《正方形的性质与判定》第2课时示范课教学课件【数学九年级上册北师大】

正方形的性质与判定第2课时北师大版九年级数学上册

观察下列实物中的正方形，说一说什么是正方形？一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.复习回顾正方形具有哪些性质呢？

正方形

观察下列实物中的正方形，说一说什么是正方形？复习回顾正方形具有哪些性质呢？正方形的四个角都是直角，四条边相等.正方形的对角线相等并且互相垂直平分.怎样判定一个四边形是正方形呢？

你是如何判断一个四边形是矩形、菱形？平行四边形矩形菱形四边形三个角是直角四条边相等定义四个判定定理定义对角线相等定义对角线垂直想一想

如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角打开，只要剪口线与折痕成45°角，展开后的图形就是正方形.操作你知道这样做的道理吗？合作探究活动1

准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证.满足怎样条件的矩形是正方形？合作探究活动1

准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证.【猜想1】当矩形的___________时，会变成一个正方形.一组邻边相等【猜想2】当矩形的________________时，会变成一个正方形.对角线互相垂直你能证明这两个猜想吗？猜想1：有一组邻边相等的矩形是正方形.已知：四边形ABCD是矩形，AB=BC.求证：四边形ABCD是正方形.证明证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，四边形ABCD是平行四边形.又∵AB=BC，∴四边形ABCD是正方形.猜想2：对角线互相垂直的矩形是正方形.已知：四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD.求证：四边形ABCD是正方形.证明证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC=OB=OD，∠BAD=90°.又∵AC⊥BD，∴△AOB≌△AOD(SAS).∴AB=AD.∴四边形ABCD是正方形(正方形的定义).归纳定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形.∵四边形ABCD是矩形，AB=BC，∴四边形ABCD是正方形.符号语言：定理2：对角线互相垂直的矩形是正方形.∵四边形ABCD是矩形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形.符号语言：合作探究活动2

把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状，量量看是不是正方形.满足怎样条件的菱形是正方形？活动2

把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状，量量看是不是正方形.合作探究【猜想3】当菱形的_____________时，会变成一个正方形.有一个角是直角【猜想4】当菱形的________________时，会变成一个正方形.对角线相等你能证明这两个猜想吗？猜想3：有一个角是直角的菱形是正方形.已知：四边形ABCD是菱形，∠A=90°.求证：四边形ABCD是正方形.证明证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，四边形ABCD是平行四边形.又∵

∠A=90°，∴四边形ABCD是正方形.猜想4：对角线相等的菱形是正方形.已知：四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，AC=BD.求证：四边形ABCD是正方形.证明证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD.又∵AC=BD，∴OA=OC=OB=OD，∠AOB=∠BOC=∠COD=∠AOD=90°.∴△AOB、△AOD、△BOC、△COD都是等腰直角三角形.∴∠BAD=90°.∴四边形ABCD是正方形(正方形的定义).归纳定理3：有一个角是直角的菱形是正方形.∵四边形ABCD是菱形，∠A=90°，∴四边形ABCD是正方形.符号语言：定理4：对角线相等的菱形是正方形.∵四边形ABCD是菱形，AC=BD，∴四边形ABCD是正方形.符号语言：典型例题例2已知：如图，在矩形ABCD

中，BE平分∠ABC，CE

平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE，求证：四边形BECF

是正方形.在矩形ABCD中，∠ABC=90°，∠DCB=90°.

分析：由BF∥CE，CF∥BE，可证四边形BECF是平行四边形.又由BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，可得∠EBC=∠ECB=45°，所以EB=EC.从而四边形BECF是菱形.在△BEC中，∠EBC=45°，∠ECB=45°，则∠BEC=90°，所以四边形BECF是正方形.证明：∵BF∥CE，CF∥BE，∴四边形BECF

是平行四边形.∵四边形ABCD

是矩形，∴∠ABC=90°，∠DCB=90°.又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，∴∠EBC=∠ABC=45°，∠ECB=∠DCB=45°.典型例题例2已知：如图，在矩形ABCD

中，BE平分∠ABC，CE

平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE，求证：四边形BECF

是正方形.∴∠EBC=∠ECB.∴EB=EC.∴□

BECF

是菱形(菱形的定义).在△EBC

中，∵∠EBC=45°，∠ECB=45°，∴∠BEC=90°.∴菱形BECF

是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形).你还有别的证法吗？做一做

如图，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点可以组成一个平行四边形.

