2022-2023学年苏教版必修第一册 3.2.2基本不等式的应用 课件（共76张）

3.2.2基本不等式的应用第3章

§3.2基本不等式学习目标1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.导语相等与不等关系经常会涉及到最大值、最小值问题，而基本不等式可以解决变化中的最值问题，那么在什么条件下可以应用基本不等式来求最值呢？这节课我们就一起来探究一下这个问题.一、利用基本不等式的变形求最值二、基本不等式的实际应用课时对点练随堂演练内容索引利用基本不等式的变形求最值

一问题1

若两个正数的和为8，那么这两个正数分别是多少时，其积最大？提示

x＋y＝8，由

得xy≤16，当且仅当x＝y＝4时等号成立，即这两个正数都为4时，其积最大.问题2

若两个正数的积为16，那么这两个正数分别是多少时，其和最小？提示

xy＝16，由x＋y≥得x＋y≥8，当且仅当x＝y＝4时等号成立，即这两个正数都等于4时，其和最小.知识梳理用基本不等式求最值两个正数的和为常数时，它们的积有最

值已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当

时，积xy有最大值

S2两个正数的积为常数时，它们的和有最

值已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当

时，和x＋y有最小值大小x＝yx＝y(1)口诀：和定积最大，积定和最小.(2)应用基本不等式求最值时，应把握不等式成立的条件：一正、二定、三相等.注意点：

(1)若a>0，b>0，a＋2b＝5，则ab的最大值为例1角度1积(和)为定值求最值a>0，b>0，a＋2b＝5，√(2)若0<x<，则y＝2x·(1－3x)的最大值是_____.(3)设实数x满足x>－1，则函数y＝x＋

的最小值为A.3 B.4C.5 D.6√∵x>－1，∴x＋1>0，

已知x>0，y>0，且满足

.求x＋2y的最小值.例2角度2常数代换法所以x＋2y的最小值为18.延伸探究因为x>0，y>0，2.若把本例的条件“”改为“x＋8y＝xy”，其他条件不变，求x＋2y的最小值.因为x>0，y>0，由x＋8y＝xy，两边同时除以xy，所以x＋2y的最小值为18.常数代换(“1”的代换)法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数).(2)把确定的定值(常数)变形为1.(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式.(4)利用基本不等式求解最值.反思感悟

(1)若x<0，求

＋3x的最大值.跟踪训练1因为x<0，当且仅当－

＝－3x，即x＝－2时，等号成立，所以

＋3x的最大值为－12.(2)已知x，y均为正数，且

，求x＋y的最小值.基本不等式的实际应用

二

2020年6月23日，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭成功发射北斗系统第五十五颗导航卫星，至此北斗全球卫星导航系统星座部署全面完成.长征三号乙运载火箭的设计生产采用了很多新技术新材料，甲工厂承担了某种材料的生产，并以x千克/时的速度匀速生产(为保证质量要求1≤x≤10)，每小时可消耗A材料(kx2＋9)千克，已知每小时生产1千克该产品时，消耗A材料10千克.(1)设生产m千克该产品，消耗A材料y千克，试把y表示为x的函数；例3由题意，得k＋9＝10，即k＝1，(2)要使生产1000千克该产品消耗的A材料最少，工厂应选取何种生产速度？并求消耗的A材料最少为多少？由(1)知，生产1000千克该产品消耗的A材料为故工厂应选取3千克/时的生产速度，此时消耗的A材料最少，最少为6000千克.利用基本不等式解决实际问题的步骤(1)先理解题意，设变量.设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数.(2)建立相应的函数关系式.把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题.(3)在定义域内求出函数的最大值或最小值.(4)正确写出答案.反思感悟

某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室，温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？跟踪训练2设矩形温室的一边长为xm，与其对应的种植蔬菜的区域的一边长为(x－4)m，因此当矩形温室的两边长分别为40m,20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是648m2.课堂小结1.知识清单：(1)积(和)为定值求最值.(2)“1”的代换求最值.(3)基本不等式的实际应用.2.方法归纳：配凑法、常数代换法.3.常见误区：忽略应用基本不等式求最值的条件(一正、二定、三相等).随堂演练

