2022年高考数学平面向量的线性运算及其坐标表示知识点专项练习含答案

专题20平面向量的线性运算及其坐标表示一、单选题（本大题共12小题，共60分）在ΔABC中，OA=a，OB=b，OP=p，若p=t(a|A.∠AOB平分线所在的直线上 B.线段AB垂直平分线上

C.AB边所在直线上 D.AB已知点A，B，C在圆O上，|OA+OB|=|OA-A.12 B.1 C.32 如图，在△ABC中，AD⊥AB，，|AD|=2，且AC⋅AD=12，则2x+y=(A.1 B.-23 C.-13已知△ABC所在的平面内一点P(点P与点A，B，C不重合)，且AP=5PO+2OB+3OC，则△ACP与△BCPA.2︰1 B.3︰1如图所示，矩形ABCD中，AB=4，AD=2，对角线AC、BD交于点O，点E是线段AO的中点，点F是线段BCA.12DE-74COB.2将函数fx=4sin(π2-π2x)和直线g(x)=x-1的所有交点从左到右依次记为A1，A2，⋅⋅⋅A.0 B.2 C.6 D.10O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP→ =OA→ +μ(ABAB+ACAC)，A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心定理：点P是ΔABC内任一点，则其中SΔBPC,

SΔAPC,SΔAPB分别是ΔBPC，ΔAPC，ΔAPB的面积).该定理的几何图形类似于奔驰车标，也被戏称为平面向量的“奔驰定理”.已知ΔABC内一点O，满足SΔBOC=1，SΔABCA.9 B.5 C.2 D.7已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=1，AC=2，D是△ABC内一点，且∠DAB=60°，设AD=λAB+μAC(λ,μ∈R)，则A.233 B.33 C.在等腰梯形中，AB//CD，AB=2，AD=1，∠DAB=π3，点F是线段AB上的一点，M为直线BC上的动点，若BC=3CE，AF=λAB，且AE⋅DFA.14 B.-6364 C.在平面直角坐标系xOy中，A和B是圆C:x-12+y2=1上的两点，且AB=2，点P2,1A.5-2,5+2设|AB|=10，若平面上点P满足对任意的λ∈R.，恒有|2AP-λAB|⩾8，则一定正确的是(A.|PA|≥5 B.|PA+二、单空题（本大题共6小题，共30分）如图，在△ABC中，已知AB=10，AC=5，，点M是边AB的中点，点N在直线AC上，且AC=3AN，直线CM与BN相交于点P，则线段AP的长为

．在梯形ABCD中，已知AB // CD，AB=2CD，DM=MC，CN=2NB，若AM=λAC如图，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=1，∠A=120°，E,F分别是边AB,AC上的点，且AE⇀=λAB⇀,AF⇀=μ如图，在△ ABC中，BD=13BC，点E在线段AD上移动(不含端点)，若AE=λAB+μ已知正方形ABCD的边长为1.当λii=1,2,3,4,5,6每个取遍±1时，λ1AB+如图，在△ABC中，AB=4，AC=2，已知点E，F分别是边AB，AC的中点，点D在边BC上．若DE⋅DF=134，则线段BD的长为三、解答题（本大题共2小题，共30分）19．设两个非零向量与不共线，（1）若，，，求证：A，B，D三点共线；（2）试确定实数k，使和共线．20．平面内给定三个向量，，.（1）求满足的实数m、n；（2）若，求实数k；（3）若向量满足，且，求的坐标.专题20平面向量的线性运算及其坐标表示一、单选题（本大题共12小题，共60分）在ΔABC中，OA=a，OB=b，OP=p，若p=t(A.∠AOB平分线所在的直线上 B.线段AB垂直平分线上