思考：任意画一个正方形，以四边的中点为顶点可以组成一个怎样的图形呢？平行四边形猜想：正方形你能尝试证明吗？证明：连接AC，BD，∵A1，B1

分别是AB

和BC边中点，∴A1B1∥AC且A1B1

=

AC.同理可证C1D1∥AC且

C1D1

=

AC.A1D1∥BD且A1D1

=BD，B1C1∥BD且B1C1

=BD.∴四边形A1B1C1D1

为平行四边形.证明ADCBA1B1C1D1已知：如图，点A1，B1，C1，D1

分别是正方形ABCD

各边的中点.求证：四边形A1B1C1D1

为正方形.证明ADCBA1B1C1D1已知：如图，点A1，B1，C1，D1

分别是正方形ABCD

各边的中点.求证：四边形A1B1C1D1

为正方形.又∵四边形ABCD

是正方形，∴AC=BD(正方形的对角线相等)

AC⊥BD(正方形的对角线互相垂直)，∴A1B1

=A1D1

=B1C1

=C1D1，∠1=90°.∴四边形A1B1C1D1是菱形，∠2=90°.∴四边形A1B1C1D1为正方形.12以正方形的四边中点为顶点可以组成一个正方形.

菱形的中点四边形会是什么形状？猜想：矩形猜想：菱形请尝试证明这两个猜想？议一议

矩形的中点四边形会是什么形状？证明已知：如图，点E，F，G，H

分别是菱形ABCD

各边的中点.求证：四边形EFGH

为矩形.证明：连接AC，BD.∵E，F分别是AB

和BC边中点，∴EF∥AC，同理可证HG∥AC，EH∥BD，FG∥BD.∴EF∥HG，EH∥FG.∴四边形EFGH，PFQO为平行四边形.又∵四边形ABCD

是菱形，∴AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直).∴∠1=90°.

∴四边形PFQO为矩形.∴∠2=90°.∴四边形EFGH是矩形(矩形的定义).以菱形的四边中点为顶点可以组成一个矩形.证明已知：如图，点E，F，G，H

分别是矩形ABCD

各边的中

点.求证：四边形EFGH

为菱形.以矩形的四边中点为顶点可以组成一个菱形.证明：连接AC，BD.∵E，F分别是AB

和BC边中点，∴EF∥AC且EF=AC.同理可证HG∥AC且HG=AC，EH∥BD且EH=BD，FG∥BD且FG=BD.∴四边形EFGH为平行四边形.又∵四边形ABCD

是矩形，∴AC=BD(矩形的对角线相等)，∴EF=EH.∴四边形EFGH是菱形(菱形的定义).

决定中点四边形形状的关键因素是什么？议一议对角线不垂直，不相等平行四边形对角线不垂直，不相等平行四边形对角线相等菱形对角线垂直矩形对角线相等且垂直正方形

决定中点四边形的形状的主要因素是:原四边形的对角线的长度和位置关系.证明:在正方形ABCD

中,BE

＝DF,易证△CEB≌△AEB≌△AFD≌△CFD,即CE

＝AE

＝AF

＝FC,∴四边形AECF是菱形．抢答随堂练习1.已知：如图，E，F

是正方形ABCD

的对角线BD

上的两点，且BE=DF.求证：四边形AECF

是菱形.证明:在正方形ABCD

中，BE

＝DF，易证△CEB≌△AEB≌△AFD≌△CFD.∴CE

＝AE

＝AF

＝FC．∴四边形AECF是菱形．抢答随堂练习解：四边形EFGH

是正方形.∵在正方形ABCD

中，AE=BF=CG=DH，易证△AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE.∴EH

＝HG＝GF＝FE，且∠AHE＝∠DGH

．∵∠DGH

＋∠DHG＝90°.∴∠EHG＝180°－(∠AHE＋∠DHG)＝90°.∴四边形EFGH

是正方形.2.如图，在正方形ABCD

中，E，F，G，H

分别在它的四条边上，且AE=BF=CG=DH.四边形EFGH是什么特殊四边形？你是如