1.设x，y满足x＋y＝40，且x，y都是正数，则xy的最大值是A.400

B.100

C.40

D.20√1234当且仅当x＝y＝20时，等号成立.∴xy的最大值是400.12342.已知0<x<1，则x(3－3x)取最大值时x的值为∵0<x<1，∴1－x>0，√12343.若a>0，b>0，且a＋b＝1，则

的最小值为A.2

B.3

C.4

D.5√1234因为a＋b＝1，所以123412344.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转____年时，年平均利润最大，最大值是____万元.581234每台机器运转x年的年平均利润为当且仅当x＝5时，等号成立，所以，当每台机器运转5年时，年平均利润最大，最大值为8万元.课时对点练

12345678910111213141516基础巩固1.已知a>0，b>0且2a＋b＝2，则ab的最大值为√123456789101112131415162.设x，y为正数，则

的最小值为A.6

B.9

C.12

D.7√当且仅当y＝2x时等号成立，故最小值为9.123456789101112131415163.已知实数a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＝2，则

的最小值为A.9

B.

C.5

D.4√12345678910111213141516∵实数a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＝2，12345678910111213141516√12345678910111213141516123456789101112131415165.(多选)已知x>0，y>0，x＋y＝p，xy＝s，则下列命题正确的是A.如果s是定值，那么当且仅当x＝y时p的值最大B.如果s是定值，那么当且仅当x＝y时p的值最小C.如果p是定值，那么当且仅当x＝y时s的值最大D.如果p是定值，那么当且仅当x＝y时s的值最小√√123456789101112131415166.(多选)已知某出租车司机为升级服务水平，购入了一辆豪华轿车投入运营，据之前的市场分析得出每辆车的营运总利润y(万元)与运营年数x的关系为y＝－x2＋12x－25，则下列判断正确的是A.车辆运营年数越多，收入越高B.车辆在第6年时，总收入最高C.车辆在前5年的平均收入最高D.车辆每年都能盈利√√12345678910111213141516由题意，y＝－x2＋12x－25，是开口向下的二次函数，故A错误；对称轴x＝6，故B正确；当x＝1时，y＝－14，故D错误.123456789101112131415167.已知a>0，b>0，

＝4，则a＋4b的最小值为_____.1234567891011121314151612345678910111213141516123456789101112131415168.要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是______元.160设底面矩形的一边长为xm，记容器的总造价为y元，则因此当x＝2时，y取得最小值160，即容器的最低总造价为160元.12345678910111213141516123456789101112131415169.已知正数x，y满足x＋y＝1.(1)求xy的最大值；∵x>0，y>0，1234567891011121314151612345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151610.某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为k，轮船的最大速度为15海里/小时.当船速为10海里/小时时，它的燃料费是每小时96元，其余航行运作费用(不论速度如何)总计是每小时150元，假定运行过程中轮船以速度v匀速航行.(1)求k的值；由题意，设燃料费为W1＝kv2，∵当船速为10海里/小时时，它的燃料费是每小时96元，∴当v＝10时，W1＝96，可得96＝k×102，解得k＝0.96.12345678910111213141516(2)求该轮船航行100海里的总费用W(燃料费＋航行运作费用)的最小值.12345678910111213141516∵其余航行运作费用(不论速度如何)总计是每小时150元，因此，航行100海里的总费用为12345678910111213141516航行100海里的总费用最小，且这个最小值为2400元.12345678910111213141516综合运用11.设自变量x对应的因变量为y，在满足对任意的x，不等式y≤M都成立的所有常数M中，将M的最小值叫作y的上确界.若a，b为正实数，且a＋b＝1，则

的上确界为√12345678910111213141516因为a，b为正实数，且a＋b＝1，123456789101112131415161234567891011121314151612.(多选)一个矩形的周长为l，面积为S，则下列四组数对中，可作为数对(S，l)的有A.(1,4) B.(6,8)C.(7,12) D.√设矩形的长和宽分别为x，y，√12345678910111213141516√123456789101112131415161234567891011121314151614.设a，b∈R，a2＋b2＝k(k为常数)，且

的最小值为1，则k的值为A.1

B.4

C.7

D.9√12345678910111213141516由题意得a2＋1＋b2＋1＝k＋2，12345678910111213141516拓广探究15.已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，若不等式a≤x＋y恒成立，则实数a的取值范围是A.(－∞，12] B.(－∞，14]C.(－∞，16] D.(－∞，18]√12345678910111213141516∵x>0，y>0，123456789101112131