结构力学-影响线

学习内容

影响线的概念，用静力法和机动法作静定梁的影响线，影响量的计算和最不利荷载位置的确定，连续梁影响线形状的确定和最不利活荷载位置的确定。学习目的和要求

目的：影响线是研究移动荷载在结构上移动时结构某固定位置的反应（包括力的反应和位移反应）的工具，是桥梁结构设计的必备知识。

要求：掌握影响线的概念和绘制影响线的基本方法。熟练掌握用静力法和机动法绘制静定梁的影响线。掌握影响量的计算和最不利荷载位置的确定。掌握连续梁影响线形状的确定和最不利活荷载位置的确定。第八章影响线第一节影响线的概念工程中有些结构在承受位置不变的固定荷载的同时还承受大小、方向不变但位置在改变的活荷载作用；结构在活荷载作用下位移和内力等物理量将随荷载位置的变化和荷载分布区域的不同而变化；这些量的变化范围和最大值是结构设计的依据。第一节影响线的概念1、移动荷载作用下内力计算特点：结构反力和内力随荷载作用位置的移动而变化，为此需要研究反力和内力的变化规律及最大值，和产生最大值的荷载位置（即荷载的最不利位置）。

2、研究方法：利用分解和叠加的方法，将多个移动荷载视为单位移动荷载的组合。先研究单位移动荷载作用下的反力和内力变化规律，再根据叠加原理解决多个移动荷载作用下的反力和内力计算问题，以及最不利荷载的位置问题。第一节影响线的概念3、影响线的定义：当单位移动荷载FP=1在结构上移动时，用来表示某一量值Z变化规律的图形，称为该量值Z的影响线。

绘制影响线通常有两者方法：

静力法机动法第二节静力法作静定梁的影响线用静力法作影响线是指用静力计算的方法列出指定量值的影响线方程，再据此绘出影响线。1、正负号规定：FP=1lxABCab支反力以向上为正；剪力以沿截面产生顺时针转动方向为正弯矩以梁的下侧纤维受拉为正；第二节静力法作静定梁的影响线FP=1xABFAyFByI.L.FAyI.L.FBy1

1

建立支反力影响方程2、静力法求简支梁的影响线

第二节静力法作静定梁的影响线I.L.MC

FAyFByFQCFQCMCMCbFP=1ABax方法：分别取两侧隔离体列平衡方程，确定影响函数，按函数做内力影响线。MC影响线建立内力影响方程第二节静力法作静定梁的影响线I.L.FQCFAyFByFQCFQCMCMCbFP=1ABax

反力影响线是基本的。弯矩、剪力影响线可由反力影响线导出。FQC影响线建立内力影响方程第二节静力法作静定梁的影响线正确的影响线应该具有“正确的外形、必要的控制点纵坐标值和正负号”等基本特征。应注意的问题

由上述定义可知，物理量是固定的，单位移动荷载位置是变动的，影响线图形的纵标是荷载作用于此处时物理量的值。

Z

的影响线与量值Z相差一个力的量纲。所以反力、剪力、轴力的影响线无量纲，而弯矩影响线的量纲是长度。绘制影响线时，正值画在基线之上，负值画在基线之下。第二节静力法作静定梁的影响线

①作伸臂梁的反力及跨间截面内力影响线时，可先作出无伸臂简支梁的对应量值的影响线，然后向伸臂上延伸即得。

②伸臂上截面内力影响线，只在截面以外的伸臂部分有非零值，而在截面以内部分上影响线竖标为零。3、静力法求伸臂梁的影响线

lABCabDEcc以A

点为坐标原点，向右为坐标轴正向，建立影响线方程，指出方程适用范围，绘制影响线图形。第二节静力法作静定梁的影响线ABCDE

I.L.FAyFAy影响线

I.L.FByFBy影响线第二节静力法作静定梁的影响线MC影响线FQC影响线I.L.MC

I.L.FQC

ABCDE第二节静力法作静定梁的影响线影响线座标的意义：横座标表示单位荷载的位置；纵座标表示单位荷载作用在本位置时物理量的反应。图形相似，含义不同简支梁弯矩影响线与弯矩图的区别FP=1FP=1

