xd5-a向量组与解空间

第

5

章向量组与解空间习题课3/61第5章向量组与解空间习题课1向量的定义定义设

R

是实数集,n

>

0,令Rn

中的元素称为

n

维列向量.Rn=a1a2

an

ai

R,i=1,2,,n.

类似地,

n

维行向量为(

a1,a2,,an

).以后未指明的都指列向量,记为a,b,,,

,.4/61第5章向量组与解空间习题课向量的相等零向量分量全为

0

的向量称为零向量．负向量设T

=(

a1,a2,…,an

),bT

=(

b1,b2,…,bn

),则

=b

ai=bi(

i=1,2,,n

).

=0

ai=0(

i=1,2,,n

),

0

ai

中至少有一个不为0(

i=1,2,,n

).向量T

=(

a1,a2,…,an

)的负向量记作–T,且–T

=(–a1,–a2,…,–an

).5/61第5章向量组与解空间习题课向量加法2向量的线性运算设T

=(

a1,a2,…,an

),bT

=(

b1,b2,…,bn

),定义向量T

与bT

的加法为T

+bT=(

a1+b1,a2+b2,…,an

+bn

)向量减法定义为T

–bT=(

a1–

b1,a2–

b2,…,an

–

bn

)6/61第5章向量组与解空间习题课数乘向量向量加法和数乘向量运算称为向量的线性运算,满足下列八条运算规则：数

k

与向量T

的乘积,称为向量的数量乘法,简称数乘向量,定义为kT

=(ka1,ka2,…,kan

)(1)加法交换律

+

=+;(2)加法结合律(+

)+

=+(

+

);7/61第5章向量组与解空间习题课(4)对任何一个向量

,存在负向量–

,有+(–

)=O;(5)1=

;(6)数乘结合律k

(l)=(

kl

)

;(7)数乘分配律k

(+

)=k+k;(8)数乘分配律(

k

+

l

)=k+l.(3)对任何一个向量

,有

+O=

;其中,

,

为

n

维向量,1,

k,

l

为数,O

为零向量.8/61第5章向量组与解空间习题课除了上述八条运算规则,显然还有以下性质:(1')0=0,k0=0(其中

0

为数零,k

为任意数);(2')若k=0,则或者k=0,或者

=0;(3')向量方程

+

x=有唯一解

x=

–

.9/61第5章向量组与解空间习题课若干个同维数的列（行）向量所组成的集合叫做向量组．定义2给定向量组

A:1,2,…,m

,对于任何

一组实数k1,k2,…,km

,向量

k11+k22++

kmm

称为向量组A

的一个线性组合,k1,k2,…,km

称

为这个线性组合的系数.3线性组合10/61第5章向量组与解空间习题课定义2续

给定向量组

A:1,2,…,m

和向量

b,如果存在一组数k1,k2,…,km

,使

b=k11+k22++

kmm

,则向量

b

是向量组

A

的线性组合，这时称向量

b

能由向量组

A

线性表出.4线性表出11/61第5章向量组与解空间习题课定理1向量

b

能由向量组

A

线性表示的充分必要条件是矩阵A=(

12…

m

)

的秩等于矩阵B=(

12…

mb

)

的秩.定义3设有两个向量组

A:1,2,…,m

及B:b1,b2,…,bl

.若

B

组中的每个向量都能由向量组

A

线性表出,

则称向量组

B

能由向量组

A

线性表出.若向量组

A

与向量组

B

能相互线性表示,则称这两个向量

组等价.12/61第5章向量组与解空间习题课定义4给定向量组

A:1,2,…,m

,如果存在不

全零的数k1,k2,…,km

,使

k11+k22++

kmm=0,则称向量组

A

是线性相关的，否则称它线性无关．5线性相关定理4向量组

1,2,…,m

线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A

=

(12…

m

)的秩小于向量个数m;向量组线性无关的充分必要条件是rank(

A

)=m.

