多元时间序列分析课件

上海财经大学统计学系1多元时间序列分析

多元平稳时间序列建模

虚假回归

单位根检验

协整

误差修正模型

上海财经大学统计学系1多元时间序列分析多元平稳时间序1上海财经大学统计学系2§10.1多元平稳时间序列建模1976年，Box和Jenkins采用带输入变量的ARIMA模型为平稳多元序列建模。构造思想：假设输出变量序列（因变量序列）{}和输入变量序列（自变量序列）{}，{}，…，{}均平稳，首先构建输出序列和输入序列的回归模型，如果有必要，使用ARMA模型继续提取残差序列{}中的相关信息。模型形为

上海财经大学统计学系2§10.1多元平稳时间序列建模2上海财经大学统计学系3例10.1

在天然气炉中，输入的是天然气，输出的是CO2，CO2的输出浓度与天然气的输入速率有关。现在以中心化后的天然气输入速率为输入序列，建立CO2的输出百分浓度模型。时序图及样本自相关图直观显示输入序列和输出序列均平稳上海财经大学统计学系3例10.1在天然气炉中，输入的3上海财经大学统计学系4上海财经大学统计学系44上海财经大学统计学系5不考虑输入序列和输出序列之间的关系，将它们分别作为一元时间序列进行分析天然气输入速率序列模型为：CO2的输出浓度序列为AR(1，2，4)疏系数模型：

上海财经大学统计学系5不考虑输入序列和输出序列之间的关5上海财经大学统计学系6考虑到输出CO2浓度和输入天然气速率之间的密切关系，将输入天然气速率作为自变量考虑进输出序列的模型中，进一步研究二者之间的关系。滞后k期协方差函数定义为滞后k期协相关系数为

上海财经大学统计学系6考虑到输出CO2浓度和输入天然气6上海财经大学统计学系7输入序列和输出序列的协相关图上海财经大学统计学系7输入序列和输出序列的7上海财经大学统计学系8从协相关图可以看出，输出序列和输入序列的滞后项有显著的相关关系，且滞后阶数比较多，考虑采用ARMA模型结构，以减少待估参数的个数。通过反复尝试，得出以下回归模型上海财经大学统计学系8从协相关图可以看出，输出序列和输8上海财经大学统计学系9再考虑回归残差序列{}的性质，从残差序列的时序图和相关图可以看出，残差平稳且不存在序列相关性，说明拟合模型有效。上海财经大学统计学系9再考虑回归残差序列{}的性质9上海财经大学统计学系10模型拟合效果图

返回上海财经大学统计学系10模型拟合效果图10上海财经大学统计学系11§10.2虚假回归当因变量序列{}和输入变量序列（即自变量序列）{}，{}，…，{}都平稳时，可以依据Box和Jenkins的理论和方法构建以输入变量为自变量的ARIMAX回归模型来拟合相应序列的变化。当平稳性条件不满足时，我们就不能大胆地构造ARIMAX模型，因为这时容易产生虚假回归的问题。

返回上海财经大学统计学系11§10.2虚假回归当因变量序11上海财经大学统计学系12§10.3单位根检验DF检验

ADF检验

PP检验

上海财经大学统计学系12§10.3单位根检验DF检验12上海财经大学统计学系13DF统计量

考虑1阶自回归序列：单位根检验的原假设和备择假设分别为：t统计量DF（Dickey-Fuller）检验统计量时，其极限分布为：上海财经大学统计学系13DF统计量考虑1阶自回归序列13上海财经大学统计学系14维纳过程具有如下性质：（1）（2）（3）上海财经大学统计学系14维纳过程具有如下性质：（1）14上海财经大学统计学系15DF检验的等价表达

DF检验可以通过对参数的检验等价进行：相应的DF检验统计量为：其中，为参数的样本标准差。上海财经大学统计学系15DF检验的等价表达DF检验可15上海财经大学统计学系16DF检验方法的三种适用类型

第一种类型如式第二种类型如式第三种类型如式上海财经大学统计学系16DF检验方法的三种适用类型第16上海财经大学统计学系17例10.2对某国1960年到1993年GNP平减指数的季度时间序列进行DF单位根检验。

1.直观判断：GNP平减指数的季度时间序列绘制时序图，时序图显示序列显著非平稳。上海财经大学统计学系17例10.2对某国1960年到117上海财经大学统计学系182.对该时间序列进行DF检验上海财经大学统计学系182.对该时间序列进行DF检验18上海财经大学统计学系19ADF检验

