4年级-9-行程之相遇问题-难版

第8讲行程之相遇问题知识梳理甲从A地到B地，乙从B地到A地，然后两人在途中相遇，实质上是甲和乙一起走了A,B之间这段路程，如果两人同时出发，那么甲 七 甲乙・ •« * »在 RA B。时刻准备用发 的间T后相遇相遇路程=甲走的路程+乙走的路程=甲的速度X相遇时间+乙的速度X相遇时间=（甲的速度+乙的速度）X相遇时间=速度和X相遇时间.一般地，相遇问题的关系式为：速度和X相遇时间 =路程和。解决行程问题，常常要借助于线段图。■・>典型例题【例1】★一辆客车与一辆货车同时从甲、乙两个城市相对开出，客车每小时行 46千米，货车每小时行48千米。3.5小时两车相遇。甲、乙两个城市的路程是多少千米？【解析】本题是简单的相遇问题，根据相遇路程等于速度和乘以相遇时间得到甲乙两地路程为：（46+48）X3.5=94X3.5=329（千米）.【小试牛刀】两地间的路程有 255千米，两辆汽车同时从两地相对开出，甲车每小时行 45千米，乙车每小时行40千米。甲、乙两车相遇时，各行了多少千米？【解析】根据相遇公式知道相遇时间是： 255+（45+40）=255+85=3（小时），所以甲走的路程为：45X3=135（千米），乙走的路程为：40X3=120（千米）.【例2】★大头儿子的家距离学校3000米，小头爸爸从家去学校接大头儿子放学，大头儿子从学校回家，他们同时出发，小头爸爸每分钟比大头儿子多走 24米，50分钟后两人相遇，那么大头儿子的速度是每分钟走多少米？【解析】大头儿子和小头爸爸的速度和： 30005060（米/分钟），小头爸爸的速度：（6024）242（米/分钟），大头儿子的速度： 604218（米/分钟）.【小试牛刀】聪聪和明明同时从各自的家相对出发，明明每分钟走20米，聪聪骑着脚踏车每分钟比明明快42米，经过20分钟后两人相遇，你知道聪聪家和明明家的距离吗？【解析】方法一：由题意知聪聪的速度是： 204262（米/分），两家的距离 明明走过的路程聪聪走过的路程2020622040012401640（米），请教师画图帮助学生理解分析.注意利用乘法分配律的反向应用就可以得到公式： 6口v和t.对于刚刚学习奥数的孩子，注意引导他们认识、理解及应用公式.方法二：直接利用公式： &v和t（2062201640（米）.【例3】★★A、B两地相距90米，包子从A地到B地需要30秒，菠萝从B地到A地需要15秒，现在包子和菠萝从A、B两地同时相对而行，相遇时包子与B地的距离是多少米？【解析】包子的速度： 90303（米/秒），菠萝的速度：90156（米/秒），相遇的时间：90（36）10（秒），包子距B地的距离：9031060（米）.【例4】★★甲、乙两车分别从相距360千米的A、B两城同时出发，相对而行，已知甲车到达B城需4小时，乙车到达A城需12小时，问：两车出发后多长时间相遇？【解析】要求两车的相遇时间，则必须知道它们各自的速度， 甲车的速度是360490（千米/时），乙车的速度是3601230（千米/时），则相遇时间是360（9030）3（小时）.【例5】★★甲、乙两辆汽车分别从A、B两地出发相对而行，甲车先行1小时，甲车每小时行48千米，乙车每小时行50千米，5小时相遇，求A、B两地间的距离.【解析】这题不同的是两车不“同时” .求A、B两地间的路程就是求甲、乙两车所行的路程和.这样可以充分别求出甲车、 乙车所行的路程，再把两部分合起来.48（15）288（千米），505250（千米），288250538（千米）.【小试牛刀】甲、乙两列火车从相距 770千米的两地相向而行，甲车每小时行 45千米，乙车每小时行41千米，乙车先出发2小时后，甲车才出发.甲车行几小时后与乙车相遇？【解析】甲、乙两车出发时间有先有后，乙车先出发 2小时，这段时间甲车没有行驶，那么乙车这2小时所行的路程不是甲、乙两车同时相对而行的路程，所以要先求出甲、乙两车同时相对而行的路程，再除以速度和，才是甲、乙两车同时相对而行的时间. 乙车先行驶路程：41282（千米），甲、乙两车同时相对而行路程： 77082688（千米），甲、乙两车速度和：454186（千米/时），甲车行的时间：688868（小时）.【例6】★★甲、乙两辆汽车分别从A、B两地出发相向而行，甲车先行3小时后乙车从B地出发，乙车出发5小时后两车还相距15千米.甲车每小时行48千米，乙车每小时行50千米.求A、B两地间相距多少千米？【解析】题目中写的“还”相距 15千米指的就是最简单的情况。