I.L.MC

MC弯矩图abCabC第二节静力法作静定梁的影响线[力][长]固定荷载作用下截面弯矩值截面位置变不变弯矩图[长]荷载移到此位置时指定截面的弯矩影响量值荷载位置不变变影响线量纲纵座标横座标截面位置荷载位置简支梁弯矩影响线与弯矩图的区别第二节静力法作单跨静定梁的影响线作多跨梁定梁的影响线，关键在于分清基本部分和附属部分。

①基本梁上某量值影响线，布满基本梁和与其相关的附属梁，在基本梁上与相应单跨静定梁的影响线相同，在附属梁上以结点为界按直线规律变化。在铰结点处影响线发生拐折，在滑动联结处左右两支平行。

②附属梁上某量值影响线，只在该附属梁上有非零值，且与相应单跨静定梁的影响线相同。4、静力法求多跨静定梁的影响线

第二节静力法作静定梁的影响线第二节静力法作静定梁的影响线例题：作图示多跨静定梁的MK，MC，QB左，MD影响线。2m2m2m2m4m2mCFABDEGK－1m++1m1m1m+－I.L.MKI.L.QB左1/21/21/2++－11/2－－第二节静力法作静定梁的影响线2m2m2m++－2m2m+－2m2m2m2m4m2mCFABDEGKI.L.MCI.L.MD第三节机动法作静定梁的影响线机动法绘制影响线用机动法作静定结构内力（反力）影响线，是基于虚功原理，建立待求影响量与待求量对应的减约束体系单位虚位移状态间的关系。把做影响线的静力学问题转化为做位移图的一种方法。用机动法可迅速的勾画出影响线的形状，对有些结构比静力法要方便得多。刚体虚功原理：刚体体系在一个力系作用下处于平衡的充要条件是体系任何微小的允许虚位移中，力系所作的虚功总和为零。第三节机动法作静定梁的影响线

(1)绘制简支梁反力影响线FP=1利用虚功原理求某力时，解除该力对应的约束，令解除约束后的体系沿力方向产生虚位移，利用平衡的力状态在位移协调的虚位移状态上所作虚功总和等于零来确定影响线形状。1、机动法求简支梁的影响线

第三节机动法作静定梁的影响线FP=1FBy与P的变化规律一致，故可用其位移图比拟影响线。当B＝1时，位移图与影响线形状完全一样。

1

FByFP=1<状态1><状态2>由刚体虚功方程I.L.FBy第三节机动法作静定梁的影响线机动法做静定梁内力（反力）影响线步骤：

所作虚位移图要满足支承连接条件！如有竖向支撑处，不应有竖向位移。定向连接处左右杆段位移后要互相平行等。①去除与所求量值相应的约束，并代以正向的约束力。②使所得体系沿约束力的正方向发生相应的单位位移，由此得到的FP

=1作用点的位移图即为该量值的影响线。③基线以上的竖标取正号，以下取负号。第三节机动法作静定梁的影响线(2)简支梁弯矩影响线：变铰，沿力偶方向微小转动MCMC

I.L.MCFP=1ABCab第三节机动法作静定梁的影响线(3)简支梁剪力影响线：变错动机构（剪力铰）FP=1ABCFQCFQC

I.L.FQCab第三节机动法作静定梁的影响线虚功法做影响线举例b/la/lI.L.QCP=1CQCP=1xablC＋－－P=1CP=1xablC1b＋－ab/lI.L.MC1第三节机动法作静定梁的影响线虚功法做影响线举例多跨静定梁含基本部分和附属部分，用机动法比较方便。1