13/61第5章向量组与解空间习题课定理5

(1)若向量组A:

1,2,…,m

线性相关,则

向量组B:

1,2,…,m,m+1

也线性相关;

反言之,若向量组B

线性无关,则向量组A

也线性无关.(2)m

个

n

维向量组成的向量组,当维数

n

小于

向量个数

m

时一定线性相关.(3)设向量组A:

1,2,…,m

线性无关,而向

量组B:

1,2,…,m,b

线性相关,则向量

b

必能由向量组A

线性表示,且表示式是唯一的.14/61第5章向量组与解空间习题课6向量组的秩定义5

设有向量组

A,如果在

A

中能选出r

个向量

1,2,…,r

,满足(1)向量组

A0:1,2,…,r

线性无关;(2)向量组

A

中任意

r+

1

个向量

(

如果

A

中有

r+

1

个向量的话)都线性相关,

那么称向量组

A0

是向量组

A

的一个极大线性

无关组;

极大线性无关组中所含向量的个数

r

称为向量

组A

的秩,记为

RA.

只含零向量的向量组没有最大

无关组,规定它的秩为

0.15/61第5章向量组与解空间习题课定理6

矩阵的秩等于它的列向量组的秩,也等于

它的行向量组的秩.定理3"

设向量组

B

能由向量组

A

线性表示,则

RB

RA.推论1

等价的向量组的秩相等.推论2

(最大无关组的等价定义)设向量组A0:1,

2,…,r是向量组

A

的一个部分组,且满足:(1)向量组A0是线性无关,(2)向量组

A

能由向量组A0线性表示,则向量组A0是向量组

A

的一个最大无关组.16/61第5章向量组与解空间习题课7向量空间定义6

设

V

为

n

维向量的集合，如果集合

V

非空，且集合

V

对于加法及乘数两种运算封闭,那么就称集合

V

为向量空间．所谓封闭,是指集合

V

中可以进行加法及乘数两种运算:若

V,

V,则

+

V;若

V,

R,则

V;一般地,由向量组

a1,a2,,

am

所生成的向量空间为V={

x=1a1

+2a2

++

m

am

|

1,2,,m

R

}

17/61第5章向量组与解空间习题课8基与维数定义7

设V

是向量空间，如果r

个向量1,2,

,

r

V,且满足(1)1,2,

,

r

线性无关;(2)V

中任一向量都可由1,2,

,

r

线性表示.那么,向量组1,2,

,

r

就称为向量空间

V

的一

个基,r

称为向量空间

V

的维数,并称V

为r

维向

量空间.18/61第5章向量组与解空间习题课

若向量空间V

没有基,那么

V

的维数为0,

0

维

向量空间只含一个零向量O．

若把向量空间

V

看作向量组，那末

V

的基就是向量组的最大无关组,V

的维数就是向量组的秩.

向量空间的构造若向量组1,2,

,

r

是向量空间V

的一个基,则V

可表示为V={

x=1a1

+2a2

++

r

ar

|

1,2,,r

R

}

19/61第5章向量组与解空间习题课向量方程9齐次线性方程组记齐次线性方程组的系数矩阵和未知量为a11

x1+a12

x2++a1n

xn=0,

a21

x1+a22

x2++a2n

xn=0,

(1)

am1

x1+

am2

x2+

+

amn

xn=0,

20/61第5章向量组与解空间习题课则上述方程组(1)可写成向量方程a11

a12

a1n

a21

a22

a2n

am1

am2

amn

A=

,x=,x1

x2xn

Ax

=0(2)21/61第5章向量组与解空间习题课解向量若x1

=11,x2

=21,,xn

=n1

为方程组(1)

的解,则x=1=11

21

n1

称为方程组

(1)

的解向量,它也就是向量方程

(2)

的解.22/61第5章向量组与解空间习题课解向量的性质性质

1

若

x=1,x=2

为Ax

=0

的解,则x=1+2

也是Ax

=0

的解.性质

2

若

x=1

为Ax

=0

的解,k

为实数,则x=k1

也是Ax

=0

的解.定义设

S

为方程组(1)的全体解向量所组成的集合,则集合S

对向量的线性运算封闭,所以集合

S构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组(1)的解空间．23/61第5章向量组与解空间习题课定义解空间

S

的基称为方程组(1)的基础解系.定理7'

