2017-2018学年同步备课套餐之高一物理沪科版必修二讲义：第5章 5.3

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精5。3万有引力定律与天文学的新发现［学习目标］1。了解万有引力定律在天文学上的应用,知道海王星、冥王星等天体的发现过程。2.会用万有引力定律计算天体质量,掌握天体质量求解的基本思路。一、笔尖下发现的行星——海王星的发现根据天王星的“出轨”现象，英国剑桥大学的学生亚当斯和法国青年天文学家勒维烈利用万有引力定律预言在天王星的附近还有一颗新行星，并计算出了轨道。1846年9月23日，德国的伽勒在预言的位置附近发现了这颗行星-—海王星。二、哈雷彗星的预报1。英国天文学家哈雷断言,1682年天空中出现的彗星与1531年、1607年出现的彗星是同一颗星。并根据万有引力定律计算出这颗彗星的椭圆轨道，发现它的周期约为76年，这颗彗星后来被称为哈雷彗星。2。1759年3月13日，这颗大彗星不负众望，光耀夺目地通过近日点，进一步验证了万有引力定律是正确的。三、称量天体的质量-—太阳质量的估算1。称量地球的质量(1)思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转，物体的重力等于地球对物体的万有引力.(2)关系式:mg＝Geq\f(Mm，R2）。（3）结果：M＝eq\f（gR2,G）,只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量.2。太阳质量的计算(1）思路：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力.(2）关系式：eq\f（GMm,r2)＝meq\f(4π2，T2）r.(3）结论:M＝eq\f(4π2r3,GT2），只要知道行星绕太阳运动的周期T和半径r就可以计算出太阳的质量。(4）推广:若已知卫星绕行星运动的周期T和卫星与行星之间的距离r，可计算行星的质量M.［即学即用］1。判断下列说法的正误。(1）地球表面的物体的重力必然等于地球对它的万有引力.(×)(2）若只知道某行星绕太阳做圆周运动的半径，则可以求出太阳的质量。（×)(3）已知地球绕太阳转动的周期和轨道半径,可以求出地球的质量。(×)（4）天王星是依据万有引力定律计算的轨道而发现的.(×)（5)牛顿根据万有引力定律计算出了海王星的轨道。(×）（6)海王星、冥王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性。(√)2.已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，重力加速度g＝9。8m/s2，地球半径R＝6.4×106m，则可知地球的质量约为（)A。2×1018kg B。2×1020kgC。6×1022kg D。6×1024kg答案D一、天体质量和密度的计算［导学探究］1。卡文迪许在实验室测出了引力常量G的值,他称自己是“可以称量地球质量的人".（1)他测量的依据是什么？(2)若还已知地球表面重力加速度g,地球半径R，求地球的质量和密度.答案(1)若忽略地球自转的影响，在地球表面上物体受到的重力等于地球对物体的万有引力。(2)由mg＝Geq\f(Mm，R2)，得：M＝eq\f（gR2，G）ρ＝eq\f(M,V）＝eq\f（M，\f（4,3)πR3)＝eq\f（3g，4πGR）.2.如果知道地球绕太阳的公转周期T和它与太阳的距离r,能求出太阳的质量吗？若要求太阳的密度，还需要哪些量？答案由eq\f(Gm地M太,r2)＝eq\f（4π2，T2）m地r知M太＝eq\f（4π2r3，GT2).由密度公式ρ＝eq\f(M太,\f(4,3）πR\o\al(3，太）)可知，若要求太阳的密度还需要知道太阳的半径。