1

1

I.L.FByI.L.MKI.L.FQJFP=1ABCDEFKJ多跨静定梁的影响线与某物理量虚位移图关系？1m3m1m3m1m2m2m1mP=1HAKBECFDG1/43/49/49/29/4作I.L.MK例题：用机动法作图示多跨静定梁的影响线。第三节机动法作静定梁的影响线特点：在撤去约束后，若在基本部分形成机构，则除在基本部分发生虚位移外，还影响到附属部分；若在附属部分形成机构，则虚位移图仅涉及到附属部分。规律：先从欲求影响量值截面所在跨画起，然后利用位移协调关系，将影响线延伸到其它部分。基本部分的内力（或反力）影响线是布满全梁的，而附属部分的内力（或反力）影响线只在附属部分不为零（基本部分全为零）。机动法绘制影响线的优点：不经具体的静力计算即可迅速确定影响线的形状、正负号和控制纵标，特别是影响线中各直线段落与撤去约束后的体系内各刚体的分界相对应，这为结构设计工作提供了方便，也可为静力法所做的影响线进行校核。第四节结点荷载下的影响线DCdKFP=1由桥梁结构的计算简图看出，无论荷载作用于纵梁何处，主梁承受的总是经过横梁传递的结点力，这种荷载传递方式称结点传荷。第四节结点荷载下的影响线DCdKFP=1FCyFDyFP=1xFCyFDy建立CD节间中主梁K截面的弯矩影响方程设yC，yD为直接荷载作用时影响线在C、D两点的纵座标值。由叠加原理，K点弯矩为：可见CD间主梁影响线为直线型第四节结点荷载下的影响线d85d43d1615横梁纵梁主梁ABCEFRARBl=4dd/2d/2DP=1P=1P=1P=1

结点荷载下影响线特点

1、在结点处，结点荷载与直接荷载的影响线竖标相同。

2、相邻结点之间影响线为一直线。

结点荷载下影响线作法

1、以虚线画出直接荷载作用下有关量值的影响线。

2、以实线连接相邻结点处的竖标，即得结点荷载作用下该量值的影响线。MD.I.L＋I.L.QCE1/21/4＋－I.L.MC第四节结点荷载下的影响线KFP=1ABCD绘制移动荷载作用下支座A的反力影响线以及截面K的弯矩和剪力影响线。由刚才的分析可见，结点传力情形的主梁影响线是每节间为直线。则绘制思路可考虑首先确定各结点的影响线数值，按比例画上竖标，然后每节间以竖标顶点连直线，所得图形即主梁影响线。第四节结点荷载下的影响线建立CD节间中主梁K截面的弯矩影响方程1

2.390.6820.318

KFP=1ABCDI.L.FAyI.L.MKI.L.FQK第四节结点荷载下的影响线I.L.MA2m1m3mI.L.RD111/2I.L.QD右ABCDEFG3m3m2m2m2m4m3m×6=18m1m1m11/21/31/2P=1x第四节结点荷载下的影响线桁架承受的荷载是经过横梁传递到结点上的结点荷载，因此影响线的绘制方法与上节相似。只需求出影响线在各结点处的竖标，相邻竖标间连以直线即可。l=6dACBDEFGhP=1上弦承载下弦承载第四节结点荷载下的影响线作图示桁架指定杆的内力影响线解：①求N1需取截面Ⅰ-Ⅰ，建立力矩方程∑Me=0先作出简支梁的Me影响线如图(a)，再将其竖标除以桁架高度a即得N1影响线如图(b)。下承上承P=1l=6aACBDEFacdefba12345P=1ⅠⅠI.L.Me4a/3+(a)I.L.N1+4/3(b)第四节结点荷载下的影响线l=6aACBDEFacdefba12345②求N2需取截面Ⅰ-Ⅰ，建立投影方程∑Y=0ⅠⅠ先作出简支梁的在被截节间上的某一截面剪力影响线如图(a)所示QE右影响线，而

Y2=QE右，且在相邻节点之间为一直线，得N2影响线如图(b)。P=1I.L.QE右－+1/62/31/3(a)下承上承I.L.N2－+(b)P=1当桁架上下弦节点上下对齐时，绘制弦杆及斜杆内力影响线不需分上承和下承。第四节结点荷载下的影响线③求N3需取截面Ⅱ-Ⅱ，建立投影方程∑Y=0ⅡⅡ先作出简支梁的在被截节间上的某一截面剪力影响线如图(a)所示QE右影响线，而

:N3=－QE右，且在相邻节点之间为一直线，得N3影响线如图(b)。P=1I.L.QE右－+1/62/31/3(a)上承I.L.N2－+(b)P=1下承l=6aACBDEFacdefba12345第四节结点荷载下的影响线④求N4需取截面Ⅲ-Ⅲ，建立投影方程∑Y=0ⅢⅢ先作出简支梁的在被截节间上的某一截面剪力影响线如图(a)所示QC右影响线，而

