的折叠的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.14、12【解析】先解方程求出方程的根，再确定等边三角形的边长，然后求等边三角形的周长．【详解】解：x1﹣3x﹣10＝0，（x﹣2）（x+1）＝0，即x﹣2＝0或x+1＝0，∴x1＝2，x1＝﹣1．因为方程x1﹣3x﹣10＝0的根是等边三角形的边长，所以等边三角形的边长为2．所以该三角形的周长为：2×3＝12．故答案为：12．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法、等边三角形的周长等知识点．求出方程的解是解决本题的关键．15、M【分析】由函数解析式可知函数关于y轴对称，即可求解；【详解】解：由已知可知函数y＝的图象关于y轴对称，所以点M是原点；

故答案为：M．【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握函数的解析式与函数图象的关系是解题的关键．16、【分析】先画出树状图求出所有可能出现的结果数，再找出选出的2名同学刚好是一男一女的结果数，然后利用概率公式求解即可．【详解】解：设报名的3名男生分别为A、B、C，2名女生分别为M、N，则所有可能出现的结果如图所示：由图可知，共有20种等可能的结果，其中选出的2名同学刚好是一男一女的结果有12种，所以选出的2名同学刚好是一男一女的概率=．故答案为：．【点睛】本题考查了求两次事件的概率，属于常考题型，熟练掌握画树状图或列表的方法是解题的关键．17、【分析】首先在△ABC中，根据三角函数值计算出AC的长，再利用勾股定理计算出AD的长，然后根据余弦定义可算出cos∠ADC．【详解】解：∵∠B＝90°，sin∠ACB＝，∴＝，∵AB＝2，∴AC＝6，∵AC⊥CD，∴∠ACD＝90°，∴AD＝＝＝10，∴cos∠ADC＝＝．故答案为：．【点睛】本题考查了解直角三角形，以及勾股定理的应用，关键是利用三角函数值计算出AC的长，再利用勾股定理计算出AD的长．18、（x+1）；.【解析】试题分析：设水深为x尺，则芦苇长用含x的代数式可表示为（x+1）尺，根据题意列方程为.故答案为（x+1），.考点：由实际问题抽象出一元二次方程；勾股定理的应用．三、解答题(共66分)19、（1）PC是⊙O的切线；（2）【解析】试题分析：（1）结论：PC是⊙O的切线．只要证明OC∥AD，推出∠OCP=∠D=90°，即可．（2）由OC∥AD，推出，即，解得r=，由BE∥PD，AE=AB•sin∠ABE=AB•sin∠P，由此计算即可．试题解析：解：（1）结论：PC是⊙O的切线．理由如下：连接OC．∵AC平分∠EAB，∴∠EAC=∠CAB．又∵∠CAB=∠ACO，∴∠EAC=∠OCA，∴OC∥AD．∵AD⊥PD，∴∠OCP=∠D=90°，∴PC是⊙O的切线．（2）连接BE．在Rt△ADP中，∠ADP=90°，AD=6，tan∠P=，∴PD=8，AP=10，设半径为r．∵OC∥AD，∴，即，解得r=．∵AB是直径，∴∠AEB=∠D=90°，∴BE∥PD，∴AE=AB•sin∠ABE=AB•sin∠P=×=．点睛：本题考查了直线与圆的位置关系．解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20、（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）由AB=CD知，即，据此可得答案；（2）由知AD=BC，结合∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE可证△ADE≌△CBE，从而得出答案．【详解】证明（1）∵AB=CD，∴，即，∴；（2）∵，∴AD=BC，又∵∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE，∴△ADE≌△CBE（ASA），∴AE=CE．【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，圆心角、弧、弦三者的关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．21、2.8米【分析】过点作，交于点，过点作，交于点，则米.设.根据正切函数关系得，可进一步求解.【详解】解：由题意得，.过点作，交于点，过点作，交于点，则米.设.，.在中，，.，..（米）.，.（米）.答：灯杆的长度为2.8米.【点睛】考核知识点：解直角三角形应用.构造直角三角形，利用直角三角形性质求解是关键.22、（1）见解析；（2）2【分析】（1）根据切线的性质得到∠PAB=90°，根据等腰三角形的性质得到∠OAC=∠OCA，求得PC⊥CO，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）连接BC，先根据△ACB是等腰直角三角形，得到AC和，从而推出△PAC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到PC的值．【详解】（1）连接CO，∵PA是⊙O的切线，∴∠PAB=90°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵PC=PA，∴∠PAC=∠PCA，∴∠PCO=∠PCA+∠ACO=∠PAC+∠OAC=∠PAB=90°，∴PC⊥CO，∵OC是半径∴PC是⊙O的切线；（2）连接BC，为⊙O直径，，，，，【点睛】本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质．23、（1）见解析；（2）【分析】（1）先根据已知条件证四边形ADCE是平行四边形，再加上∠ADC=90°，证平行四边形ADCE是矩形；（2）根据，得到BD与AB的关系，通过解直角三角形，求AD长，则可求EC的值，在Rt△BDE中，利用勾股定理得BE.【详解】（1）证明：∵AE//BC，CE//AD∴四边形ADCE是平行四边形∵AD⊥BC，AB=AC∴∠ADC=90°，∴平行四边形ADCE是矩形（2）解：连接DE,如图：在Rt△ABD中，∠ADB=90°∵∴∴设BD=x，AB=2x∴AD=∵AD=∴x=2∴BD=2∵AB=AC，AD⊥BC∴BC=2BD=4∵矩形ADCE中，EC=AD=,BC=4∴在Rt△BDE中，利用勾股定理得BE===【点睛】本题考查了平行四边形、矩形的判定与性质、矩形的判定、勾股定理、等腰三角形性质的应用，熟练掌握相关性质和定理是解决问题的关键．24、(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】（1）连接OD，由角平分线的定义得到∠CAD=∠BAD，根据等腰三角形的性质得到∠BAD=∠ADO，求得∠CAD=∠ADO，根据平行线的性质得到CD⊥OD，于是得到结论；

（2）连接BD，根据切线的性质得到∠ABE=∠BDE=90°，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：证明：(1)连接OD，∵AD平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