[知识深化]天体质量和密度的计算方法“自力更生法"“借助外援法”情景已知天体(如地球）的半径R和天体(如地球）表面的重力加速度g行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动思路物体的重力近似等于天体(如地球)与物体间的万有引力：mg＝Geq\f（Mm,R2）行星或卫星受到的万有引力充当向心力:Geq\f(Mm，r2)＝m(eq\f（2π，T))2r(或Geq\f（Mm，r2）＝meq\f（v2,r））（或Geq\f(Mm，r2）＝mω2r）天体质量天体(如地球）质量：M＝eq\f（gR2，G)中心天体质量：M＝eq\f（4π2r3,GT2）(M＝eq\f（rv2,G)或M＝eq\f(r3ω2,G））天体密度ρ＝eq\f(M，\f(4,3）πR3）＝eq\f(3g，4πRG)ρ＝eq\f(M，\f(4,3）πR3)＝eq\f（3πr3,GT2R3）（以T为例)说明利用mg＝eq\f（GMm，R2）求M是忽略了天体自转，且g为天体表面的重力加速度由F引＝F向求M，求得的是中心天体的质量,而不是做圆周运动的天体质量例1假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星.若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1，已知万有引力常量为G。（1）则该天体的密度是多少?(2)若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得卫星在该处做圆周运动的周期为T2，则该天体的密度又是多少？答案（1）eq\f(3π,GT\o\al（2,1))（2）eq\f（3πR＋h3,GT\o\al(2，2）R3）解析设卫星的质量为m，天体的质量为M。(1）卫星贴近天体表面运动时有Geq\f（Mm，R2）＝meq\f(4π2,T\o\al(2,1))R，M＝eq\f(4π2R3，GT\o\al（2，1))根据数学知识可知天体的体积为V＝eq\f（4,3）πR3故该天体的密度为ρ＝eq\f(M，V)＝eq\f(4π2R3，GT\o\al(2，1）·\f(4，3)πR3）＝eq\f(3π,GT\o\al（2，1）)。（2）卫星距天体表面的高度为h时,忽略自转有Geq\f（Mm，R＋h2）＝meq\f（4π2,T\o\al（2,2）)（R＋h）M＝eq\f(4π2R＋h3,GT\o\al(2，2)）ρ＝eq\f（M,V)＝eq\f（4π2R＋h3,GT\o\al（2,2）·\f(4，3)πR3)＝eq\f(3πR＋h3，GT\o\al(2，2)R3)注意区分R、r、h的意义：一般情况下,R指中心天体的半径，r指行星或卫星的轨道半径，h指卫星距离星球表面的高度，r＝R＋h。针对训练过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51pegb”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。“51pegb”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的eq\f(1，20).该中心恒星与太阳的质量的比值约为(）A。eq\f(1,10）B。1C。5D。10答案B解析由Geq\f（Mm，r2)＝meq\f（4π2,T2）r得M∝eq\f(r3,T2）已知eq\f(r51,r地)＝eq\f(1，20),eq\f(T51，T地）＝eq\f（4,365）,则eq\f(M51,M地)＝（eq\f(1,20)）3×（eq\f（365，4）)2≈1，B项正确.例2有一星球的密度与地球相同，但它表面处的重力加速度是地球表面重力加速度的4倍,求：(1）星球半径与地球半径之比；（2)星球质量与地球质量之比.答案（1)4∶1（2）64∶1解析(1)由eq\f(GMm,R2)＝mg得M＝eq\f（gR2,G），所以ρ＝eq\f（M,V）＝eq\f（\f（gR2，G),\f（4，3)πR3）＝eq\f(3g，4πGR）,R＝eq\f（3g,4πGρ)，eq\f(R，R地）＝eq\f(3g,4πGρ）·eq\f（4πGρ地,3g地）＝eq\f(g，g地)＝eq\f(4,1）。(2)由(1）可知该星球半径是地球半径的4倍.根据M＝eq\f（gR2，G）得eq\f(M，M地)＝eq\f(gR2，G）·eq\f（G，g地R\o\al（2，地)）＝eq\f(64,1).二、物体所受地球的引力与重力的关系1.物体在地球表面上所受引力与重力的关系：地球在不停地自转，地球上的物体随着地球自转而做圆周运动，做圆周运动需要一个向心力，所以重力不直接等于万有引力而近似等于万有引力，如图1，万有引力为F引,重力为G，自转向心力为F′.当然，真实情况不会有这么大偏差。图1（1)物体在一般位置时F′＝mrω2，F′、F引、G不在一条直线上，重力G与万有引力F引方向有偏差，重力大小mg<Geq\f（Mm，R2).