:Y4=－QC右，且在相邻节点之间为一直线，得N4影响线如图(b)。P=1I.L.QC右－+1/22/31/3(a)上承－+I.L.N2(b)P=1下承l=6aACBDEFacdefba12345第四节结点荷载下的影响线⑤求N5需取截面Ⅲ-Ⅲ，建立矩方程∑MC=0ⅢⅢ先作出简支梁MC影响线如图(a)所示，再将其竖标除以桁架高度a即得N5影响线如图(b)。P=1P=1I.L.N2(b)+上承下承4/3I.L.MC4a/3(a)+l=6aACBDEFacdefba12345第四节结点荷载下的影响线绘制竖杆内力影响线，当桁架上下弦节点上下不对齐时，绘制各杆内力影响线，需区分上承和下承。绘制竖杆内力影响线，当桁架上下弦节点上下对齐时，绘制弦杆及斜杆内力影响线不需分上承和下承。第四节结点荷载下的影响线结点荷载作用下梁的影响线要点

对于具有纵横梁的结构系统，不论纵梁受何种荷载，主梁只在结点处受集中力（结点荷载）作用。作用在纵梁上的荷载、传给主梁的结点荷载都是荷载作用位置x的线性函数,而在线性变形体中，主梁的反力、内力与这些结点荷载成正比关系，所以在结点荷载作用下，不论主梁是静定或超静定，其反力、内力影响线均是折线图形。结点荷载作用下影响线特点

①在结点处，结点荷载与直接荷载的影响线竖标相同。

②相邻结点之间影响线为一直线。结点荷载作用下影响线作法：①以虚线画出直接荷载作用下有关量值的影响线。

②将结点投影到上述影响线上，得到结点处的影响线竖标。

③以实线连接相邻结点处的竖标，即得结点荷载作用下该量值的影响线。第五节影响线应用

利用影响线求固定荷载作用下的某量值大小；（是为后续应用所做的准备）确定移动荷载的最不利位置，为设计提供安全限度依据。（这是工程上所关系的问题）第五节影响线应用

注意：这里yi和

按定义是代数量；叠加原理的使用是在线弹性、小变形假设条件下。1求固定荷载作用的量值由叠加原理FP2FP1qFP3ABCKK截面剪力影响线第五节影响线应用

1求固定荷载作用的量值由叠加原理ABCKK截面弯矩影响线MM/bM/bb力偶实际上是等值平行不共线的一对力。集中力偶引起的Z值等于力偶矩乘以力偶所在段的影响线的倾角正切。上升段影响线倾角取正。M顺时针为正。Z=m/b×y2－m/b×y1=m(y2－y1)/b=mtgβ例：利用影响线求k截面弯矩、剪力。kl/2l/2l/2l/2解：Qk影响线1/21/21/21/2Mk影响线l/4l/4l/4第五节影响线应用

结构上作用的定位荷载是一种时有时无，可以任意分布的荷载（如雪荷载、人群或货物荷载等）。对应不同的荷载分布有不同的内力分布，使指定量达到最大（或最小）的荷载分布称为该物理量的最不利分布。利用影响线可方便地确定最不利荷载分布2确定定位荷载最不利荷载分布第五节影响线应用

恒荷载满跨分布且不变，而活荷载不常在且不同时布满各跨。设计时为保证结构在各种荷载作用下都能安全使用，必须求得各截面在各种可能荷载作用下的最大弯矩值。应先知道活荷载的最不利布置梁受两部分荷载作用：恒荷载+活荷载在结构设计中，我们需要求出某量值的最大值作为设计的依据，而要解决这个问题须先确定使其发生最大值的最不利位置。1单个集中荷载

S=FPy

，当y

ymax

时荷载所处的位置即最不利荷载位置。FP

I.L.S显然当荷载处于影响线顶点时是MC最大的最不利位置。第五节影响线应用

3确定移动荷载的最不利荷载位置3一组行列荷载(间距不变的行进荷载)直观判断：要使S达最大，应把较大的荷载放在影响线顶点，而把另一荷载放在斜率较小的直线上。2均布荷载

