新人教版数学九年级上册2412垂径定理公开课课件

24.1.2

垂径定理（1）24.1.2

垂径定理（1）1探究一、如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。OBADC(1)这个图形是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？E探究一、如图，AB是⊙O的一条弦，作直OBADC(1)这个图2探究二、如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。OBADC(2)你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？E探究二、如图，AB是⊙O的一条弦，作直OBADC(2)你能发3新授已知：如图，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，且CD⊥AB于点E。求证：AE=BE。OBADCE你能证明AC=BC，AD=BD吗？新授已知：如图，AB是⊙O的弦，CD是OBADCE你能证明A4归纳垂径定理：直径垂直弦必平分弦，且平分弦所对的两条弧。归纳垂径定理：直径垂直弦必平分弦，且平分5巩固1、下列三个图，是否有AE=BE，AC=BC，AD=BD？OBADCEOBADCOBADCE巩固1、下列三个图，是否有AE=BE，AC=BC，AD=BD6范例例1、如图，在⊙O中，弦AB长8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求的⊙O半径。OBA转化思想圆的线段问题转化为直角三角形问题范例例1、如图，在⊙O中，弦AB长8cm，OBA转化思想圆的7变式1：如上图，若以O为圆心再画一个圆交弦AB于C，D，则AC与BD间可能存在什么关系?变式1：如上图，若以O为圆心再画一个圆交弦AB于C，D，则A8变式2：如下图，若将AB向下平移，当移到过圆心时，结论AC＝BD还成立吗?变式2：如下图，若将AB向下平移，当移到过圆心时，结论AC9变式3：如图，设AO＝BO，求证AC＝BD。

B

O

A

C

D

变式3：如图，设AO＝BO，求证AC＝BD。BOAC10变式3：如图，设AO＝BO，求证AC＝BD。变式3：如图，设AO＝BO，求证AC＝BD。11变式4：如图，设OC＝OD，求证AC＝BD。

A

O

B

C

D

变式4：如图，设OC＝OD，求证AC＝BD。AOBC12变式4：如图，设OC＝OD，求证AC＝BD。变式4：如图，设OC＝OD，求证AC＝BD。13例2.已知：（如图），求作：的中点。

D

C

E

A

B

A

B

例2.已知：（如图），求作：的中点。DCE14例2.已知：（如图），求作：的中点。

A

B

例2.已知：（如图），求作：的中点。AB15练习1.P是⊙O的弦AB上一点，AB＝10，AP＝6，OP＝5，则⊙O的半径是多少？A

O

B

P

练习1.P是⊙O的弦AB上一点，AB＝10，AOB16练习1.P是⊙O的弦AB上一点，AB＝10，AP＝6，OP＝5，则⊙O的半径是多少？A

O

B

P

练习1.P是⊙O的弦AB上一点，AB＝10，AOB172.⊙O的直径AB＝16，P是OB的中点，∠APC＝30°，求CD的长。练习C

E

AOB

D

P

2.⊙O的直径AB＝16，P是OB的中点，∠APC＝30°182.⊙O的直径AB＝16，P是OB的中点，∠APC＝30°，求CD的长。练习2.⊙O的直径AB＝16，P是OB的中点，∠APC＝30°193.已知圆内的一条弦与直径相交成30°角，且分直径成1cm和5cm两部分，则这条弦的中点与圆心的距离是多少？3.已知圆内的一条弦与直径相交成30°角，且分直径成1c20例3.在直径为40cm的圆形油槽中，装入一部分油，油面宽32cm，求油的深度为多少？

O

A

B

D

例3.在直径为40cm的圆形油槽中，装入一部分油，油面21例3.在直径为40cm的圆形油槽中，装入一部分油，油面宽32cm，求油的深度为多少？

O

A

B

D

例3.在直径为40cm的圆形油槽中，装入一部分油，油面22例3.在直径为40cm的圆形油槽中，装入一部分油，油面宽32cm，求油的深度为多少？例3.在直径为40cm的圆形油槽中，装入一部分油，油面23例3.在直径为40cm的圆形油槽中，装入一部分油，油面宽32cm，求油的深度为多少？