(2）当物体在赤道上时,F′达到最大值Fmax′，Fmax′＝mRω2，此时重力最小；Gmin＝F引－Fmax′＝Geq\f(Mm,r2)－mRω2.(3)当物体在两极时F′＝0G＝F引，重力达最大值Gmax＝Geq\f(Mm,r2）。可见只有在两极处重力等于万有引力,其他位置重力小于万有引力。（4)由于地球自转角速度很小，自转所需向心力很小，一般情况下认为重力近似等于万有引力，mg≈Geq\f(Mm，R2）,g为地球表面的重力加速度.2。重力与高度的关系:若距离地面的高度为h，则mg′＝Geq\f(Mm，R＋h2)(R为地球半径，g′为离地面h高度处的重力加速度）。所以在同一纬度距地面越高,物体的重力加速度越小，则物体所受的重力也越小。例3我国航天技术飞速发展,设想数年后宇航员登上了某星球表面。宇航员从距该星球表面高度为h处，沿水平方向以初速度v抛出一小球，测得小球做平抛运动的水平距离为L，已知该星球的半径为R，引力常量为G。求：(1）该星球表面的重力加速度；（2)该星球的平均密度.答案(1）eq\f(2hv2,L2）(2)eq\f（3hv2，2πGRL2）解析（1)小球在星球表面做平抛运动,有L＝vt，h＝eq\f(1,2)gt2，解得g＝eq\f（2hv2，L2)。（2）在星球表面满足Geq\f（Mm，R2)＝mg又M＝ρ·eq\f(4，3)πR3，解得ρ＝eq\f(3hv2,2πGRL2）。1。（天体质量的计算）已知引力常量G、月球中心到地球中心的距离r和月球绕地球运行的周期T，仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有（)A。月球的质量 B.地球的质量C。地球的半径 D.地球的密度答案B解析由天体运动规律知Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2，T2）r可得地球质量M＝eq\f（4π2r3,GT2），由于不知地球的半径，无法求地球的密度，故选项B正确。2.（天体的质量和密度的计算）一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行，要测定该行星的密度，仅仅需要(）A.测定飞船的运行周期B。测定飞船的环绕半径C。测定行星的体积D.测定飞船的运行速度答案A解析取飞船为研究对象,由Geq\f(Mm,R2)＝mReq\f(4π2,T2)及M＝eq\f(4,3）πR3ρ，知ρ＝eq\f(3π,GT2),故选A。3.（地球表面的万有引力与重力的关系）地球可近似看成球形，由于地球表面上物体都随地球自转,所以有()A。物体在赤道处受到的地球引力等于两极处，而重力小于两极处B。赤道处的角速度比南纬30°大C.地球上物体的向心加速度都指向地心，且赤道上物体的向心加速度比两极处大D。地面上的物体随地球自转时提供向心力的是重力答案A解析由F＝Geq\f（Mm，R2）可知，若地球看成球形，则物体在地球表面上任何位置受到的地球引力都相等，此引力的两个分力一个是物体的重力，另一个是物体随地球自转所需的向心力.在赤道上，向心力最大,重力最小，A对。地球各处的角速度均等于地球自转的角速度，B错。地球上只有赤道上的物体向心加速度指向地心，其他位置的向心加速度均不指向地心，C错。地面上物体随地球自转的向心力是万有引力与地面支持力的合力，D错。4.(物体的运动与万有引力的结合)宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处;若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处.（取地球表面重力加速度g＝10m/s2，空气阻力不计)（1）求该星球表面附近的重力加速度g星的大小；（2)已知该星球的半径与地球半径之比为eq\f（R星,R地)＝eq\f（1,4），求该星球的质量与地球质量之比eq\f(M星，M地).答案(1）2m/s2(2）eq\f（1，80)解析（1）在地球表面以一定的初速度v0竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处，根据运动学公式可有t＝eq\f(2v0，g).同理，在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，经过时间5t小球落回原处,则5t＝eq\f(2v0，g星)根据以上两式，解得g星＝eq\f(1，5)g＝2m/s2(2）在天体表面时,物体的重力近似等于万有引力，即mg＝eq\f（GMm,R2)，所以M＝eq\f(gR2，G)由此可得，eq\f(M星，M地)＝eq\f（g星，g)·eq\f(R\o\al（2,星）,R\o\al（2,地））＝eq\f(1，5）×eq\f(1，42）＝eq\f(1,80).课时作业一、选择题(1~7题为单选题,8题为多选题)1。关于万有引力定律应用于天文学研究的历史事实,下列说法中正确的是()A。天王星、海王星和冥王星，都是运用万有引力定律、经过大量计算后发现的B.