定理2比较审敛法课件

第十章级数第一节数项级数第二节幂级数第三节傅立叶级数1第十章级数第一节数项级数第二节幂第一节数项级数§

10.1.1级数的概念及其基本性质§

10.1.2正项级数§

10.1.3任意项级数2第一节数项级数§10.1.1级数的概念及其§

10.1.1级数的概念及其基本性质

一、常数项级数的概念

引例.

用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正边形,这个和逼近于圆的面积A.设a0

表示即内接正三角形面积,ak

表示边数增加时增加的面积,则圆内接正3§10.1.1级数的概念及其基本性质

一、常数项级数定义：给定一个数列将各项依即称上式为无穷级数，其中第

n

项叫做级数的一般项,级数的前

n

项和称为级数的部分和.次相加,简记为收敛

,则称无穷级数并称S

为级数的和,记作4定义：给定一个数列将各项依即称上式为无穷级数，其中第n项当级数收敛时,称差值为级数的余项.则称无穷级数发散

.显然5当级数收敛时,称差值为级数的余项.则称无穷级数发散.显然级数举例

调和级数几何级数级数的展开形式备注一般项简写形式等比级数aqn-1p—级数6级数举例调和级数几何级数级数的展开形式备注一般项简写形式例1.

讨论等比级数

(又称几何级数)(q

称为公比)的敛散性.解:1)若从而因此级数收敛,从而则部分和因此级数发散.其和为7例1.讨论等比级数(又称几何级数)(q称为公比)2).若因此级数发散;因此n为奇数n为偶数从而综合1)、2)可知,时,等比级数收敛;时,等比级数发散.则级数成为不存在,因此级数发散.82).若因此级数发散;因此n为奇数n为偶数从而综合例2.

判别下列级数的敛散性:解:(1)所以级数(1)发散;技巧:利用“拆项相消”求和9例2.判别下列级数的敛散性:解:(1)所以级数(1)(2)所以级数(2)收敛,其和为1.技巧:利用“拆项相消”求和10(2)所以级数(2)收敛,其和为1.技巧:利用二、无穷级数的基本性质

性质1.

若级数收敛于S,则各项乘以常数

c

所得级数也收敛,证:

令则这说明收敛,其和为cS.

说明:

级数各项乘以非零常数后其敛散性不变.即其和为cS.11二、无穷级数的基本性质性质1.若级数收敛于S,则各性质2.

设有两个收敛级数则级数也收敛,其和为证:

令则这说明级数也收敛,其和为12性质2.设有两个收敛级数则级数也收敛,其和为证:令说明:(2)若两级数中一个收敛一个发散,则必发散.但若二级数都发散,不一定发散.例如,

(1)性质2表明收敛级数可逐项相加或减.(用反证法可证)13说明:(2)若两级数中一个收敛一个发散,则必发散.性质3.在级数前面加上或去掉有限项,不会影响级数的敛散性.证:

将级数的前k项去掉,的部分和为数敛散性相同.当级数收敛时,其和的关系为类似可证前面加上有限项的情况.极限状况相同,故新旧两级所得新级数14性质3.在级数前面加上或去掉有限项,不会影响级数的敛散性.性质4.

收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.证:

设收敛级数若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列为原级数部分和序列的一个子序列,推论:

若加括弧后的级数发散,则原级数必发散.注意:

收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.但发散.因此必有例如，用反证法可证例如15性质4.收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.证:例3.判断级数的敛散性:解:

考虑加括号后的级数发散,从而原级数发散.16例3.判断级数的敛散性:解:考虑加括号后的级数发散,从而设收敛级数则必有证:

可见:若级数的一般项不趋于0,则级数必发散.例如,其一般项为不趋于0,因此这个级数发散.性质5.(级数收敛的必要条件)17设收敛级数则必有证:可见:若级数的一般项不趋于0,注意:并非级数收敛的充分条件.例如,

调和级数虽然但此级数发散.事实上,

假设调和级数收敛于S,则但矛盾!所以假设不真.18注意:并非级数收敛的充分条件.例如,调和级数虽然但此级数发§

10.1.2正项级数若定理1.

正项级数收敛部分和序列有界.若收敛,∴部分和数列有界,故从而又已知故有界.则称为正项级数.单调递增,收敛,也收敛.证:“”“”19§10.1.2正项级数若定理1.正项级数收敛部分和都有定理2

(比较审敛法)设且存在对一切有(1)若级数则级数(2)若级数则级数证:设对一切则有收敛,也收敛;发散,也发散.分别表示两个级数的部分和,则有是两个正项级数,(常数k>0),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨20都有定理2(比较审敛法)设且存在对一切有(1)若级数则级(1)若级数则有因此对一切有由定理1可知,则有(2)若级数因此这说明级数也发散.也收敛.发散,收敛,级数21(1)若级数则有因此对一切有由定理1可知,则有(2)例1.