DF检验只适用于1阶自回归过程的平稳性检验，但是实际上绝大多数时间序列不会是一个简单的AR(1)过程。为了使DF检验能适用于AR(p)过程的平稳性检验，对DF检验进行了一定的修正，得到增广DF检验（AugmentedDickey-Fuller），简记为ADF检验。上海财经大学统计学系19ADF检验DF检验只适用于119上海财经大学统计学系20ADF检验的原理

对任意一个AR(p)过程AR(p)过程单位根检验的假设：构造ADF检验统计量：其中，为参数的样本标准差。上海财经大学统计学系20ADF检验的原理对任意一个A20上海财经大学统计学系21ADF检验的三种适用类型

第一种类型第二种类型第三种类型上海财经大学统计学系21ADF检验的三种适用类型第一21上海财经大学统计学系22例10.2续

对某国1960年到1993年GNP平减指数的季度时间序列进行ADF检验，检验结果入下：上海财经大学统计学系22例10.2续对某国1960年22上海财经大学统计学系23PP检验

针对序列可能存在高阶相关的情况和可能的异方差情形，Phillips和Perron于1988年对ADF检验进行了非参数修正，提出了Phillips-Perron检验统计量。PP检验统计量既可适用于异方差场合的平稳性检验，又服从相应的ADF检验统计量的极限分布。上海财经大学统计学系23PP检验针对序列可能存在高阶23上海财经大学统计学系24例10.2续

对某国1960年到1993年GNP平减指数的季度时间序列进行PP检验，结果如下：

返回上海财经大学统计学系24例10.2续对某国1960年24上海财经大学统计学系25§10.4协整单整与协整

协整检验

上海财经大学统计学系25§10.4协整单整与协整25上海财经大学统计学系26单整（integration）的概念

在单位根检验的过程中，如果检验结果显著拒绝原假设，即说明序列显著平稳，不存在单位根，这时称序列为零阶单整序列，简记为。如果原序列1阶差分后平稳，说明原序列存在一个单位根，这时称原序列为1阶单整序列，简记为如果原序列至少需要进行d阶差分才能实现平稳，说明原序列存在d个单位根，这时称原序列为d阶单整序列，简记。上海财经大学统计学系26单整（integration）26上海财经大学统计学系27单整序列的性质

1．若，对于任意非零实数a与b，有2．若，对于任意非零实数a与b，有

3．若，对于任意非零实数

a与b，有4.若，，对于任意非零实数

a与b，有式中，上海财经大学统计学系27单整序列的性质1．若27上海财经大学统计学系28协整（cointegration）的概念

协整理论是EngleandGranger在1987年首先提出来的。设随机向量中所含分量均为d阶单整，记为。如果存在一个非零向量，使得随机向量，，则称随机向量具有d,b阶协整关系，记为向量被称为协整向量。上海财经大学统计学系28协整（cointegratio28上海财经大学统计学系29协整检验

Engle-Granger两步协整检验法

Johansen协整检验法

上海财经大学统计学系29协整检验Engle-Gran29上海财经大学统计学系30Engle-Granger两步协整检验法

1．用ADF检验各变量的单整阶数。协整回归要求所有的变量都是一阶单整的，因此，高阶单整变量需要进行差分，以获得序列。2．用OLS法估计长期动态回归方程，然后用AD检验残差估计值的平稳性。上海财经大学统计学系30Engle-Granger两步30上海财经大学统计学系31Johansen协整检验法

Johansen和Juselius提出的一种在VAR（向量自回归）系统下用极大似然估计来检验多变量之间协整关系的方法，通常称为Johansen协整检验。设一个VAR模型如下

上海财经大学统计学系31Johansen协整检验法J31上海财经大学统计学系32向量误差修正模型(VECM)协整关系的个数可通过下面两个统计量来计算：上海财经大学统计学系32向量误差修正模型(VECM)32上海财经大学统计学系33迹检验：即至多有r个协整关系即有m个协整关系（满秩）最大特征根检验：上海财经大学统计学系33迹检验：33上海财经大学统计学系34例10.2续

我们以人均生活费支出对数序列和可支配收入对数序列{}为例来说明如何进行EG检验。时序图上海财经大学统计学系34例10.2续我们以人均生活费34上海财经大学统计学系35第一步：用ADF检验分别对序列和进行单整检验第二步：用变量对进行普通最小二乘回归，得回归模型如下：残差序列时序图

