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文档简介

第四讲

变分原理与PDE变分原理最小总位能原理：在一切可能的位移中，真实位移使总位能达到最小。物理和力学中存在能量极大或极小定律。用表示在处薄膜的垂直位移，表示垂直外力的密度。记薄膜在水平面上的投影区域为，它具有光滑边界，则薄膜的总位能:物理背景-膜平衡问题：设一边界固定的紧张薄膜，求在稳态的垂直外力作用下的平衡状态。因为薄膜的边界固定，“一切可能的位移”就是指所有具有一定的光滑性，且在边界上等于零的位移函数。给定函数集合，则一切可能的位移可取为集合中元素的全体。这样，最小总位能原理可以用如下的数学形式表述：若为真实位移，则，且满足泛函泛函的极小值点变分问题（2）（1）其中为任一实数。显然有。证明若是变分问题（1）的解，任取，令

定理（变分原理）如果满足（1）的函数存在，它必满足（2）。反之，若是定解问题（2）属于的解，则必为变分问题（1）的解。又由，因此，即为问题（2）的解。变分学基本原理任给，令，就有且等号仅当时成立。故也是变分问题（1）的解！弱解的定义变分问题（1）的Euler方程几何背景-极小曲面问题：Plateau是如下变分问

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