C.AB边所在直线上 D.AB【答案】A【解析】解：∵OA=a，OB=b，OP=p，

且p=t(a|a|+b|b|),t∈R，

∵ a |  a |  和  b |  b |  是△OAB已知点A，B，C在圆O上，|OA+OB|=|A.12 B.1 C.32 【答案】B【解析】解：∵点A，B，C在圆O上，设圆O半径为r，则OA=OB=OC=r，

又|OA+OB|=|OA-OB|,

∴OA+OB2=OA-OB2，

于是2r2+2OA·OB=2r2-2OA·OB，

∴OA·OB=0，从而OA⊥OB．

因此，可以O为原点，直线OA，OB分别为x，y如图，在△ABC中，AD⊥AB，，|AD|=2，且AC⋅AD=12A.1 B.-23 C.-13【答案】C【解析】解：因为BD=xAB+yAC，

所以AD-AB=xAB+yAC

则AD=(x+1)AB+yAC，AD⋅AD=AD⋅[(x+1)AB+yAC]

=(x+1)AD⋅AB+yAD⋅AC，

因为|AD|=2，且已知△ABC所在的平面内一点P(点P与点A，B，C不重合)，且AP=5PO+2OB+3OC，则△ACPA.2︰1 B.3︰1【答案】A【解析】解：因为AP=5PO+2OB+3OC=2PB+3PC=2(AB-AP)+3(AC-AP)，

整理得AP=13AB+12AC，如图：

如图所示，矩形ABCD中，AB=4，AD=2，对角线AC、BD交于点O，点E是线段AO的中点，点FA.12DE-74COB.2【答案】A【解析】解：以AB，AD为基底，

CO=-12AC=-12AB-12AD，

DE=AE-AD=14AC-AD=14AD将函数fx=4sin(π2-π2x)和直线g(x)=x-1的所有交点从左到右依次记为A1，A2A.0 B.2 C.6 D.10【答案】D【解析】解：f(x)=4sinπ2-π2x=4cosπ2x与g(x)=x-1的所有交点从左往右依次记为A1、A2、A3、A4和A5，

且A1和A5，A2和A4O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP→ =OA→ +μ(ABAB+ACACA.外心 B.内心 C.重心 D.垂心【答案】B【解析】解：∵AB|AB|、AC|∴AB|AB又∵OP∴OP∴向量AP的方向与∠BAC的角平分线一致，∴P点的轨迹一定经过△ABC的内心．故选B．定理：点P是ΔABC内任一点，则其中SΔBPC,

SΔAPC,SΔAPB分别是ΔBPC，ΔAPC，ΔAPB的面积).该定理的几何图形类似于奔驰车标，也被戏称为平面向量的“奔驰定理”.已知ΔABC内一点O，满足SΔBOC=1，A.9 B.5 C.2 D.7【答案】A【解析】解：因为O是内一点，满足，，

所以若，则，

因此由“奔驰定理”知：OA+xOB+6-xOC=0，

即OA=-xOB+x-6OC．

又因为2OA+3OB+mOC=0，

所以2-xOB+x-6OC+3OB+mOC已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=1，AC=2，D是△ABC内一点，且∠DAB=60°，设AD=λAB+μACA.233 B.33 C.【答案】A【解析】解：由题意可建立坐标系并作出如下图形：

∵∠BAC=90°，AB=1，AC=2，

∴A(0,0)，B(1,0)，C(0,2)，

设D点坐标为(a,b)，∵∠DAB=60°，∴b=3a，

∴Da,3a，AD=a,3a，

∵AD=λAB+μAC(λ,μ∈R)在等腰梯形中，AB//CD，AB=2，AD=1，∠DAB=π3，点F是线段AB上的一点，M为直线BC上的动点，若BC=3CE，AF=λAB，且AEA.14 B.-6364 C.【答案】B【解析】解：因为AB//CD，AB=2，AD=1，，BC=3CE,AF=λAB，

则AD=BC=1，由AE⋅DF=-1，

得到(BE-BA)·(AF-AD)=(43BC+AB)·(λAB-AD)