返回上海财经大学统计学系35第一步：用ADF检验分别对序列35上海财经大学统计学系36§10.5误差修正模型误差修正模型(ErrorCorrectionModel)简称为ECM，它的主要形式是由Davidson、Hendry、Srba和Yeo于1978年提出的，也称为DHSY模型。它常常作为协整回归模型的补充模型出现。E-G两步法建立误差修正模型第一步，先检验两个变量的单整阶数，如果都是1阶单整，紧着着进行回归（OLS法），检验变量间的协整关系，估计协整向量（长期均衡关系参数）；第二步，若协整性存在，则以第一步求得的残差作为非均衡误差项加入到误差修正模型中，并用OLS法估计相应参数。上海财经大学统计学系36§10.5误差修正模型误差36上海财经大学统计学系37例10.2续

对1992年1月到2019年12月经居民消费价格指数调整的中国城镇居民月人均生活费支出对数序列和可支配收入对数序列{构建ECM模型

上海财经大学统计学系37例10.2续对1992年1月37上海财经大学统计学系38多元时间序列分析

多元平稳时间序列建模

虚假回归

单位根检验

协整

误差修正模型

上海财经大学统计学系1多元时间序列分析多元平稳时间序38上海财经大学统计学系39§10.1多元平稳时间序列建模1976年，Box和Jenkins采用带输入变量的ARIMA模型为平稳多元序列建模。构造思想：假设输出变量序列（因变量序列）{}和输入变量序列（自变量序列）{}，{}，…，{}均平稳，首先构建输出序列和输入序列的回归模型，如果有必要，使用ARMA模型继续提取残差序列{}中的相关信息。模型形为

上海财经大学统计学系2§10.1多元平稳时间序列建模39上海财经大学统计学系40例10.1

在天然气炉中，输入的是天然气，输出的是CO2，CO2的输出浓度与天然气的输入速率有关。现在以中心化后的天然气输入速率为输入序列，建立CO2的输出百分浓度模型。时序图及样本自相关图直观显示输入序列和输出序列均平稳上海财经大学统计学系3例10.1在天然气炉中，输入的40上海财经大学统计学系41上海财经大学统计学系441上海财经大学统计学系42不考虑输入序列和输出序列之间的关系，将它们分别作为一元时间序列进行分析天然气输入速率序列模型为：CO2的输出浓度序列为AR(1，2，4)疏系数模型：

上海财经大学统计学系5不考虑输入序列和输出序列之间的关42上海财经大学统计学系43考虑到输出CO2浓度和输入天然气速率之间的密切关系，将输入天然气速率作为自变量考虑进输出序列的模型中，进一步研究二者之间的关系。滞后k期协方差函数定义为滞后k期协相关系数为

上海财经大学统计学系6考虑到输出CO2浓度和输入天然气43上海财经大学统计学系44输入序列和输出序列的协相关图上海财经大学统计学系7输入序列和输出序列的44上海财经大学统计学系45从协相关图可以看出，输出序列和输入序列的滞后项有显著的相关关系，且滞后阶数比较多，考虑采用ARMA模型结构，以减少待估参数的个数。通过反复尝试，得出以下回归模型上海财经大学统计学系8从协相关图可以看出，输出序列和输45上海财经大学统计学系46再考虑回归残差序列{}的性质，从残差序列的时序图和相关图可以看出，残差平稳且不存在序列相关性，说明拟合模型有效。上海财经大学统计学系9再考虑回归残差序列{}的性质46上海财经大学统计学系47模型拟合效果图

返回上海财经大学统计学系10模型拟合效果图47上海财经大学统计学系48§10.2虚假回归当因变量序列{}和输入变量序列（即自变量序列）{}，{}，…，{}都平稳时，可以依据Box和Jenkins的理论和方法构建以输入变量为自变量的ARIMAX回归模型来拟合相应序列的变化。当平稳性条件不满足时，我们就不能大胆地构造ARIMAX模型，因为这时容易产生虚假回归的问题。

返回上海财经大学统计学系11§10.2虚假回归当因变量序48上海财经大学统计学系49§10.3单位根检验DF检验

ADF检验

PP检验

上海财经大学统计学系12§10.3单位根检验DF检验49上海财经大学统计学系50DF统计量

考虑1阶自回归序列：单位根检验的原假设和备择假设分别为：t统计量DF（Dickey-Fuller）检验统计量时，其极限分布为：上海财经大学统计学系13DF统计量考虑1阶自回归序列50上海财经大学统计学系51维纳过程具有如下性质：（1）（2）（3）上海财经大学统计学系14维纳过程具有如下性质：（1）51上海财经大学统计学系52DF检验的等价表达