O

A

B

D

例3.在直径为40cm的圆形油槽中，装入一部分油，油面24变式1：已知⊙O的半径为5cm，⊙O的两条平行弦AB=8cm，CD=6cm，求弦AB与CD之间的距离。变式1：已知⊙O的半径为5cm，⊙O的两25例4.AB为⊙O的弦，从圆上任意一点引弦CD⊥AB，作∠OCD的平分线交⊙O于P，连结PA、PB，求证：

O

P

A

B

D

C

例4.AB为⊙O的弦，从圆上任意一点引弦CD⊥AB，作∠264.已知，AD为⊙O的直径，两弦AB＝AC，求证：AD平分∠BAC.练习4.已知，AD为⊙O的直径，两弦AB＝AC，求证：AD平分∠27

例5.思考：过圆内一定点的弦中，

弦最短。

例5.思考：过圆内一定点的弦中，28变式1：如图，P为⊙O内一点，且OP＝2，⊙O的半径为3，则过P的最短的弦等于___________。

O

P变式1：如图，P为⊙O内一点，且OP＝2，⊙O的半径为3，则29变式2：已知⊙O的直径为10，P是⊙O内一点，且OP＝3，则过点P且长度小于8的弦有几条？变式2：已知⊙O的直径为10，P是⊙O内一点，且OP＝330小结1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧。2.重要辅助线垂直于弦的直径。小结1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平31推论：垂径定理“知二得三”：(1)直径(过圆心)；(2)垂直弦；(3)平分弦(不是直径)；(4)平分优弧；(5)平分劣弧；知二得三推论：垂径定理“知二得三”：(1)直径(过圆心)；(2)32

常用推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。

常用辅助线：弦心距、半径常用推论：33范例例3、如图，在⊙O中，过圆周上一点A，作弦AB、AC，且AB=AC，M、N分别是AB、AC的中点，连接MN并延长交⊙O于点P、Q。求证：PM=QN。OQPAMNBC范例例3、如图，在⊙O中，过圆周上一点OQPAMNBC3412、如图，在以原点为圆心，以4cm为半径的⊙O上找一点C，点D与点C关于x轴对称，当CD=6cm时，求点C的坐标。巩固xyoCD12、如图，在以原点为圆心，以4cm巩固xyoCD3513、在平面直角坐标系中，A(4,0)，B(3,0)，经过A、B、O三点的圆的圆心坐标是

。巩固xyABO13、在平面直角坐标系中，A(4,0)，巩固xyABO3614、如图，AB是⊙O的弦，CD经过圆心O，CD⊥AB于点D，AB=10，CD=7，求半径OA。OBADC巩固14、如图，AB是⊙O的弦，CD经过圆OBADC巩固3715、如图，A、B、C在⊙O上，连接AB、AC、BC，AD⊥BC于点D，且∠OAE=∠DAE。求证：E是BC的中点。OBADCE巩固15、如图，A、B、C在⊙O上，连接OBADCE巩固3816、如图，AB是⊙O的弦，MN是直径，MC⊥AB于点C，ND⊥AB于点D。求证：(1)AC=BD；(2)OC=OD。OABCDNM巩固16、如图，AB是⊙O的弦，MN是直径，OABCDNM巩固3917、如图，⊙O1与