S=q

I.L.MCqFP1FP2r当

max时荷载所处的位置即最不利荷载位置。FP1>FP2这个位置怎么找？第五节影响线应用

分析：实际工程问题并非如此简单，当荷载较多时，直观不宜判断荷载最不利位置，可采用以下思路解决：1先找出使S达到极值的荷载位置(临界荷载位置)，求出相应S值；2在所有产生极值位置的量值中比较出最大的一项(或负的最大)，这个位置就是最不利荷载位置。第五节影响线应用

第五节影响线应用

2m12mKP1=PP2=2P4m5/34/312/3I.L.MK(m)P1=PP2=2PMKx10P/38P/3MK=P1y1+P2y2=P1×5/3+P2×1=11P/311P/32P/3xMK的综合量值P1=PP2=2PP1=PP2=2PP1=PP2=2P

当行列荷载移动时,MK按折线规律变化。第五节影响线应用

2)MK的极值表现为尖点值。其特点是：有一集中力Pcr位于影响线顶点上满足这种条件的位于影响线顶点的集中力叫临界荷载，与此对应的行列荷载位置，称为临界位置。3）临界荷载不只一个，但也并非行列荷载中的每一个荷载都是临界荷载。b)将行列荷载自此向左或向右稍移一点,MK的值均减少。已知某物理量值影响线，考察用影响线求解某物理量值的表达式：I.L.SS若为极大值，则荷载组左右移动时S都将变小。第五节影响线应用

由极值条件知：荷载组无论向左或向右移动均有

S0所以当荷载组右移，即x>0时当荷载组左移，即x<0时设荷载组水平移动x，则物理量值变化为：第五节影响线应用

总之，荷载左右移动时，只有

FPitanik

变号，S才有极值；而若使它变号，必须各段的合力值发生变化。显然，只有当某一集中荷载恰在影响线的顶点时，才有这种可能。

把能使

FPitanik

变号的集中荷载称临界荷载，此时的荷载位置称临界位置。临界位置判别式x>0时x<0时第五节影响线应用

通过判别式可以找到几个临界位置，进而可求量值的几个极大值，取其最大者所对应的行列荷载位置即最不利荷载位置。根据经验，行列荷载中将数值较大且分布较密的部分置于影响线最大竖标附近，同时注意，位于同号影响线范围内的荷载应尽可能多才最容易产生S最大值。第五节影响线应用

土木工程中的影响线如吊车梁设计等，经常用到的是三角形的影响线，对此判别式可进一步简化。整体左移整体右移临界荷载是“举足轻重”的砝码设临界荷载处于三角形顶点第五节影响线应用

第五节影响线应用

P1=P2=P3=P4=P5=90kN8m4m6m1.00.75α1α3α2Z影响线P2P3P4P1P5↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q=37.8kN/m1.51.51.51.51.530mtgα1=1/8tgα2=－0.25/4tgα3=－0.75/6（q—活载）0.9060.81临界荷载的判断第五节影响线应用

∑Ritgαi=360×1/8+127.8×(－0.25/4)+226.8×(－0.75/6)=+8.7>0P1=P2=P3=P4=P5=90kN8m4m6m1.00.75α1α3α2Z影响线P2P3P4P1P5↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q=37.8kN/m1.51.51.51.51.530m荷载稍向右移:R1=270kN,R2=90×2＋37.8×1=217.8kN,R3=37.8×6=226.8kN∑Ritgαi=270×1/8+217.8×(－0.25/4)+226.8×(－0.75/6)=－8.2＜0荷载稍向左移:R1=360kN,R2=90＋37.8×1=127.8kN,R3=37.8×6=226.8kN（q—活载）0.9060.8161/87第五节影响线应用

P1=P2=P3=P4=P5=90kN8m4m6m1.00.75α1α3α2Z影响线P2P3P4P1P5↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q=37.8kN/m1.51.51.51.51.530m荷载稍向右移:∑Ritgαi=－8.2＜0荷载稍向左移:∑Ritgαi=+8.7>0所以P4是个临界荷载。（q—活载）0.9060.81此式表明:

临界荷载位于那一侧，那一侧的等效均布荷载集度就大。最不利荷载分析步骤：1、由临界荷载判别式确定哪些荷载是临界荷载；2、计算荷载位于各临界位置时的量值；3、比较得到的量值，取得最大值；4、最大值发生时的临界位置即是最不利荷载位置。由此可得：第五节影响线应用