在18世纪已经发现的7个行星中，人们发现第七个行星——天王星的运动轨道总是同根据万有引力定律计算出来的结果有比较大的偏差，于是有人推测,在天王星轨道外还有一个行星，是它的存在引起了上述偏差C。海王星是牛顿运用自己发现的万有引力定律，经大量计算而发现的D。冥王星是英国剑桥大学的学生亚当斯和勒维烈合作研究后共同发现的答案B解析天王星是通过观察发现的，选项A错误，B正确;海王星是英国剑桥大学的学生亚当斯和勒维烈合作研究后共同发现的，选项C、D错误.2。地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，若高空中某处的重力加速度为eq\f(g，2），则该处距地球表面的高度为（)A.（eq\r（2）－1）RB。RC.eq\r(2）RD.2R答案A解析万有引力近似等于重力，设地球的质量为M，物体质量为m，物体距地面的高度为h，分别列式eq\f(GMm，R2）＝mg，Geq\f（Mm，R＋h2）＝meq\f(g，2)，联立得2R2＝(R＋h）2，解得h＝(eq\r（2)－1)R，选项A正确。3.据报道，最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星,其质量约为地球质量的6.4倍,一个在地球表面重量为600N的人在这个行星表面的重量将变为960N.由此可推知，该行星的半径与地球半径的比值为（）A。0。5B。2C.3.2D。4答案B解析若地球质量为M0,则“宜居”行星质量为M＝6.4M0,由mg＝Geq\f(Mm,r2)得eq\f(m0g,m0g′）＝eq\f(M0，r\o\al（2，0））·eq\f(r2,M）＝eq\f（600,960)，所以eq\f(r,r0)＝eq\r(\f（600M，960M0）)＝eq\r（\f（600×6.4M0,960M0))＝2，选项B正确.4。火星的质量和半径分别约为地球的eq\f（1，10）和eq\f(1，2），地球表面的重力加速度为g，则火星表面的重力加速度约为（)A.0.2gB.0。4gC.2.5gD.5g答案B解析在星球表面有mg＝eq\f（GMm,R2），设火星表面的重力加速度为g火,则eq\f(g火，g)＝eq\f(M火R\o\al(2，地)，M地R\o\al(2，火））＝0.4，故B正确.5.若地球绕太阳公转周期及公转轨道半径分别为T和R,月球绕地球公转周期和公转轨道半径分别为t和r，则太阳质量与地球质量之比为(）A。eq\f(R3t2，r3T2）B。eq\f（R3T2，r3t2)C。eq\f（R3t2，r2T3）D。eq\f(R2T3,r2t3）答案A解析无论地球绕太阳公转，还是月球绕地球公转，统一的公式为eq\f(GMm,R\o\al（2,0))＝meq\f(4π2R0,T\o\al（2,0)）,即M∝eq\f（R\o\al（3,0),T\o\al(2,0）），所以eq\f（M日,M地)＝eq\f(R3t2，r3T2）.6。“嫦娥三号”的环月轨道可近似看成是圆轨道,观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动，发现每经过时间t通过的弧长为l,该弧长对应的圆心角为θ（弧度），如图1所示。已知引力常量为G，由此可推导出月球的质量为()图1A。eq\f(l3，Gθt2）B.eq\f（l3θ，Gt2)C。eq\f（l，Gθt2）D.eq\f（l2,Gθt2）答案A解析根据弧长及对应的圆心角,可得“嫦娥三号"的轨道半径r＝eq\f（l，θ）,根据转过的角度和时间，可得ω＝eq\f(θ，t），由于月球对“嫦娥三号"的万有引力提供“嫦娥三号"做圆周运动的向心力,可得Geq\f（Mm,r2)＝mω2r，由以上三式可得M＝eq\f(l3,Gθt2)。7。假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体.一矿井深度为d（矿井宽度很小).已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，则矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为()A.1－eq\f(d，R）B.1＋eq\f(d，R）C.eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（R－d,R))）2D.eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（R，R－d）)）2答案A解析设地球的密度为ρ，地球的质量为M，根据万有引力定律可知,地球表面的重力加速度g＝eq\f(GM，R2).地球质量可表示为M＝eq\f(4，3)πR3ρ。质量分布均匀的球壳对球壳内物体的引力为零，矿井下以(R－d）为半径的地球的质量为M′＝eq\f（4,3)π（R－d）3ρ，解得M′＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（R－d,R))）3M，则矿井底部处的重力加速度g′＝eq\f（GM′，R－d2