DF检验可以通过对参数的检验等价进行：相应的DF检验统计量为：其中，为参数的样本标准差。上海财经大学统计学系15DF检验的等价表达DF检验可52上海财经大学统计学系53DF检验方法的三种适用类型

第一种类型如式第二种类型如式第三种类型如式上海财经大学统计学系16DF检验方法的三种适用类型第53上海财经大学统计学系54例10.2对某国1960年到1993年GNP平减指数的季度时间序列进行DF单位根检验。

1.直观判断：GNP平减指数的季度时间序列绘制时序图，时序图显示序列显著非平稳。上海财经大学统计学系17例10.2对某国1960年到154上海财经大学统计学系552.对该时间序列进行DF检验上海财经大学统计学系182.对该时间序列进行DF检验55上海财经大学统计学系56ADF检验

DF检验只适用于1阶自回归过程的平稳性检验，但是实际上绝大多数时间序列不会是一个简单的AR(1)过程。为了使DF检验能适用于AR(p)过程的平稳性检验，对DF检验进行了一定的修正，得到增广DF检验（AugmentedDickey-Fuller），简记为ADF检验。上海财经大学统计学系19ADF检验DF检验只适用于156上海财经大学统计学系57ADF检验的原理

对任意一个AR(p)过程AR(p)过程单位根检验的假设：构造ADF检验统计量：其中，为参数的样本标准差。上海财经大学统计学系20ADF检验的原理对任意一个A57上海财经大学统计学系58ADF检验的三种适用类型

第一种类型第二种类型第三种类型上海财经大学统计学系21ADF检验的三种适用类型第一58上海财经大学统计学系59例10.2续

对某国1960年到1993年GNP平减指数的季度时间序列进行ADF检验，检验结果入下：上海财经大学统计学系22例10.2续对某国1960年59上海财经大学统计学系60PP检验

针对序列可能存在高阶相关的情况和可能的异方差情形，Phillips和Perron于1988年对ADF检验进行了非参数修正，提出了Phillips-Perron检验统计量。PP检验统计量既可适用于异方差场合的平稳性检验，又服从相应的ADF检验统计量的极限分布。上海财经大学统计学系23PP检验针对序列可能存在高阶60上海财经大学统计学系61例10.2续

对某国1960年到1993年GNP平减指数的季度时间序列进行PP检验，结果如下：

返回上海财经大学统计学系24例10.2续对某国1960年61上海财经大学统计学系62§10.4协整单整与协整

协整检验

上海财经大学统计学系25§10.4协整单整与协整62上海财经大学统计学系63单整（integration）的概念

在单位根检验的过程中，如果检验结果显著拒绝原假设，即说明序列显著平稳，不存在单位根，这时称序列为零阶单整序列，简记为。如果原序列1阶差分后平稳，说明原序列存在一个单位根，这时称原序列为1阶单整序列，简记为如果原序列至少需要进行d阶差分才能实现平稳，说明原序列存在d个单位根，这时称原序列为d阶单整序列，简记。上海财经大学统计学系26单整（integration）63上海财经大学统计学系64单整序列的性质

1．若，对于任意非零实数a与b，有2．若，对于任意非零实数a与b，有

3．若，对于任意非零实数

a与b，有4.若，，对于任意非零实数

a与b，有式中，上海财经大学统计学系27单整序列的性质1．若64上海财经大学统计学系65协整（cointegration）的概念

协整理论是EngleandGranger在1987年首先提出来的。设随机向量中所含分量均为d阶单整，记为。如果存在一个非零向量，使得随机向量，，则称随机向量具有d,b阶协整关系，记为向量被称为协整向量。上海财经大学统计学系28协整（cointegratio65上海财经大学统计学系66协整检验

Engle-Granger两步协整检验法

Johansen协整检验法

上海财经大学统计学系29协整检验Engle-Gran66上海财经大学统计学系67Engle-Granger两步协整检验法

1．用ADF检验各变量的单整阶数。协整回归要求所有的变量都是一阶单整的，因此，高阶单整变量需要进行差分，以获得序列。2．用OLS法估计长期动态回归方程，然后用AD检验残差估计值的平稳性。上海财经大学统计学系30Engle-Granger两步67上海财经大学统计学系68Johans