画线段图如下：中同工小时，/W由图中可以看出，甲行驶了 358（小时），行驶距离为：488384（千米）；乙行驶了5小时，行驶距离为：505250（千米），此时两车还相距15千米，所以A、B两地间相距：38425015 649（千米）也可以这样做：两车5小时一共行驶：（4850）5490（千米），A、B两地间相距：49048315649（千米），所以，A、B两地间相距649千米.【小试牛刀】（全国希望杯数学邀请赛）甲、乙两辆汽车从A、B两地同时相向开出，出发后2小时，两车相距141千米；出发后5小时，两车相遇.A、B两地相距多少千米？【解析】公式“相遇时间路程和速度和”中，对于速度不变的两车， “相遇时间”与“路程和”是一一对应的.如图所示

相遇5小时A5小时141千米相遇5小时A5小时141千米B5小时的相遇时间与A、B两地的距离相对应，（52）小时的相遇时间与141千米相对应两车的速度之和是：141（52）47（千米/时）.A、B两地相距：475235（千米）【例7】★★两列城铁从两城同时相对开出，一列城铁每小时走 40千米，另一列城铁每小时走45千米，在途中每列车先后各停车 4次，每次停车15分钟，经过7小时两车相遇，求两城的距离？【解析】每列车停车时间：15460（分）=1（小时），两列车停车时间共2小时，共同行驶时间:716小时，速度和：404585（千米），两城距离：856510（千米）.【小试牛刀】两列城铁从两城同时相对开出，一列城铁每小时走 40千米，另一列城铁每小时走45千米，在途中每列车先后各停车5次，每次停车12分钟，经过7小时两车相遇，求两城的距离？【解析】每列车停车时间： 12560（分）=1（小时），两列车停车时间共2小时，共同行驶时间：716小时，速度和：404585（千米），两城距离：856510（千米）.【例8]★★夏夏和冬冬同时从两地相向而行，夏夏每分钟行 50米，冬冬每分钟行60米,两人在距两地中点50米处相遇，求两地的距离是多少米？【解析】根据题意，画线段图如下：,中点I—T 1从图中可以看出（可让学生先判断相遇点在中点哪一侧，为什么？），因为夏夏的速度比冬冬慢，所以相遇点一定在中点偏向夏夏的这一边 50米，由图可以得出：夏夏所行路程 全程一半50米，冬冬所行路程全程一半50米；所以两人相遇时，冬冬比夏夏多走了502100（米），冬冬比夏夏每分钟多走10米，所以两人从出发到相遇共走了 10分钟，两地的距离：（6050）101100（米）.【小试牛刀】甲乙两人同时从两地相向而行.甲每小时行 5千米，乙每小时行4千米.两人相遇时乙比甲少行3千米.两地相距多少千米？【解析】两人行驶的时间为 3+（5-4）=3小时，所以两地相距（5+4）X3=27千米【例9】★★甲乙二人同时分别自AB两地出发相向而行，相遇之地距AB中点300米，已知甲每分钟行100米，乙每分钟行70米，求A地至B地的距离.【解析】相遇时甲比乙多行3002600（米）,相遇时共用了6001007020（分），AB两地之间的距离为10070 203400（米）.【小试牛刀】李明和王亮同时分别从两地骑车相向而行，李明每小时行 18千米，王亮每小时行16千米，两人相遇时距全程中点 3千米.问全程长多少千米？【解析】李明走了全程的一半多3千米，王亮走了全程的一半少3千米，李明比王亮实际多走了326（千米）.由已知李明每小时比王亮多走18162（千米），李明比王亮多行6千米需要623（小时），这就是两人的相遇时间，有了相遇时间，全程是： （1816）3102（千米）.【例10】★★★甲、乙两车分别同时从a、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇.相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离 B地25千米处相遇.求a、b两地间的距离.【解析】画线段示意图（实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路线 ）第一次相通 笫二次始期可以发现第一次相遇意味着两车行了一个 A、B两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三个A、B两地间的距离.当甲、乙两车共行了一个 A、B两地间的距离时，甲车行了 95千米，当它们共行三个a、b两地间的距离时，甲车就行了3个95千米，即953285（千米），而这285千米比一个a、b两地间的距离多25千米，可得：9532528525260（千米）.