讨论p

级数(常数p>0)的敛散性.解:1)若因为对一切而调和级数由比较审敛法可知p

级数发散.发散,22例1.讨论p级数(常数p>0)的敛散性.解:因为当故考虑强级数的部分和故强级数收敛,由比较审敛法知

p

级数收敛.时,2)若23因为当故考虑强级数的部分和故强级数收敛,由比较审敛法知调和级数与p级数是两个常用的比较级数.若存在对一切24调和级数与p级数是两个常用的比较级数.若存在对一切24证明级数发散.证:

因为而级数发散根据比较审敛法可知,所给级数发散.例2.25证明级数发散.证:因为而级数发散根据比较审敛法可知,所给定理3.

(比较审敛法的极限形式)则有两个级数同时收敛或发散;(2)当

l=

0

(3)当

l=∞

证:

据极限定义,设两正项级数满足(1)当0<l<∞

时,26定理3.(比较审敛法的极限形式)则有两个级数同时收敛或发散由定理

2

可知同时收敛或同时发散;(3)当l=∞时,即由定理2可知,若发散,(1)当0<l<∞时,(2)当l=

0时,由定理2知收敛,若27由定理2可知同时收敛或同时发散;(3)当l=∞时是两个正项级数,(1)当时,两个级数同时收敛或发散;特别取可得如下结论:对正项级数(2)当且收敛时,(3)当且发散时,也收敛;也发散.28是两个正项级数,(1)当时的敛散性.～例3.

判别级数的敛散性.解:

根据比较审敛法的极限形式知例4.

判别级数解:根据比较审敛法的极限形式知～29的敛散性.～例3.判别级数的敛散性.解:根据比较审敛定理4

.

比值审敛法

(D’alembert判别法)设为正项级数,且则(1)当(2)当证:(1)收敛,时,级数收敛;或时,级数发散.由比较审敛法可知30定理4.比值审敛法(D’alembert判别法)设因此所以级数发散.时(2)当说明:

当时,级数可能收敛也可能发散.例如,p–级数但级数收敛;级数发散.从而31因此所以级数发散.时(2)当说明:当时,级数可能收敛也可解(1)例5.

判别下列级数的敛散性故收敛.(2)故发散.32解(1)例5.判别下列级数的敛散性故收敛.(2)故发散.解(3)故收敛.比值审敛法失效,改用比较审敛法由于而收敛,33解(3)故收敛.比值审敛法失效,改用比较审敛法由于而收敛对任意给定的正数定理5.

根值审敛法(Cauchy判别法)设为正项级则证明提示:

即分别利用上述不等式的左,右部分,可推出结论正确.数,且34对任意给定的正数定理5.根值审敛法(Cauchy时,级数可能收敛也可能发散.例如

,p–

级数说明:但级数收敛;级数发散.35时,级数可能收敛也可能发散.例如,p–级数说例6.

证明级数收敛于S,似代替和S

时所产生的误差.解:

由定理5可知该级数收敛.令则所求误差为并估计以部分和Sn

近36例6.证明级数收敛于S,似代替和S时所产生的误差.§

10.1.3任意项级数

一、交错级数及其审敛法

则各项符号正负相间的级数称为交错级数

.定理6

.

(Leibnitz

判别法)若交错级数满足条件:则级数收敛,且其和其余项满足37§10.1.3任意项级数

一、交错级数及其审敛法则各证:

是单调递增有界数列,又故级数收敛于S,且故38证:是单调递增有界数列,又故级数收敛于S,且故38收敛收敛用Leibnitz判别法判别下列级数的敛散性:收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?发散收敛收敛39收敛收敛用Leibnitz判别法判别下列级数的敛散性:收敛二、绝对收敛与条件收敛

定义:

对任意项级数若若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,则称原级收敛,数为条件收敛.均为绝对收敛.例如：绝对收敛；则称原级数条件收敛.40二、绝对收敛与条件收敛定义:对任意项级数若若原级数收敛定理7.

绝对收敛的级数一定收敛.证:

设根据比较审敛法显然收敛,收敛也收敛且收敛,令41定理7.绝对收敛的级数一定收敛.证:设根据比较审敛例7.