设m

n

矩阵

A

的秩rank(

A

)=r,则

n

元

齐次线性方程组Ax

=0

的解集

S

是一个向量空间,

且解空间S

的的维数为

n

–

r.24/61第5章向量组与解空间习题课向量方程10非齐次线性方程组非齐次线性方程组a11

x1+a12

x2++a1n

xn=b1,

a21

x1+a22

x2++a2n

xn=b2,

(3)

am1

x1+

am2

x2+

+

amn

xn=bm,

可写成向量方程

Ax

=b(4)25/61第5章向量组与解空间习题课解向量的性质解向量向量方程(4)的解就是方程组(3)的解向量．性质

3

设

x=1

及x=2

都是(4)的解,则x=1–2

是对应的齐次方程

Ax

=0(5)

的解.性质

4

设

x=

是方程(4)的解,x=

是方程(5)的解,则x=+

仍是方程(4)的解.26/61第5章向量组与解空间习题课(1)求齐次线性方程组的基础解系11线性方程组的解法

设齐次线性方程组Ax

=0的系数矩阵

A

的秩

为r,而方程组中未知数的个数为n,那么方程组

的一个基础解系中含n–r

个解向量,不妨设为

1,2,,n–r,求基础解系可按下面的步骤进行:

27/61第5章向量组与解空间习题课第一步：对系数矩阵

A

进行初等行变换，使其变成行最简形矩阵(设A

的前r

个列向量线性无关)100c1,r+1

c1,n

010c2,r+1

c2,n001cr,r+1

cr,n

000000000028/61第5章向量组与解空间习题课第二步：将第r

+

1,r

+

2,,n

列前r

个分量

反号,于是得1,2,,n–r

的第

1,

2,

,

r

个分量,

即–c1,r+1–c2,r+1

–cr,r+1

*

*

1=,,–c1,r+2–c2,r+2

–cr,r+2

*

*

2=,–c1,n–c2,n

–cr,n

*

*

n–r=;29/61第5章向量组与解空间习题课第三步：将其余n

–

r

个分量依次组成n

–

r

阶单位矩阵,于是得齐次线性方程组的一个基础解系–c1,r+1–c2,r+1

–cr,r+1

100

1=,,–c1,r+2–c2,r+2

–cr,r+2

010

2=,–c1,n–c2,n

–cr,n

001

n–r=.30/61第5章向量组与解空间习题课(2)求非齐次线性方程组的特解

若非齐次线性方程组Ax

=b

中

rank(A)

=

rank(B)=r,而方程组中未知数的个数为n,那么对增广矩阵

B

进行初等行变换,使其成为行最简形矩阵:31/61第5章向量组与解空间习题课将上述矩阵中最后一列的前r

个分量依次作

为特解的第1,2,,r

个分量，其余

n

–

r

个分量

全部取零，于是得100c1,r+1

c1,n

d1

010c2,r+1

c2,n

d2001cr,r+1

cr,n

dr000000

00000032/61第5章向量组与解空间习题课即为所求非齐次线性方程组的一个特解.d1

d2

dr0

0*=,33/61第5章向量组与解空间习题课一、向量组线性关系的判定二、求向量组的秩三、向量空间的判定四、基础解系的证法五、解向量的证法典型例题34/61第5章向量组与解空间习题课一、向量组线性关系的判定线性相关与线性无关的概念都是针对一个特

定的向量组

1,2,…,m

而言的,当我们考虑到

向量空间中两种基本运算的结合物——线性组合

k11+k22++

kmm时,其结果为向量空间中

的一个特殊向量——零向量,那么,一个自然的

问题是:是否存在一组不全为零的的数k1,k2,,

km,使得其线性组合为零向量?35/61第5章向量组与解空间习题课

答案只有两种:存在或不存在.

这样,也就自然而然地提出了线性相关与线

性无关的概念;

若存在,则称该向量组线性相关;

若不存在,则称该向量组线性无关,所谓不存在,指的是当且仅当

k1=k2==km=0时才有

k11+k22++

kmm=0.36/61第5章向量组与解空间习题课

线性相关与线性无关还可以通过线性表示的

概念来体现,即看其中是否有某个向量

(

不是任

意一个向量

),可由其余向量线性表示?