，

解得λ=14，

设AB的中点为O，CD的中点为H，

以AB的中点O为坐标原点，AB为x轴，OH为y轴建立直角坐标系，

则B(1,0)，C(12,32)，D(-1在平面直角坐标系xOy中，A和B是圆C:x-12+y2=1上的两点，且AB=2，点A.5-2,5+2【答案】A【解析】解：AB=2，取AB中点为M，CM=22，且CM⊥AB，

延长MA至Q，使得MQ=3MA=322，

所以2PA-PB=PA+PA-PB=PM+MA+BA=PM+3MA=设|AB|=10，若平面上点P满足对任意的λ∈R.，恒有|2AP-λAB|⩾8A.|PA|≥5 B.|PA+【答案】C【解析】解：由2AP-λAB≥8，得到AP-λ2AB≥4可知点P到直线AB的距离为4，

∴PA≥4，所以选项A不正确，

设线段AB的中点为M，则|PM|min=4，

∴PA+PB=二、单空题（本大题共6小题，共30分）如图，在△ABC中，已知AB=10，AC=5，，点M是边AB的中点，点N在直线AC上，且AC=3AN，直线CM与BN相交于点P，则线段AP的长为

【答案】21【解析】解：因为B，P，N三点共线，

所以存在实数x满足AP=xAB+(1-x)AN=xAB+1-x3AC，

因为C，P，M三点共线，

所以存在实数y满足AP=yAM+(1-y)AC=y2AB+(1-y)AC，

又AB，AC不共线，则在梯形ABCD中，已知AB // CD，AB=2CD，DM=MC，CN=2NB，若AM【答案】3【解析】如图示：∵梯形ABCD中，AB // CD，AB=2CD，DM=MC，CN=2NB．∴AM=AC+CM=AC+1如图，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=1，∠A=120°，E,F分别是边AB,AC上的点，且AE⇀=λAB⇀,AF【答案】7【解析】解：连接AM、AN，

∵等腰三角形ABC中，AB=AC=1,A=120°,∴AB·AC=|AB|·|AC|cos120°=-12

∵AM是△AEF的中线，

∴AM=12(AE+AF)=12(λAB+μAC)，

同理，可得AN=12(AB+如图，在△ ABC中，BD=13BC，点E在线段AD上移动(不含端点)，若AE=λ【答案】(【解析】解：因为点E在线段AD上移动(不含端点)，

所以设AE=kAD0<k<1．

又因为BD=13BC，

所以BD=13BC=13AC-AB，

因此AE=kAD=k⋅AB+BD=k⋅AB+13AC-13AB=k⋅(23AB+13已知正方形ABCD的边长为1.当λii=1,2,3,4,5,6每个取遍±1时，λ1【答案】2【解析】解：如图，

正方形ABCD的边长为1，可得AB+AD=AC，BD=AD-AB，AB⋅AD=0，|λ1AB+λ2BC+λ3CD+λ4DA+λ5AC+λ6BD|=|λ1AB+λ2BC+λ3CD+λ4DA+λ5

(AB+AD)+λ6

(AD-AB)|=|(λ1-λ3+λ如图，在△ABC中，AB=4，AC=2，已知点E，F分别是边AB，AC的中点，点D在边BC上．若DE⋅DF=134，则线段【答案】3【解析】解：以A为坐标原点，AB为x轴，过A点的AB的垂线为y轴建立坐标系，如下图：

由题意得A(0,0)，B(4,0)，C(1,3)，E(2,0)，F(12,32)，

设D(x,y)(1≤x≤4,0≤y≤3)，

则DE=(2-x,-y)，DF=(12-x,32-y)，BC=(-3,3)，BD=(x-4,y)，

则DE⋅DF=2-x12-x-y32-y=134，①，

又三、解答题（本大题共2小题，共30分）19．设两个非零向量与不共线，（1）若，，，求证：A，B，D三点共线；（2）