证明下列级数绝对收敛:证:(1)而收敛,收敛因此绝对收敛.42例7.证明下列级数绝对收敛:证:(1)而收敛,收敛因(2)令因此收敛,绝对收敛.43(2)令因此收敛,绝对收敛.43其和分别为绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质.*定理8.

绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和.证明从略)*定理9.

(绝对收敛级数的乘法)则对所有乘积按任意顺序排列得到的级数也绝对收敛,设级数与都绝对收敛,其和为需注意条件收敛级数不具有这两条性质.44其和分别为绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质.*练习设正项级数收敛,能否推出收敛?提示:由比较判敛法可知收敛.注意:反之不成立.例如,收敛,发散.1.

45练习设正项级数收敛,能否推出收敛?提示:由比较判敛法可知2.

则级数(A)发散;(B)绝对收敛;(C)条件收敛;(D)收敛性根据条件不能确定.分析:∴(B)错;又C462.则级数(A)发散;(B)解原级数收敛.证明

un

单调减的方法？？？47解原级数收敛.证明un单调减的方法？？？47第十章级数第一节数项级数第二节幂级数第三节傅立叶级数48第十章级数第一节数项级数第二节幂第一节数项级数§

10.1.1级数的概念及其基本性质§

10.1.2正项级数§

10.1.3任意项级数49第一节数项级数§10.1.1级数的概念及其§

10.1.1级数的概念及其基本性质

一、常数项级数的概念

引例.

用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正边形,这个和逼近于圆的面积A.设a0

表示即内接正三角形面积,ak

表示边数增加时增加的面积,则圆内接正50§10.1.1级数的概念及其基本性质

一、常数项级数定义：给定一个数列将各项依即称上式为无穷级数，其中第

n

项叫做级数的一般项,级数的前

n

项和称为级数的部分和.次相加,简记为收敛

,则称无穷级数并称S

为级数的和,记作51定义：给定一个数列将各项依即称上式为无穷级数，其中第n项当级数收敛时,称差值为级数的余项.则称无穷级数发散

.显然52当级数收敛时,称差值为级数的余项.则称无穷级数发散.显然级数举例

调和级数几何级数级数的展开形式备注一般项简写形式等比级数aqn-1p—级数53级数举例调和级数几何级数级数的展开形式备注一般项简写形式例1.

讨论等比级数

(又称几何级数)(q

称为公比)的敛散性.解:1)若从而因此级数收敛,从而则部分和因此级数发散.其和为54例1.讨论等比级数(又称几何级数)(q称为公比)2).若因此级数发散;因此n为奇数n为偶数从而综合1)、2)可知,时,等比级数收敛;时,等比级数发散.则级数成为不存在,因此级数发散.552).若因此级数发散;因此n为奇数n为偶数从而综合例2.

判别下列级数的敛散性:解:(1)所以级数(1)发散;技巧:利用“拆项相消”求和56例2.判别下列级数的敛散性:解:(1)所以级数(1)(2)所以级数(2)收敛,其和为1.技巧:利用“拆项相消”求和57(2)所以级数(2)收敛,其和为1.技巧:利用二、无穷级数的基本性质

性质1.

若级数收敛于S,则各项乘以常数

c

所得级数也收敛,证:

令则这说明收敛,其和为cS.

说明:

级数各项乘以非零常数后其敛散性不变.即其和为cS.58二、无穷级数的基本性质性质1.若级数收敛于S,则各性质2.

设有两个收敛级数则级数也收敛,其和为证:

令则这说明级数也收敛,其和为59性质2.设有两个收敛级数则级数也收敛,其和为证:令说明:(2)若两级数中一个收敛一个发散,则必发散.但若二级数都发散,不一定发散.例如,

(1)性质2表明收敛级数可逐项相加或减.(用反证法可证)60说明:(2)若两级数中一个收敛一个发散,则必发散.性质3.在级数前面加上或去掉有限项,不会影响级数的敛散性.证:

将级数的前k项去掉,的部分和为数敛散性相同.当级数收敛时,其和的关系为类似可证前面加上有限项的情况.极限状况相同,故新旧两级所得新级数61性质3.在级数前面加上或去掉有限项,不会影响级数的敛散性.性质4.