此外,还应注意到:线性相关与线性无关是一对排中对立的概念;据此,在论证某些相关性问题时,我们往往采用反证法.37/61第5章向量组与解空间习题课研究这类问题一般有两个方法:方法1从定义出发整理得线性方程组令k11+k22++

kmm=0,a11a12

a1n

即k1+k2++km=.a21a22

a2n

am1am2

amn

00

038/61第5章向量组与解空间习题课a11

k1+a21

k2++am1

km=0,

a12

k1+a22

k2++am2

km=0,

(*)

a1n

k1+a2n

k2++amn

km=0,

若线性方程组(*)只有唯一零解,则1,2,

…,m

线性无关.

若线性方程组

(*)

有非零解,则1,2,…,m

线性相关.39/61第5章向量组与解空间习题课方法2利用矩阵的秩与向量组的秩之间关系判定

给出一组n

维向量

1,2,,m,就得到一个

相应的矩阵A=(12

m

),首先求出

rank(

A

).

若rank(

A

)=m,则1,2,…,m,线性无关;

若rank(

A

)<m,则1,2,…,m,线性相关.40/61第5章向量组与解空间习题课例1研究下列向量组的线性相关性解一

1=

,2=,3=.1–2302–5–102令k11+k22+k33=0,即

k1+k2+k3=,1–2302–5–10200041/61第5章向量组与解空间习题课整理得到

k1–k3=0,

–2

k1+2

k2=0,

(*)3

k1–5

k2+2

k3=0,

线性方程组(*)的系数行列式10–1–220=0,3–52线性方程组(*)必有非零解,从而1,2,3线性相关.42/61第5章向量组与解空间习题课解二

1=

,2=,3=.1–2302–5–10210–1–2203–52矩阵A=(1

2

3

)=r2+

2r1

～r3–

3r110–102–20–55r2

2

～r3+

5r210–101–1000rank(

A

)=2<3,故向量组1,2,3线性相关.43/61第5章向量组与解空间习题课分析我们从定义出发,考察向量方程例2设1,2,…,m线性相关,证明:存在不全

为零的数t1,t2,,tm,使对任何向量都有1+

t1

,2+

t2

,…,m

+

tm

(m

2)线性相关.k1(1+

t1

)+k2(2+

t2

)++km(m

+

tm

)=0

即向量方程k11+k22+

+kmm

+(

k1t1+k2t2+

+kmtm

)=0

是否有某组不全为零的数k1,k2,,km,使得对每

个恒有非零解,因此可得如下证明.44/61第5章向量组与解空间习题课证明因为1,2,…,m线性相关,所以存在不全为零的数k1,k2,,km,使k11+k22+

+kmm=0

考虑线性方程k1x1+k2x2+

+kmxm

=0因为m

2,它必有非零解,设

t1,t2,,tm为它的

一组非零解,则对任意向量

,都有k11+k22+

+kmm

+(

k1t1+k2t2+

+kmtm

)=0

即k1(1+

t1

)+k2(2+

t2

)++km(m

+

tm

)=0

由k1,k2,,km不全为零得知1+

t1

,2+

t2

,…,m

+

tm

线性相关.45/61第5章向量组与解空间习题课例3已知向量组1,2,…,s的秩是

r,证明:

1,2,…,s中任意

r

个线性无关的向量均构成

它的一个极大线性无关组.分析证明向量组的一个部分组构成极大线性无

关组的基本方法就是:

根据极大线性无关组的定义来证,它往往还

与向量组的秩相联系.46/61第5章向量组与解空间习题课证明不失一般性,设i1,i2,…,ir

是1,2,

…,s

中的任意

r

个线性无关的向量,于是,对于任意的k

(

k=

1,

2,...,s

),i1,i2,…,ir,k

线性相关,又由于向量组

i1,i2,…,irr线性无关,否则此向量组的秩大于r.所以k可以由i1,i2,…,ir

线性表示.

