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文档简介

一、波函数及薛定谔方程1.推导概率（粒子数）守恒的微分表达式;解答：由波函数的概率波解释可知，当已经归一化时，坐标的取值概率密度为（1）将上式的两端分别对时间求偏微商，得到（2）若位势为实数，即，则薛定谔方程及其复共轭方程可以分别改写如下形式（3）（4）将上述两式代入（2）式，得到（5）若令（6）有（7）此即概率（粒子数）守恒的微分表达式。2.若线性谐振子处于第一激发态求其坐标取值概率密度最大的位置，其中实常数。解答：欲求取值概率必须先将波函数归一化，由波函数的归一化条件可知（1）利用积分公示（2）可以得到归一化常数为（3）坐标的取值概率密度为（4）由坐标概率密度取极值的条件（5）知有五个极值点，它们分别是（6）为了确定极大值，需要计算的二阶导数（7）于是有取极小值取极小值（8）（9）取极大值（10）最后得到坐标概率密度的最大值为（11）3.半壁无限高势垒的位势为求粒子能量在范围内的解。解答：按位势的不同将求解区间分为三个，分别记为、和。在三个区域中，满足有限性要求的波函数分别为（1）其中（2）（3）由处的连接条件（4）知（5）即要求于是（6）（7）再由得到处的连接条件（8）（9）由上式可得（10）此即能量本征值满足的超越方程。该方程只能用数值法求解或用图解法求解。由于余切为负值，所以角度在第2或第4象限。若令（11）则式（10）可以写成（12）（13）若用作图法求解上式，则其解是曲线与（14）在第2或第4象限的交点。4.带电线性谐振子受到一个方向均匀电场的作用，求其能级。设该线性谐振子的质量为、电荷为、角频率为。解答：在均匀电场作用下，带电谐振子的哈密顿算符为（1）设哈密顿算符满足本证方程（2）利用配方的方法改写其势能项为（3）若令（4）（5）

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