收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.证:

设收敛级数若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列为原级数部分和序列的一个子序列,推论:

若加括弧后的级数发散,则原级数必发散.注意:

收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.但发散.因此必有例如，用反证法可证例如62性质4.收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.证:例3.判断级数的敛散性:解:

考虑加括号后的级数发散,从而原级数发散.63例3.判断级数的敛散性:解:考虑加括号后的级数发散,从而设收敛级数则必有证:

可见:若级数的一般项不趋于0,则级数必发散.例如,其一般项为不趋于0,因此这个级数发散.性质5.(级数收敛的必要条件)64设收敛级数则必有证:可见:若级数的一般项不趋于0,注意:并非级数收敛的充分条件.例如,

调和级数虽然但此级数发散.事实上,

假设调和级数收敛于S,则但矛盾!所以假设不真.65注意:并非级数收敛的充分条件.例如,调和级数虽然但此级数发§

10.1.2正项级数若定理1.

正项级数收敛部分和序列有界.若收敛,∴部分和数列有界,故从而又已知故有界.则称为正项级数.单调递增,收敛,也收敛.证:“”“”66§10.1.2正项级数若定理1.正项级数收敛部分和都有定理2

(比较审敛法)设且存在对一切有(1)若级数则级数(2)若级数则级数证:设对一切则有收敛,也收敛;发散,也发散.分别表示两个级数的部分和,则有是两个正项级数,(常数k>0),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨67都有定理2(比较审敛法)设且存在对一切有(1)若级数则级(1)若级数则有因此对一切有由定理1可知,则有(2)若级数因此这说明级数也发散.也收敛.发散,收敛,级数68(1)若级数则有因此对一切有由定理1可知,则有(2)例1.

讨论p

级数(常数p>0)的敛散性.解:1)若因为对一切而调和级数由比较审敛法可知p

级数发散.发散,69例1.讨论p级数(常数p>0)的敛散性.解:因为当故考虑强级数的部分和故强级数收敛,由比较审敛法知

p

级数收敛.时,2)若70因为当故考虑强级数的部分和故强级数收敛,由比较审敛法知调和级数与p级数是两个常用的比较级数.若存在对一切71调和级数与p级数是两个常用的比较级数.若存在对一切24证明级数发散.证:

因为而级数发散根据比较审敛法可知,所给级数发散.例2.72证明级数发散.证:因为而级数发散根据比较审敛法可知,所给定理3.

(比较审敛法的极限形式)则有两个级数同时收敛或发散;(2)当

l=

0

(3)当

l=∞

证:

据极限定义,设两正项级数满足(1)当0<l<∞

时,73定理3.(比较审敛法的极限形式)则有两个级数同时收敛或发散由定理

2

可知同时收敛或同时发散;(3)当l=∞时,即由定理2可知,若发散,(1)当0<l<∞时,(2)当l=

0时,由定理2知收敛,若74由定理2可知同时收敛或同时发散;(3)当l=∞时是两个正项级数,(1)当时,两个级数同时收敛或发散;特别取可得如下结论:对正项级数(2)当且收敛时,(3)当且发散时,也收敛;也发散.75是两个正项级数,(1)当时的敛散性.～例3.

判别级数的敛散性.解:

根据比较审敛法的极限形式知例4.

判别级数解:根据比较审敛法的极限形式知～76的敛散性.～例3.判别级数的敛散性.解:根据比较审敛定理4

.

比值审敛法

(D’alembert判别法)设为正项级数,且则(1)当(2)当证:(1)收敛,时,级数收敛;或时,级数发散.由比较审敛法可知77定理4.比值审敛法(D’alembert判别法)设因此所以级数发散.时(2)当说明:

当时,级数可能收敛也可能发散.例如,p–级数但级数收敛;级数发散.从而78因此所以级数发散.时(2)当说明:当时,级数可能收敛也可解(1)例5.

判别下列级数的敛散性故收敛.(2)故发散.79解(1)例5.判别下列级数的敛散性故收敛.(2)故发散.解(3)故收敛.比值审敛法失效,改用比较审敛法由于而收敛,80解(3)故收敛.比值审敛法失效,改用比较审敛法由于而收敛对任意给定的正数定理5.

根值审敛法(Cauchy判别法)设为正项级则证明提示:

即分别利用上述不等式的左,右部分,可推出结论正确.数,且81对任意给定的正数定理5.根值审敛法(Cauchy时,级数可能收敛也可能发散.例如

,p–

级数说明:但级数收敛;级数发散.82时,级数可能收敛也可能发散.例如,p–级数说例6.

证明级数收敛于S,似代替和S

时所产生的误差.解:

由定理5可知该级数收敛.令则所求误差为并估计以部分和Sn

近83例6.证明级数收敛于S,似代替和S时所产生的误差.§

10.1.3任意项级数

一、交错级数及其审敛法

则各项符号正负相间的级数称为交错级数

.定理6

.

(Lei