空间几何中的平行与垂直 新高考 数学一轮复习专项提升精讲精练 （含答案解析）

7.1空间几何中的平行与垂直（精练）（提升版）题组一题组一平行问题1（2022·四川宜宾）如图，正方形ABED的边长为1，G，F分别是EC，BD的中点，求证：平面ABC【答案】证明见解析；【解析】如图，连接AE，因F是正方形ABED对角线BD的中点，则F是AE的中点，而G是CE的中点，则，又平面，平面，所以平面.2．（2022·辽宁抚顺）在正方体中，分别是和的中点.求证：(1)平面.(2)平面平面.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】（1）连接，因为四边形为正方形，为中点，所以为中点，又因为为中点，所以.因为平面平面，所以平面，连接，因为四边形为正方形，为中点，所以为中点.又因为为中点，所以.因为平面平面所以平面.由（1）知平面，又，平面，所以平面平面.3．（2022·江西南昌）两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，，，且，过M作于H，求证：(1)平面平面BCE；(2)平面BCE.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】（1）在正方形ABCD中，，，则，又平面，平面，因此平面，由，得，而，，则有，即，于是得，又平面，平面，则平面，因，平面，所以平面平面.（2）由（1）知：平面平面，而平面，所以平面.4．（2022·安徽安庆市）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，且，点M在棱上，若直线平面，求的值【答案】（1）1∶2；【解析】连接与交于点N，连接，，，，，又平面，平面，且平面平面．5．（2022·北京市第十三中学）如图，已知在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，在上任取一点，过和作平面交平面于.(1)求证：平面；(2)求证：平面；(3)求证：.【答案】证明见解析【解析】(1)证明：因为四边形为平行四边形，则，平面，平面，因此，平面.(2)证明：连接交于点，连接，因为四边形为平行四边形，，则为的中点，又因为为的中点，则，平面，平面，平面.

(3)证明：平面，平面，平面平面，.6．（2022·重庆八中高三阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是正方形，与相交于点O，F点是的中点，E点在线段上，且．求证：直线∥平面【答案】证明见解析；【解析】取的中点，连接CG、GF、EO．∵，则，∵点是的中点，故，且平面，故平面．又，故是的中点，是的中点，则，且平面，故平面，且，故平面平面．又平面，故平面．7（2022·山西临汾）如图（1），在梯形中，且，线段上有一点E，满足，，现将分别沿折起，使，得到如图（2）所示的几何体．求证：【答案】证明见解析；【解析】图（1）中，，则，而，即，在中，，有，同理可得，则，图（2）中，，则，而，平面，则有平面，在中，，则，又，，平面，因此平面，所以.8．（2022·江西）如图所示，在四棱锥中，平面，E是的中点.(1)求证：//平面(2)求证：//平面.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】(1)因为平面，平面，平面平面，所以，又平面，平面，则平面；(2)取中点，连接，易得，且，由（1）知且，则且，则四边形为平行四边形，则，又平面，平面，则平面.9．（2022·全国·高一）如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD为平行四边形，G为FC的中点，平面ABFE∩平面CDEF=EF(1)证明:AF//平面BDG(2)证明:AB//EF【答案】(1)证明见解析.(2)证明见解析.【解析】(1)连接AC交BD于O,连接OG.因为四边形ABCD为平行四边形，所以AC、BD互相平分.又G为FC的中点，所以OG为三角形ACF的中位线，所以.因为面,面,所以AF//平面BDG.(2)因为四边形ABCD为平行四边形，所以AB//CD.因为面,面,所以AB//平面.因为面,面面=EF.所以AB//EF.题组二题组二空间几何中的垂直1．（2022·全国·高三专题练习）在平行四边形中过点作的垂线交的延长线于点，.连接交于点，如图1，将沿折起，使得点到达点的位置.如图2.证明：直线平面.【答案】证明见解析【解析】证明：图1中，在中，所以.所以也是直角三角形，，在图2中，所以平面.2．（2022·全国·高三专题练习）如图，四棱锥中，平面平面，为的中点，为的中点，且，，．证明：平面【答案】证明见解析【解析】证明：如图，连接AF，由题意知为等腰三角形，而为的中点，所以．又因为平面平面，且，平面平面，平面，所以平面．而平面，所以．而，平面，所以平面．连接，则，，而，，所以且，所以是平行四边形，因此，故平面．3．（2022·全国·高三专题练习）在四棱锥中，底面．证明：【答案】证明见解析；【解析】证明：在四边形中，作于，于，因为，所以四边形为等腰梯形，所以，故，，所以，所以，因为平面，平面，所以，又，所以平面，又因为平面，所以；4．（2022·上海松江·二模）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是的中点，点在棱上．(1)求四棱锥的全面积；(2)求证：．【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】(1)∵BC//AD，AD⊥平面ABP，∴BC⊥平面ABP，∴BC⊥BP，∴,同理可得,∴.(2)∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PA．又ABCD是矩形，∴CD⊥AD，∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD．∵AF⊂平面PAD，∴AF⊥CD．∵PA＝AD，点F是PD的中点，∴AF⊥PD．又CD∩PD＝D，∴AF⊥平面PDC．∵PE⊂平面PDC，∴PE⊥AF．5．（2022·河南·信阳高中）如图所示，直三棱柱中，为中点．(1)求证：平面；(2)若三棱柱上下底面为正三角形，，，求证：平面平面．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】(1)连接，与相交于点F，连接MF，则为的中点，因为为中点，所以MF是的中位线，所以，因为平面，平面，所以平面(2)因为直三棱柱上下底面为正三角形，，，所以，所以，所以，即，由三线合一可得：，又因为平面ABC，平面ABC，所以，因为，所以平面，因为平面，所以因为所以平面，因为平面，所以平面平面6．（2022·北京大兴）如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，分别为，的中点.(1)求证：平面；(2)求证：平面；(3)若平面平面，求的大小.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【解析】(1)因为平面，平面，所以.又因为底面为菱形，所以.又因为，所以平面.(2)取为的中点，联结.在中，分别为的中点，所以.因为底面为菱形，且为的中点，所以.所以.所以四边形为平行四边形.所以.因为平面平面.所以平面.(3)因为平面，平面，所以.因为平面平面，且平面平面平面，所以平面.所以.因为底面为菱形，且为的中点，所以.所以则是等边三角形.所以.题组三题组三空间几何中的定理辨析1．（2022·上海虹口·二模）已知，是平面内的两条直线，是空间的一条直线，则“”是“且”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，，所以且；当且，，但，是否相交无法判断，所以可能成立，也可能不成立．综上，“”是“且”的充分不必要条件．故选：A．2．（2022·全国·高三专题练习（文））在正方体中，E，F分别为的中点，则（