第五节影响线应用

15m25mC70kN13050100501004m5m4m15m4m2520015130701570>+25200130+<MC=70×6.88+130×9.38+50×7.50

+100×6.00+50×0.38＝2694kN.m9.386.887.506.000.38MC影响线(m)例.求C截面的最大弯矩。∴130kN是临界荷载第五节影响线应用

15m25mCMC影响线(m)70kN13050100501004m5m4m15m4m∴50kN不是临界荷载第五节影响线应用

100kN5013070100504m5m4m15m4m2522013015150>15150+25220130+<15m25mCMC影响线(m)9.386.257.880.753.752.25MC=100×3.75+50×6.25+130×9.38

+70×7.88+100×2.25+50×0.75＝2720kN.mMCmax=max(2694,2720)=2720kN.m∴130kN是临界荷载例题：求图示简支梁C截面弯矩的最不利荷载位置FP4=3kN·m4m4m5mMC影响线6mC10mFP3=7kN·mFP2=2kN·mFP1=4.5kN·mAB3.75第五节影响线应用

FP1是临界力3.751.25FP4FP3FP2FP1第五节影响线应用

FP2不是临界力FP4FP3FP2FP13.75第五节影响线应用

FP4FP3FP2FP1FP3是临界力FP4不是临界力0.381.883.751.25FP4FP3FP2FP1第五节影响线应用

实际计算时，一般并不需验证所有荷载是否为临界荷载，可按经验给予判断.问题最小值的临界荷载准则是什么？若荷载是可以掉头行驶的车辆，此时应如何处理？第五节影响线应用

例题：求图示简支梁C截面剪力的最大值和最小值。荷载运行方向不变。C6m2mAB3/4FQC影响线1/4本题特点是量值S的影响线为直角三角形，竖标有突变。10kN1m20kN第五节影响线应用

FQC影响线3/41/410kN1m20kN第五节影响线应用

10kN1m20kN第五节影响线应用

FQC影响线3/41/4绝对最大弯矩:在给定移动荷载作用下，所有截面最大弯矩中的最大者。对于等截面简支梁来说，这是最危险的截面，是梁截面尺寸选取和配筋方式的依据。（1）绝对最大弯矩发生在哪个截面？（2）此时临界荷载应处于什么位置？我们关心并要解决两个问题：第五节影响线应用

4简支梁的绝对最大弯矩由前面最不利荷载位置确定方法可知最大弯矩一定出现在某影响线最高点所在截面，简支梁弯矩图的最大竖标必出现在某一集中力作用处，所以绝对最大弯矩必发生在某一集中力（临界荷载）之下。思路：假设行列荷载中某力FPK作用的截面处

x

将发生绝对最大弯矩MK(x)；既然是最大弯矩MK(x)其一阶导数必为零，由此确定截面位置x

；将确定的位置x代回到MK(x)的表达式，得到FPK作用截面的极值弯矩。第五节影响线应用

表示FPK以左梁上荷载对

FPK点的力矩和，它是常数。FRlABFAyxal-x-aFP1FPKFPnMK(x)FP1FPKFAyFR

表示梁上荷载的合力第五节影响线应用

MKmax(K=1,2…n)中的最大者即是绝对最大弯矩。具体做法：1、求出使跨中截面弯矩发生最大值的临界荷载FPK；2、计算梁上合力

FR

及与临界荷载间距离a；3、移动荷载组，使

FR

与

FPK位于梁中点两侧a/2处。计算FPK下的弯矩即为绝对最大弯矩。若没有荷载移出或移入梁，由上式计算绝对最大弯矩；若有荷载移出或移入梁，从第2步重新计算。FRFP1xal-x-aABFPKFPn第五节影响线应用

例题：求图示简支梁的绝对最大弯矩。荷载运行方向不变。已知：FP1=FP2=FP3=FP4=324.5kN324.5kN324.5kN324.5kN324.5kN4.80m4.80m1.45m3mAB3mCFP2

和FP3是简支梁中点产生弯矩最大值的临界荷载(计算过程略)第五节影响线应用

A324.5kN324.5kN324.5kN324.5kN4.80m4.80m1.45mFP2为临界荷载时FP3为临界荷载时FR3mAB3mCa第五节影响线应用

AB324.5kN324.5kN324.5kN324.5kN4.80m4.