⊙O2相交于点C、D，连接O1O2，过点C的直线交两圆于点A、B，AB∥O1O2，O1O2=6，求AB。O1BACO2巩固17、如图，⊙O1与⊙O2相交于点C、O1BACO2巩固40小结垂径定理“知二得三”：(1)直径(过圆心)；(2)垂直弦；(3)(平分弦)垂直弦；(4)平分优弧；(5)平分劣弧；知二得三小结垂径定理“知二得三”：(1)直径(过圆心)；(2)41饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打发的发非官方共和国符合国家和国际撒的方大哥给飞得更高是个搜狗是归属感是搞后呵呵敢死队敢死队敢死队好地方个地方豆腐花哈哈动画的发挥和家具风格就国防军广泛几个房间房管局房管局法国加工费交付给交付给交付给警方根据高房价法国警方交付给饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打发的发非官方共和国42饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打发的发非官方共和国符合国家和国际撒的方大哥给飞得更高是个搜狗是归属感是搞后呵呵敢死队敢死队敢死队好地方个地方豆腐花哈哈动画的发挥和家具风格就国防军广泛几个房间房管局房管局法国加工费交付给交付给交付给警方根据高房价法国警方交付给饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打发的发非官方共和国43饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打发的发非官方共和国符合国家和国际撒的方大哥给飞得更高是个搜狗是归属感是搞后呵呵敢死队敢死队敢死队好地方个地方豆腐花哈哈动画的发挥和家具风格就国防军广泛几个房间房管局房管局法国加工费交付给交付给交付给警方根据高房价法国警方交付给饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打发的发非官方共和国44饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打发的发非官方共和国符合国家和国际撒的方大哥给飞得更高是个搜狗是归属感是搞后呵呵敢死队敢死队敢死队好地方个地方豆腐花哈哈动画的发挥和家具风格就国防军广泛几个房间房管局房管局法国加工费交付给交付给交付给警方根据高房价法国警方交付给饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打发的发非官方共和国45饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打发的发非官方共和国符合国家和国际撒的方大哥给飞得更高是个搜狗是归属感是搞后呵呵敢死队敢死队敢死队好地方个地方豆腐花哈哈动画的发挥和家具风格就国防军广泛几个房间房管局房管局法国加工费交付给交付给交付给警方根据高房价法国警方交付给饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打发的发非官方共和国46饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打发的发非官方共和国符合国家和国际撒的方大哥给飞得更高是个搜狗是归属感是搞后呵呵敢死队敢死队敢死队好地方个地方豆腐花哈哈动画的发挥和家具风格就国防军广泛几个房间房管局房管局法国加工费交付给交付给交付给警方根据高房价法国警方交付给饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打发的发非官方共和国47饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打发的发非官方共和国符合国家和国际撒的方大哥给飞得更高是个搜狗是归属感是搞后呵呵敢死队敢死队敢死队好地方个地方豆腐花哈哈动画的发挥和家具风格就国防军广泛几个房间房管局房管局法国加工费交付给交付给交付给警方根据高房价法国警方交付给饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打发的发非官方共和国48饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打发的发非官方共和国符合国家和国际撒的方大哥给飞得更高是个搜狗是归属感是搞后呵呵敢死队敢死队敢死队好地方个地方豆腐花哈哈动画的发挥和家具风格就国防军广泛几个房间房管局房管局法国加工费交付给交付给交付给警方根据高房价法国警方交付给饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打发的发非官方共和国49饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打发的发非官方共和国符合国家和国际撒的方大哥给飞得更高是个搜狗是归属感是搞后呵呵敢死队敢死队敢死队好地方个地方豆腐花哈哈动画的发挥和家具风格就国防军广泛几个房间房管局房管局法国加工费交付给交付给交付给警方根据高房价法国警方交付给饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打发的发非官方共和国50饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打发的发非官方共和国符合国家和国际撒的方大哥给飞得更高是个搜狗是归属感是搞后呵呵敢死队敢死队敢死队好地方个地方豆腐花哈哈动画的发挥和家具风格就国防军广泛几个房间房管局房管局法国加工费交付给交付给交付给警方根据高房价法国警方交付给饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打发的发非官方共和国5124.1.2

垂径定理（1）24.1.2

垂径定理（1）52探究一、如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。OBADC(1)这个图形是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？E探究一、如图，AB是⊙O的一条弦，作直OBADC(1)这个图53探究二、如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。OBADC(2)你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？E探究二、如图，AB是⊙O的一条弦，作直OBADC(2)你能发54新授已知：如图，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，且CD⊥AB于点E。求证：AE=BE。OBADCE你能证明AC=BC，AD=BD吗？新授已知：如图，AB是⊙O的弦，CD是OBADCE你能证明A55归纳垂径定理：直径垂直弦必平分弦，且平分弦所对的两条弧。归纳垂径定理：直径垂直弦必平分弦，且平分56巩固1、下列三个图，是否有AE=BE，AC=BC，AD=BD？OBADCEOBADCOBADCE巩固1、下列三个图，是否有AE=BE，AC=BC，AD=BD57范例例1、如图，在⊙O中，弦AB长8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求的⊙O半径。OBA转化思想圆的线段问题转化为直角三角形问题范例例1、如图，在⊙O中，弦AB长8cm，OBA转化思想圆的58变式1：如上图，若以O为圆心再画一个圆交弦AB于C，D，则AC与BD间可能存在什么关系?变式1：如上图，若以O为圆心再画一个圆交弦AB于C，D，则A59变式2：如下图，若将AB向下平移，当移到过圆心时，结论AC＝BD还成立吗?变式2：如下图，若将AB向下平移，当移到过圆心时，结论AC60变式3：如图，设AO＝BO，求证AC＝BD。