）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面【答案】A【解析】解：在正方体中，且平面，又平面，所以，因为分别为的中点，所以，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正确；选项BCD解法一：如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，则，，则，，设平面的法向量为，则有，可取，同理可得平面的法向量为，平面的法向量为，平面的法向量为，则，所以平面与平面不垂直，故B错误；因为与不平行，所以平面与平面不平行，故C错误；因为与不平行，所以平面与平面不平行，故D错误，故选：A.选项BCD解法二：解：对于选项B，如图所示，设，，则为平面与平面的交线，在内，作于点，在内，作，交于点，连结，则或其补角为平面与平面所成二面角的平面角，由勾股定理可知：，，底面正方形中，为中点，则，由勾股定理可得，从而有：，据此可得，即，据此可得平面平面不成立，选项B错误；对于选项C，取的中点，则，由于与平面相交，故平面平面不成立，选项C错误；对于选项D，取的中点，很明显四边形为平行四边形，则，由于与平面相交，故平面平面不成立，选项D错误；故选：A.3．（2022·安徽省舒城中学三模（理））设，是不同的直线，，，是不同的平面，则下面说法正确的是（

）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则【答案】C【解析】A：由，，则或相交，错误；B：由，，则或或相交，错误；C：由，则存在直线且，而则，根据面面垂直的判定易知，正确；D：由，，则或，错误.故选：C4（2022·全国·高三专题练习（理））已知是正方体的中心O关于平面的对称点，则下列说法中正确的是（

）A．与是异面直线 B．平面C． D．平面【答案】B【解析】连接、，交于点，连接、，交于点.连接、、、、.由题可知，在平面上，所以与共面，故A错误；在四边形中，且，所以四边形为平行四边形..平面，平面，平面，故B正确；由正方体的性质可得，因为，所以，又，平面，，又，，而与所成角为，所以显然与不垂直，故C错误；显然与不垂直，而平面，所以与平面不垂直，故D错误.故选：B.5．（2022·浙江省新昌中学模拟预测）设a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列命题：①若，则②若，则③若，则④若，则其中为真命题的是（

）A．①② B．②③ C．③④ D．①④【答案】C【解析】①中，，则平面与平面可能平行，可能相交也可能垂直，故①错误；②中，，直线与直线可能平行，异面或者垂直，故②错误；③中，，则，故，故③正确；④中，，则，故④正确.故选：C.6．（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）如图，正方体中，是的中点，则下列说法正确的是（

）A．直线与直线垂直，直线平面B．直线与直线平行，直线平面C．直线与直线异面，直线平面D．直线与直线相交，直线平面【答案】A【解析】连接；由正方体的性质可知，是的中点，所以直线与直线垂直；由正方体的性质可知，所以平面平面，又平面，所以直线平面，故A正确；以为原点，建立如图坐标系，设正方体棱长为1，显然直线与直线不平行，故B不正确；直线与直线异面正确，，，所以直线与平面不垂直，故C不正确；直线与直线异面，不相交，故D不正确；故选：A.7．（2022·全国·高三专题练习）如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD.其中正确结论的个数是（

）A