对数运算及对数函数（精讲） 新高考 数学一轮复习专项 提升精讲精练 （含答案解析）

3.4对数运算及对数函数（精讲）（提升版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一对数运算【例1】（2022·全国·高三专题练习）化简求值（1）；（2）；.（3）；．（4）.【答案】（1）1；（2）1；（3）4；（4）2.【解析】（1）；（2）；（3）；（4）【一隅三反】（2022·全国·高三专题练习）化简求值：（1）．（2）；（3）.（4）（5）．【答案】（1）5；（2）3；（3）0；（4）3；（5）.【解析】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．考点二对数函数的单调性【例2-1】（2022·全国·高三专题练习）若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，函数定义域满足：，解得，在上单调递减，根据复合函数单调性知，在单调递减，函数对称轴为，故，解得.故选：C.【例2-2】（2022·天津·南开中学二模）已知函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】当函数是R上的单调递减函数，所以，解得，因为且，所以当时，不可能是增函数，所以函数在R上不可能是增函数，综上：实数a的取值范围为，故选：B【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间为____________．【答案】【解析】由得，所以函数的定义域为.令，则，，开口向上，对称轴为，所以在上递增，在定义域内单调递增，所以)在上单调递增，所以函数的单调递增区间是.故答案为：.2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝lg(x2－2x－3)在(－∞，a)单调递减，则a的取值范围是（

）A．(－∞，－1] B．(－∞，2] C．[5，＋∞) D．[3，＋∞)【答案】A【解析】是增函数，在上递减，在递增，因此在上递减，则有，解得．故选：A．3．（2021·天津市武清区大良中学高三阶段练习）若函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是_______【答案】【解析】由，在R上单调递增，∴在上递增，在上也递增，由增函数图象特征知：不能在点上方，综上，，解得，∴实数a的取值范围是.故答案为：.4．（2022·河北）已知函数在区间上是增函数，求实数的取值范围_____．【答案】【解析】令，因为外层函数为减函数，则内层函数在区间上是减函数，所以，，解得.故答案为：.考点三对数函数的值域（最值）【例3-1】（2022·全国·高三专题练习）函数的最小值为（

）A． B． C． D．0【答案】A【解析】由题意知的定义域为.所以，，，时等号成立．故选：A.【例3-2】（2022·四川·宜宾市教科所三模）若函数的值域为，则的取值范围是(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】当时，f(x)=，当时，f(x)=，故要使的值域是，则0≤≤1，解得．故选：C．【例3-3】（2022·重庆·模拟预测）若函数有最小值，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】依题意且，所以，解得或，综上可得，令的根为、且，，，若，则在定义域上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，根据复合函数的单调性可知，在上单调递增，在上单调递减，函数不存在最小值，故舍去；若，则在定义域上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，根据复合函数的单调性可知，在上单调递减，在上单调递增，所以函数在取得最小值，所以；故选：A【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）已知，，则的值域为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，，所以的定义域为，解得，所以该函数的定义域为；所以，所以，所以，当时，，当时，，所以；所以函数的值域是．故选：B．2．（2022·全国·高三专题练习）若函数且的值域为，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】当时，，，当时，，∵函数的值域为，∴，又，∴，即，∴的取值范围为.故选：D．3．（2022·全国·高三专题练习）若函数的值域为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题可知，函数的值域包含，当时，符合题意；当时，则，解得；当时，显然不符合题意，故实数的取值范围是．故选：A.4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，又函数的值域为R，则，解得．故选：C．考点四对数式比较大小【例4-1】（2022·江苏常州·模拟预测）已知，则正确的大小顺序是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，因为，所以，所以.故选：B.【例4-2】（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测（理））设，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】令，则，因为函数在上递增，所以函数在上递增，所以，所以函数在上递增，所以，即，即，令，令，令，则，所以函数在上递增，所以，所以，故，即，所以，综上所述，.故选：D.【一隅三反】1．（2022·浙江·模拟预测）己知实数，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由可得，因为在上单调递增，且，，所以，即，其次，，所以，又因为且单调递增，所以由可知，综上，．故选：A2．（2022·全国·模拟预测）定义在R上的函数满足，当时，，设，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由知：关于直线x=1对称.当时，，由复合函数的单调性知：在上单调递增.又，而，，，所以.故选：D.3．（2022·浙江金华·三模）若函数，设，，，则下列选项正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题可知，故，∴函数为偶函数；易知，当时，在为单调递增函数；又，∴，同理，；又，，故，故.故选：A.4．（2022·广东佛山·三模）（多选）已知，则下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】选项A：由，可得，则，，则，则.判断错误；选项B：由，可得为上减函数，又，则.判断正确；选项C：由，可知为R上减函数，又，则由，可知为上增函数，又，则，则又为上增函数，则，则.判断正确；选项D：令，则，，则，即.判断错误.故选：BC考点五解对数式不等式【例5-1】（2022·河南濮阳）已知函数是R上的偶函数，且在上恒有，则不等式的解集为（

）A． B．1,e2 C． D．【答案】C【解析】因为函数是R上的偶函数，所以关于直线对称，在上恒有，当时，，所以在单调递减，在单调递增，不等式需满足，解得.故选：C．【例5-2】（2022·湖北·二模）已知函数，则使不等式成立的x的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由得定义域为，，故为偶函数，而，在上单调递增，故在上单调递增，则可化为，得解得故选：D【一隅三反】1．（2021·河南·高三阶段练习（理））设函数，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】依题意，当时，由得：，解得，则，当时，由得：，即0<x-1≤2，解得，则，所以不等式的解集为.故选：A2．（2021·江西·奉新县第一中学高三阶段练习（理））已知函数，若，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题可知且，，令，则且定义域为关于原点对称，即为奇函数，函数与在上均单调递增，与在上单调递增，在上单调递增，即在上也单调递增且，又为奇函数，在上单调递增，不等式等价于，，在R上单调递增，，解得，实数a的取值范围是，故选：A.3．（2021·安徽·高三阶段练习（理））已知函数，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】当时，，，且在上递增，当时，，，且在上递增，所以在上有，且函数是上的增函数，于是原不等式可化为，，，得解得，故选：B考点六对数函数的定点【例6】（2021·四川·德阳五中）若函数的图象经过定点，且点在角的终边上，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】对于函数，令，解得，所以，所以函数恒过定点，又点在角的终边上，所以，所以；故选：A【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数（且）的图象过定点，且角的终边经过，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，所以，所以，.故选：D2．（2022·全国·高三专题练习）已知正数，，函数（且）的图象过定点，且点在直线上，则的最小值为（