B

O

A

C

D

变式3：如图，设AO＝BO，求证AC＝BD。BOAC61变式3：如图，设AO＝BO，求证AC＝BD。变式3：如图，设AO＝BO，求证AC＝BD。62变式4：如图，设OC＝OD，求证AC＝BD。

A

O

B

C

D

变式4：如图，设OC＝OD，求证AC＝BD。AOBC63变式4：如图，设OC＝OD，求证AC＝BD。变式4：如图，设OC＝OD，求证AC＝BD。64例2.已知：（如图），求作：的中点。

D

C

E

A

B

A

B

例2.已知：（如图），求作：的中点。DCE65例2.已知：（如图），求作：的中点。

A

B

例2.已知：（如图），求作：的中点。AB66练习1.P是⊙O的弦AB上一点，AB＝10，AP＝6，OP＝5，则⊙O的半径是多少？A

O

B

P

练习1.P是⊙O的弦AB上一点，AB＝10，AOB67练习1.P是⊙O的弦AB上一点，AB＝10，AP＝6，OP＝5，则⊙O的半径是多少？A

O

B

P

练习1.P是⊙O的弦AB上一点，AB＝10，AOB682.⊙O的直径AB＝16，P是OB的中点，∠APC＝30°，求CD的长。练习C

E

AOB

D

P

2.⊙O的直径AB＝16，P是OB的中点，∠APC＝30°692.⊙O的直径AB＝16，P是OB的中点，∠APC＝30°，求CD的长。练习2.⊙O的直径AB＝16，P是OB的中点，∠APC＝30°703.已知圆内的一条弦与直径相交成30°角，且分直径成1cm和5cm两部分，则这条弦的中点与圆心的距离是多少？3.已知圆内的一条弦与直径相交成30°角，且分直径成1c71例3.在直径为40cm的圆形油槽中，装入一部分油，油面宽32cm，求油的深度为多少？

O

A

B

D

例3.在直径为40cm的圆形油槽中，装入一部分油，油面72例3.在直径为40cm的圆形油槽中，装入一部分油，油面宽32cm，求油的深度为多少？

O

A

B

D

例3.在直径为40cm的圆形油槽中，装入一部分油，油面73例3.在直径为40cm的圆形油槽中，装入一部分油，油面宽32cm，求油的深度为多少？例3.在直径为40cm的圆形油槽中，装入一部分油，油面74例3.在直径为40cm的圆形油槽中，装入一部分油，油面宽32cm，求油的深度为多少？

O

A

B

D

例3.在直径为40cm的圆形油槽中，装入一部分油，油面75变式1：已知⊙O的半径为5cm，⊙O的两条平行弦AB=8cm，CD=6cm，求弦AB与CD之间的距离。变式1：已知⊙O的半径为5cm，⊙O的两76例4.AB为⊙O的弦，从圆上任意一点引弦CD⊥AB，作∠OCD的平分线交⊙O于P，连结PA、PB，求证：

O

P

A

B

D

C

例4.AB为⊙O的弦，从圆上任意一点引弦CD⊥AB，作∠774.已知，AD为⊙O的直径，两弦AB＝AC，求证：AD平分∠BAC.练习4.已知，AD为⊙O的直径，两弦AB＝AC，求证：AD平分∠78