由定义,这就证明了i1,i2,…,ir

是1,2,

…,s

的一个极大线性无关组.47/61第5章向量组与解空间习题课

求一个向量组的秩,可以把它转化为矩阵的秩来求,这个矩阵是由这组向量为行(

列

)向量所排成的．

如果向量组的向量以列(

行

)向量的形式给出,把向量作为矩阵的列(

行

),对矩阵作初等行

(

列

)变换,这样,不仅可以求出向量组的秩,而且可以求出最大线性无关组．二、求向量组的秩

若矩阵A

经过初等行(

列

)变换化为矩阵

B,则

A

和

B

中任何对应的列(

行

)向量组都有相同的线性相关性．48/61第5章向量组与解空间习题课例4求向量组1T=(1,–1,0,0),2T=(–1,2,1,–1),3T=(0,1,1,–1),4T=(–1,3,2,1),5T=(–2,6,4,1)的秩并求一个极大无关组.解作矩阵A=(12345

),对

A

作初等行变换,将

A

化为行阶梯形.1–10–1–2–12136011240–1–111A=(12345

)=49/61第5章向量组与解空间习题课1–10–1–2–12136011240–1–111A=1–10–1–201124011240–1–111r2+

r1

～r3–

r2

～r4+

r21–10–1–2011240000000035r4

r3

～1–10–1–2011240003500000记作

=(

1

2

3

4

5

)=U.50/61第5章向量组与解空间习题课1–10–1–2011240003500000U=(

1

2

3

4

5

)=A

的列秩=rank(

A

)=3,向量组作矩阵1,2,3,4,5

的秩为3.又1,2,4

是

U

的列向量组的一个极大无关组,1,2,4也是

A

的列向量组的一个极大无关组.51/61第5章向量组与解空间习题课判断向量的集合是否构成向量空间,需看集合是否对于加法和数乘两种运算封闭.若封闭,则构成向量空间;否则,不构成向量空间.三、向量空间的判定例5判断R3

中与向量(

0,0,1

)不平行的全体向量

所组成的集合是否构成向量空间.解

R3

中与向量(

0,0,1

)不平行的全体向量所组

成的集合不构成向量空间.52/61第5章向量组与解空间习题课对向量1=(

0,k,1

),2=(

0,–k,1

)(k

0),1,2

均不平行于(

0,0,1

),但1+2=(

0,0,1

).因此,R3

中与向量(

0,0,1

)不平行的全体向量所

组成的集合对加法不封闭.故所给向量集合不构成向量空间.53/61第5章向量组与解空间习题课四、基础解系的证法(3)方程组的任一解均可由该向量组线性表示.(1)该组向量都是方程组的解;(2)该组向量线性无关;例6

证明与基础解系等价的线性无关的向量组也

是基础解系.分析要证明某一向量组是方程组Ax=0

的基础解系,需要证明三个结论:54/61第5章向量组与解空间习题课证明设1,2,…,t是方程组

Ax=0

的一个基础解

系,1,2,…,s是与1,2,…,t等价的线性无关的向量组,因为等价的线性无关的向量组所含向量个数是相同的,所以这两个向量组所含的向量个数相等,即t=s.

由向量组的等价关系易知,i可以表示成1,

2,…,t

的线性组合(

i=

1,

2,...,s

),而解的线性组合仍然是原方程组的解,故1,2,…,t

都是Ax=0的解.①

55/61第5章向量组与解空间习题课注当线性方程组有非零解时,基础解系的取法

不唯一,且不同的基础解系之间是等价的．由题设知1,2,…,t

都线性无关.②设

为方程组Ax=0的任一解,

则

可由1,2,…,t线性表示,由两个向量组的等价性,1,2,…,t均可由1,2,…,t

线性表示,故

也可由1,2,…,t

线性表示.③

由定义知,1,2,…,t也是方程组

Ax=0

的

一个基础解系.56/61第5章向量组与解空间习题课五、解向量的证法例7设

*

是非齐次线性方程组

Ax=b

的一个解,1,2,…,n–r是其导出组的一个基础解系.证明:(1)

*,1,2,…,n–r线性无关;(2)

*,

*+

1,…,

*

+

n–r是方程组

Ax=b

的

n–r+

1

个线性无关的解;(3)方程组

Ax=b

的任一解x,都可以表示为这

n–r+

1

个解的线性组合,而且组合系数之和为

1.同济版p.110习题4.31,4.3257/61第5章向量组与解空间习题课证明(1)令k0

*

+k11+

+kn–rn–r=0,(*)其中必有k0=0.否则有

*

=–––1–––––n–r

,k1

kn–r

k0

k0

由于1,2,…,n–r是齐次线性方程组

Ax=0

的解,故等式右边为其线性组合,必为Ax=0