谈特殊化方法教育功能

谈特殊化方法教育功能摘要：通过特殊化方法解决问题，从而在特殊方法中寻找到特殊方法在教法教学中起到的教育功能。关键词：特殊方法教育功能特殊方法简单地说，是从特殊到一般的思维的方法，通过一定数量的个体，特殊例的观察与分析，归结到一般情形的结论或解决问题的方法。这就是中学教学中被大家所普遍重视的思想方法是认识事物的重要手段，对学生起着重要的功能。一、探索发现的功能对于某些问题的解决，直接进行难以处理，可以先把问题退化到极端的情形，通过对问题的极端情形或临界状态的解决.它们之间往往存在着联系，通过特殊化方法对学生培养思维发展却起到十分重要的作用。例如:图O是正方形ABCD的中心，ABCD与OEFG都是边长为1的正方形，证明：这两个正方形相交部分面积是一个常数。 G D C S O K F A I H B E证明所谓特殊化归就是说一时难以入手的问题，我们把特殊形式转化通过对于特殊问题的考察发现一般问题。解：在△OIH∽△OKS中∠IOH=∠KOCOI=OK∠OIH=∠OKC∴相交重叠的面积部分从上述可见特殊方法是数学发展的动力，纵观数学的发展史，许多问题的发现都来源于特殊的思考，著名的哥德巴赫猜想，就是在对特殊事例来观察、分析的基础上猜想发现的；费尔马大定理，也就是从特殊入手提出，然后设法证明的；还有四色定理……。可以说没有特思考的归纳猜想，就没有数学的发现，也就没有科学发展的今天。特殊方法思考具有极其重要的发现功能，是推动数学发展的思维工具，所谓中学数学与教学中，不失时机的进行特殊思考训练，有利于培养学生探索意识，提高探索能力为它们日后数学发奠定基础。二、解题的基本功能提示解题的方向有的题目其结论是明确，经过“退”（取特殊数值特殊位置，特殊结构）可以找到结论是什么（定值的具体数字或表达式）下来的证明就有了目标，抓住解决问题前进的方向，是解决重大的进展。例：在等腰△ABC中，以底边AB中，以底边AB的中点O为圆心作半圆与两腰相切于P、Q，在弧PQ上任意取一点D。过D点作⊙O的切线交两腰于M求证AM与BN的乘积为一个定值（如图）分析:可能这是一道没有做过的题目,我们不知道定值是什么,更不知道怎么证.那么,让我们先迈开一小步. 解（1）取D为PQ的中点，试探定值是什么。如图1，这时MN∥AB有，∠AMO=∠OMN=∠AOM得AM=AO同理BN=BO故有AM*BN=AO*BO再迈进一小步，当D不PQ的中点时，1）式还成立吗？只需要证如图1、只需要证ΔOMA∽ΔNOB再迈进一步两三角形能相似吗？因为∠A=∠B，所以只需再证∠AOM=∠BNO或∠AMO=∠BON只需要证∠A+∠AMO+∠BNO=л或∠B+∠BON+∠AOM=л三个角之和等于л可以证明吗？可以，因为四边形的内角和等于2л有2л=∠A+∠AMN+∠MNB+∠B=2∠A+2∠AMO+2∠BNO两边除以2即得（3）式证明：如图1连结OM、ON，由相切知∠AMO=∠AMN、∠BNO=∠MNB得∠A+∠AMO+∠BMO=（∠A+∠B+∠AMN+∠MNB）=π但∠A+∠AMO+∠AOM=π得∠AOM=∠BNO又∠A=∠B得ΔOMA∽ΔNOB从而即AM*BN=AO*BO=为定值三、寻找解题的途径问题经过“退”之后，简单了，特殊了，完成起来就容易了，然后，简单情况的处理可能呈现着复杂问题的解决方案，特殊情况的完成可能提供了一般情况的类比基础，一个关于自然数的命题，对n=1、2、3、的解决，对任意的n有时也可以同样解决。例：有一个繁华的商场，一天之中接待顾客数以千计，川流不息，如果商场有一个重要的广告，想使所有的顾客都能听到，又已知当天任意的3个顾客中，至少有两个在商场相遇，问商场至少广播几次，就能使这一天到过商场的顾客都能听到。分析：顾客人数为n=1、2、时不能提供一般情况的启示，因为最本质的条件，“任意3个顾客中，至少有两个在商场相遇”，没有用，考虑n=3当第一个顾客到来时，为了使广播次数少一些，可以先不忙开广播，一直等到要离开商场时，则必须，可见第一次广播开在一个顾客将离而未离商场之始。第一次开播时，第二、三位顾客可能到了也可能未到，考虑最坏的情况，他们未进来或未全进来，那么第二次开播时应该在第三个顾客进来之后。现在的问题是，第二个顾客会不会在第一个顾客离去之后才进来，而又在第三个顾客进来之前就离开，若这样，他们没有听到任何一次广播，但这是不会发生的，根据当天任意三个顾客中至少有两个在商场相遇，他们一定会在第一个顾客离开之前进来，或在第三个顾客进之后才离开，因此，他们一定能听到广播。所以，广播两次就够了，第一次开播在第一个离去的顾客即将离开之时，第二次开播在最后一个顾客进来之时。这个思路对任意的n≥3都成立，设第一个离去的顾客为A，最后进来的一个顾客为B，若按上述的方法，广播两次之后，仍有顾客C没有听见，则C必在A离去之后才进来，且在B过来之前就离去，于是C与A，B均未相遇，当然更有A、B未相遇矛盾已知条件，所以，两次广播之后，全体顾客都听到。（3）直接解答问题很多数学习题，其实是对某个（些）结论的特例，并且，我们可以不失一般性地认为，所以习题的“结论”都必定是“已知”的必要条件，而得出的这些“特例”或“必要条件”，常常就有一个“退”的过程，一个简单化、特殊化限定或取值过程，在求解选择题、填空题时，取特殊值是一个重要方法。例：函数y=的反函数的定域是解法：求反函数y=m再求不等式>O可得定域为（-1，1）对于这种解法相当于用通法做了一道解答题，是解填空题中的“小题大做”，对于本题处理不策略的。解法二、反函数的定义域就是直接函数y=的值域，记作λ=e>0由y=知，y分-1，+1为定比λ>0y∈(-1,+1),即反函数定域义为（-1，+1）解法三分别令x→-∞,x→+∞可得y的值域（-1，1）此即反函数的定义域。后两种解法转化求直接函数的值域，只要基本概念清楚，心算即可以完成，几乎没有运算。特殊化方法的众多功能决定特殊思考在中学中数学教学的重要性，切不可忽视，给特殊思考提供了充足素材和机会，特殊性质的检验，构造特殊图形来观察，借助特殊性质分析等发挥了强大的威力，也给训练特殊思考场所，特殊环境，作为老师应该重视开发中学生智力培养，有利提高他们的数学思维。四、辨证功能数学问题不仅仅是“证实”，还需要“辨证”，数学的发现也是朝着两个目标---提出证明与构造反例---前进的。为了证实一个命题正确，必须经过严格的逻辑证明：而要说明一个命题的错误，举出一个反例就够了。反例否定的关键不在于否定过程中的最终检验，而在于反例的寻求和构造，怎样才能构造出一个正确切的反例，正是特殊思考的“用武之地”，也正是特殊思考功能的重要表现。十七世纪，著名的数学家费尔马得出这样的结论：形如F=2+1（n为非负整数）的数是质数，这个结论对于n=1、2、3、4都是成立的，但后来就有人构思了一个反例：F=2+1=641*6700417便否定了费尔马的猜想