例5.思考：过圆内一定点的弦中，

弦最短。

例5.思考：过圆内一定点的弦中，79变式1：如图，P为⊙O内一点，且OP＝2，⊙O的半径为3，则过P的最短的弦等于___________。

O

P变式1：如图，P为⊙O内一点，且OP＝2，⊙O的半径为3，则80变式2：已知⊙O的直径为10，P是⊙O内一点，且OP＝3，则过点P且长度小于8的弦有几条？变式2：已知⊙O的直径为10，P是⊙O内一点，且OP＝381小结1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧。2.重要辅助线垂直于弦的直径。小结1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平82推论：垂径定理“知二得三”：(1)直径(过圆心)；(2)垂直弦；(3)平分弦(不是直径)；(4)平分优弧；(5)平分劣弧；知二得三推论：垂径定理“知二得三”：(1)直径(过圆心)；(2)83

常用推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。

常用辅助线：弦心距、半径常用推论：84范例例3、如图，在⊙O中，过圆周上一点A，作弦AB、AC，且AB=AC，M、N分别是AB、AC的中点，连接MN并延长交⊙O于点P、Q。求证：PM=QN。OQPAMNBC范例例3、如图，在⊙O中，过圆周上一点OQPAMNBC8512、如图，在以原点为圆心，以4cm为半径的⊙O上找一点C，点D与点C关于x轴对称，当CD=6cm时，求点C的坐标。巩固xyoCD12、如图，在以原点为圆心，以4cm巩固xyoCD8613、在平面直角坐标系中，A(4,0)，B(3,0)，经过A、B、O三点的圆的圆心坐标是

。巩固xyABO13、在平面直角坐标系中，A(4,0)，巩固xyABO8714、如图，AB是⊙O的弦，CD经过圆心O，CD⊥AB于点D，AB=10，CD=7，求半径OA。OBADC巩固14、如图，AB是⊙O的弦，CD经过圆OBADC巩固8815、如图，A、B、C在⊙O上，连接AB、AC、BC，AD⊥BC于点D，且∠OAE=∠DAE。求证：E是BC的中点。OBADCE巩固15、如图，A、B、C在⊙O上，连接OBADCE巩固8916、如图，AB是⊙O的弦，MN是直径，MC⊥AB于点C，ND⊥AB于点D。求证：(1)AC=BD；(2)OC=OD。OABCDNM巩固16、如图，AB是⊙O的弦，MN是直径，OABCDNM巩固9017、如图，⊙O1与

⊙O2相交于点C、D，连接O1O2，过点C的直线交两圆于点A、B，AB∥O1O2，O1O2=6，求AB。O1BACO2巩固17、如图，⊙O1与⊙O2相交于点C、O1BACO2巩固91小结垂径定理“知二得三”：(1)直径(过圆心)；(2)垂直弦；(3)(平分弦)垂直弦；(4)平分优弧；(5)平分劣弧；知二得三小结垂径定理“知二得三”：(1)直径(过圆心)；(2)92饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打发的发非官方共和国符合国家和国际撒的方大哥给飞得更高是个搜狗是归属感是搞后呵呵敢死队敢死队敢死队好地方个地方豆腐花哈哈动画的发挥和家具风格就国防军广泛几个房间房管局房管局法国加工费交付给交付给交付给警方根据高房价法国警方交付给饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打发的发非官方共和国93饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打发的发非官方共和国符合国家和国际撒的方大哥给飞得更高是个搜狗是归属感是搞后呵呵敢死队敢死队敢死队好地方个地方豆腐花哈哈动画的发挥和家具风格就国防军广泛几个房间房管局房管局法国加工费交付给交付给交付给警方根据高房价法国警方交付给饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打发的发非官方共和国94饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打发的发非官方共和国符合国家和国际撒的方大哥给飞得更高是个搜狗是归属感是搞后呵呵敢死队敢死队敢死队好地方个地方豆腐花哈哈动画的发挥和家具风格就国防军广泛几个房间房管局房管局法国加工费交付给交付给交付给警方根据高房价法国警方交付给饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打发的发非官方共和国95饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打发的发非官方共和国符合国家和国际撒的方大哥给飞得更高是个搜狗是归属感是搞后呵呵敢死队敢死队敢死队好地方个地方豆腐花哈哈动画的发挥