1两人零和对策举例

对策问题模型

竞争是当代社会的一个特征。在竞争中讲究科学的对策是非常重要的。经济活动中的经营活动、军事对抗中的谋略、政治和外交活动中的联合、对立等诸多方面都和选择恰当的对策有关。20世纪四五十年代创立的对策论（又称博弈论）研究了一系列对策问题。在本章中我们简单地介绍两种常见的模型——两人零和对策和随机对策。1/1/20231§1两人零和对策举例1/1/20232例1某地区有两家电视台，在一天的同一个黄金时间，每家各有两套节目可供选择播出。经调查，两家电视台各种节目搭配时甲台节目收视率如下表：

表1甲台节目收视率（%）表中是甲台节目的收视率，乙台节目的收视率可以由以下的公式得到：乙台收视率=100%—甲台收视率1/1/20233这里假设了该地区的居民只看这两家电视台的甲台。设想两家电视台事先都知道这张表，即他们都知道彼此选播节目后各自的收视率。为分析方便起见，我们暂时假设他们都可以随时调整播放的节目。我们要分析这两家电视台会播放什么节目，即他们会采取什么对策来应付他们之间的竞争呢？由表中可见，如果甲台期望得到70%的收视率而选播节目A，则乙台会播放节目2，使甲台只能得到40%的收视率。如果甲台选播节目B，则不管乙台播放什么节目，甲台最少可得到45%的收视率。1/1/20234两者相比，甲台必然播放节目B，乙台播放节目2。由此推知，甲台的收视率将为45%，乙台的收视率将为55%。现在转到从乙台的立场来考虑问题。先把上面的表转换成乙台节目收视率的表：

表2乙台节目收视率（%）1/1/20235如果乙台选播节目1，最多得到45%的收视率。但此时甲台会播放节目A，使乙台只得到30%的收视率。如果乙台播放节目2，当然最多可得到60%的收视率，但是此时对甲台最好的选择是播放节目B，使乙台只得到55%的收视率。两者相比，必然是乙台播放节目2，甲台播放节目B。甲台的收视率将为45%，乙台的收视率将为55%。所得的结果与前面分析的结果相同。如果两个电视台一旦选择了播放的节目就不允许改动，则通过上面的分析可知，对双方来说，稳妥的选择也将是这个对策组合。如果一方有所变动，它的收视率就有可能低于组合中自己的收视率。1/1/20236例2如果两家电视台可能播放的节目分别为四个、三个、甲台节目收视率（%）如下表所示：表3甲台节目收视率（%）此时情况变得比较复杂，他们会采取什么样的对称呢？分析的思想方法仍和例1相同，可以用下表表示。1/1/20237

表4基于甲台节目收视率的双方对策分析表（%）表中最后一列的数字是同一行数字中的最小值。例如表中第三行对应甲台播放节目A，最后一个数字是35，它是70、45、35是三个数字中的最小值，称之为甲台节目A收视率的保守估计。这个数字表示当甲播放节目A时所能得到的最起码的收视率。而在这一列上面的第一个1/1/20238数字a（=50），是甲台各节目收视率保守估计（35，40，50，45）中的最大值。a表示在所有可能的选择中，甲台所能得到保证的收视率中的最大值。a=50所对应的节目C，也是甲台最稳妥的选择。表中的最后一行是同一列数字中的最大的值。例如该行的第三个数字是50，它是45、40、50、45四个数字中的最大值。这个数字对应乙台播放节目2时的情况，说明当乙台播放节目2时，只要甲台应对得当（此时甲应该播放节目C），甲台所能够得到的最高收视率。这个数字称为乙台播放节目2时甲台收视率的乐观估计。1/1/20239该行的第一个数字b=50是所有这一行中数字中的最小值。表示的是对乙台所有可能的选择，只要应对得当，甲台所能获得的最起码的收视率。在右下角的数字c与a、b相等，这里是50。对应这个数字的是甲台播放节目C，乙台播放节目2，各获得50%的收视率。这就是两家电视台会采取的科学对策。我们称这种决策为均衡对策组合。设a为甲台播放i（A、B、C、D）和乙台播放j时甲台的收益，那么此解满足：a=a。1/1/202310下面具体分析双方采取其他对策组合会发生什么情况。结论将是：任何一方改变选择都将降低自己的收视率，从而双方都不会采用除此以外的其他对策。这也是称此决策为“均衡对策”的原因。假设甲台不播放节目C而播放节目A，期望得到更高的收视率（70%）；但是此时乙台播放节目3，使甲台只能得到35%的收视率，比均衡对策组合中甲得到的收视率（50%）低。而如果乙台不是播放节目2，而是播放节目3，期望得到更高的收视率（65%）。

1/1/202311则此时甲台仍会播放节目C，使得乙台只得到45%的收视率，也将低于均衡对策组合50%的收视率。其他对策组合也将有同样的结果，因而，甲台播放节目C、乙台播放节目2是双方都能接受的结果。在对策论中，这样的模型称为“两人零和对策”。这是因为：如果把竞争双方输的一方记为-1，赢的一方记为1，则在任何对策组合下他们的和都为零。其实如果每种对策组合的结果是一个和具体对策组合无关的常数，也都可以作为零和对策。例如上述两个电视台的收视率总和是1，也属于零和对策。

1/1/202312两人零和对策是对策论中所研究的许多问题中的一个。按这种方法计算得到的a和b，在有些情况下是不相等的，这时我们就称该对策问题为不稳定对策问题；相应地，a和b相等时的对策问题称为稳定的对策问题。例2是一个稳定对策问题。在稳定对策问题的情况下，一般情况也像例2中分析的那样，会有一个双方都接受的对策组合，任何一方改变对策，只会使自己的利益受损。用这种方法可以验证例1也是一个稳定的对策问题。下面我们举一个不稳定对策问题的例子。例3两家电视台各种节目搭配时的甲台节目收视率如下表：1/1/202313表5甲台节目收视率（%）用上述方法对此例进行计算，得到表格如下：

表6基于甲台节目收视率的双方对策分析表（%）1/1/202314由表中可知，a≠b。我们来具体看看一方播放某个节目后会有什么情况发生。如果甲台播放节目A，以期得到70%的收视率，此时乙台一定不会播放相应对策组合（节目A，节目1）中的节目1，而是播放节目2，因为对策组合（节目A，节目2）对乙台来说，可以获得60%的收视率。但若乙台播放节目2，甲台一定不会播放