【小试牛刀】甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地90千米处相遇.相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离 B地30千米处相遇.求A、B两地间的距离？【解析】第一次相遇意味着两车行了一个 A、B两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三个A、B两地间的距离.当甲、乙两车共行了一个 A、B两地间的距离时，甲车行了 90千米，当它们共行三个A、B两地间的距离时，甲车就行了3个90千米，即903270（千米），而这270千米比一个A、B两地间的距离多30千米，可得：9033027030240（千米）..甲、乙两列火车从相距144千米的两地相向而行，甲车每小时行28千米，乙车每小时行22千米，乙车先出发2小时后，甲车才出发.甲车行几小时后与乙车相遇？【解析】甲、乙两车出发时间有先有后，乙车先出发 2小时，这段时间甲车没有行驶，那么乙车这2小时所行的路程不是甲、乙两车同时相对而行的路程，所以要先求出甲、乙两车同时相对而行的路程，再除以速度和，才是甲、乙两车同时相对而行的时间. 乙车先行驶路程：22244（千米），甲、乙两车同时相对而行路：14444100（千米），甲、乙两车速度和：282250（千米），与乙车相遇时甲车行的时间为： 100502（小时）..妈妈从家出发到学校去接小红，妈妈每分钟走 75米.妈妈走了3分钟后，小红从学校出发，小红每分钟走60米.再经过20分钟妈妈和小红相遇.从小红家到学校有多少米?20分钟后妈妈和小红相遇，也60）20 2700（米）,这样妈【解析】妈妈先走了3分钟，就是先走了75322520分钟后妈妈和小红相遇，也60）20 2700（米）,这样妈就是说妈妈和小红共同走了 20分钟，这一段的路程为：（75妈先走的那一段路程， 加上后来妈妈和小红走的这一段路程， 就是小红家到学校的距离. 即（753）（7560）202925（米）..甲乙两座城市相距530千米，货车和客车从两城同时出发，相向而行.货车每小时行50千米，客车每小时行70千米.客车在行驶中因故耽误1小时，然后继续向前行驶与货车相遇.问相遇时客车、货车各行驶多少千米？【解析】因为客车在行驶中耽误1小时，而货车没有停止继续前行，也就是说，货车比客车多走1小时.如果从总路程中把货车单独行驶 1小时的路程减去，然后根据余下的就是客车和货车共同走过的.再求出货车和客车每小时所走的速度和， 就可以求出相遇时间. 然后根据路程=速度X时间，可以分别求出客车和货车在相遇时各自行驶的路程.相遇时间：（53050）（5070）4801204（小时）相遇时客车行驶的路程 ：704280（千米）相遇时货车行驶的路程：50（41）250（千米）..甲、乙两列火车从相距366千米的两个城市对面开来，甲列火车每小时行 37千米，乙列火车每小时行36千米，甲列火车先开出2小时后，乙列火车才开出，问乙列火车行几小时后与甲列火车相遇？【解析】（366372）（3736）4（小时）..夏夏和冬冬同时从两地相向而行，两地相距 1100米，夏夏每分钟行50米，冬冬每分钟行60米，问两人在距两地中点多远处相遇？【解析】两个人的相遇时间为： 1100（5060）10（分钟），所以相遇时东东走了：6010600（米），两个人距离中点距离为：6001100250（米）.王老师从甲地到乙地， 每小时步行5千米，张老师从乙地到甲地，每小时步行4千米.两人同时出发，然后在离甲、乙两地的中点 1千米的地方相遇，求甲、乙两地间的距离.【解析】画一张示意图（可让学生先判断相遇点在中点哪一侧，为什么？ ）1千米甲I I I I乙A离中点1千米的地方是A点，从图上可以看出，王老师走了两地距离的一半多1千米，张老师走了两地距离的一半少1千米.从出发到相遇，王老师比张老师多走了2千米，王老师比张老师每小时多走（54）千米，从出发到相遇所用的时间是2（54）2（小时）。因此，甲、乙两地的距离是（54）2 18（千米）..树叶和月亮同时分别从两地骑车相向而行， 树叶每小时行18千米，月亮每小时行16千米，两人相遇时距全程中点5千米