结构弹性稳定计算课件

3结构弹性的稳定计算

目录3结构弹性的稳定计算3.1两类稳定问题概述

3.2稳定问题的分析方法——静力法3.3稳定问题的分析方法——能量法3.4剪力对临界荷载的影响3.5组合压杆的稳定3.6窄条梁的稳定3结构弹性的稳定计算目录3结构弹性的稳定计算3.13结构弹性的稳定计算3.1两类稳定问题概述

从稳定性角度来考察，平衡状态有三种不同的情况：

⑴稳定平衡状态⑵不稳定平衡状态⑶中性平衡状态结构稳定计算理论：小挠度理论（通常采用），优点：方法简单，结论基本正确。大挠度理论，特点：结论精确，方法复杂。随着荷载的逐渐增大，结构的原始平衡状态可能由稳定平衡状态转变为不稳定平衡状态。这时原始平衡状态丧失其稳定性，简称为失稳。结构失稳的两种基本形式：分支点失稳和极值点失稳。下面以压杆为例加以说明。

3结构弹性的稳定计算3.1两类稳定问题概述从稳23结构弹性的稳定计算3.1.1分支点失稳

简支压杆的完善体系或理想体系(图3-1(a))：杆件轴线是理想的直线（没有初曲率），荷载P是理想的中心受压荷载（没有偏心）。

在分支点B处，原始平衡路径Ⅰ与新平衡路径Ⅱ同时并存，出现平衡形式的二重性，原始平衡路径Ⅰ由稳定平衡转变为不稳定平衡，出现稳定性的转变。具有这种特征的失稳形式称为分支点失稳形式。分支点对应的荷载称为临界荷载，对应的平衡状态称为临界状态。分支点失稳又称为第一类失稳。图3－1分支点失稳（a）理想的中心受压杆；（b）P－Δ曲线

3结构弹性的稳定计算3.1.1分支点失稳简支压33结构弹性的稳定计算其他结构可能出现的分支点失稳现象

图3－2分支点失稳（a）受结点荷载的刚架；（b）受水压力的圆拱；（c）窄条梁

3结构弹性的稳定计算其他结构可能出现的分支点失稳现象图43结构弹性的稳定计算3.1.2极值点失稳

在极值点处，平衡路径由稳定平衡转变为不稳定平衡。这种失稳形式称为极值点失稳。其特征是平衡形式不出现分支现象，而P-Δ曲线具有极值点。极值点相应的荷载极大值称为临界荷载。极值点失稳又称为第二类失稳。图3－3极值点失稳（a）有初弯曲的压杆；（b）偏心荷载压杆；（c）P－Δ曲线

压杆的非完善体系(图3-3(a)、(b))：具有初曲率和承受偏心荷载的压杆。3结构弹性的稳定计算3.1.2极值点失稳在极值53结构弹性的稳定计算稳定问题与强度问题的区别说明

强度问题是指结构在稳定平衡状态下它的最大应力不超过材料的允许应力，其重点是在内力的计算上。对大多数结构，通常其应力都处于弹性范围内而且变形很小。因此，认为荷载与变形之间呈线性关系，并按结构未变形前的几何形状和位置来进行计算，叠加原理适用，通常称此种计算为线性分析或一阶分析。对于应力虽处于弹性范围但变形较大的结构（如悬索），因变形对计算的影响不能忽略，应按结构变形后的几何形状和位置来进行计算，此时，荷载与变形之间已为非线性关系，叠加原理不再适用，这种计算称为几何非线性分析或二阶分析。

稳定问题的着眼点不是放在计算最大应力，而是研究荷载与结构内部抵抗力之间的平衡上，看这种平衡是否处于稳定状态，即要找出变形开始急剧增长的临界点，并找出与临界状态相应的最小荷载（临界荷载）。由于它的计算要在结构变形后的几何形状和位置上进行，其方法也属于几何非线性范畴，叠加原理不再适用，故其计算也属二阶分析。本章只讨论完善体系分支点失稳，并根据小挠度理论求临界问题荷载。确定临界荷载的方法很多，其中最基本和最重要的是静力法和能量法。3结构弹性的稳定计算稳定问题与强度问题的区别说明63结构弹性的稳定计算3.2稳定问题的分析方法——静力法

根据临界状态的静力特征而提出的确定临界荷载的方法，称为静力法。静力法的要点：是在原始平衡路径Ⅰ之外寻找新的平衡路径Ⅱ，确定二者交叉的分支点，由此求出临界荷载。3结构弹性的稳定计算3.2稳定问题的分析方法——静力法73结构弹性的稳定计算3.2.1静力法确定有限自由度体系的临界荷载

图3-4（a）中，AB为刚性压杆，底端A为弹性支承，其转动刚度系数为k。图3－4单自由度失稳（a）原始平衡形式；（b）平衡的新形式

杆AB处于竖直位置时的平衡形式（图3-4（a））是其原始平衡形式。3结构弹性的稳定计算3.2.1静力法确定有限自由度体系的83结构弹性的稳定计算3.2.1静力法确定有限自由度体系的临界荷载（续）

现在寻找杆件处于倾斜位置时新的平衡形式(图3-4(b))。根据小挠度理论，其平衡方程为

(3-1)

由于弹性支座的反力矩MA＝kθ，所以

(3-2)

式(3-2)是以位移θ为未知量的齐次方程。齐次方程有两类解：即零解和非零解。零解(θ＝0)对应于原始平衡形式，即平衡路径Ⅰ；非零解(θ≠0)是新的平衡形式。为了得到非零解，齐次方程(3-2)的系数应为零，即

(3-3)

式(3-3)称为特征方程。由特征方程得知，第二平衡路径Ⅱ为水平直线。由两条路径的交点得到分支点，分支点相应的荷载即为临界荷载，因此

(3-4)3结构弹性的稳定计算3.2.1静力法确定有限自由度体系的93结构弹性的稳定计算例3-1

图3-5(a)所示是一个具有两个变形自由度的体系，其中AB、BC、CD各杆为刚性杆，在铰结点B和C处为弹性支承，其刚度系数都为k。试求其临界荷载Pcr。图3－5两个自由度的体系（a）原始平衡形式；（b）平衡的新形式3结构弹性的稳定计算例3-1图3-5(a)所示103结构弹性的稳定计算例3-1(续1)

解：设体系由原始平衡状态(图3-5(a)的水平位置)转到任意变形的新状态(图3-5(b))，设B点和C点的竖向位移分别为y1和y2，相应的支座反力分别为

同时，A点和D点的支座反力为

变形状态的平衡条件为

即(a)

这是关于y1和y2的齐次方程。

3结构弹性的稳定计算例3-1(续1)解：113结构弹性的稳定计算例3-1(续2)

如果系数行列式不等于零，即

则零解(即y1和y2全为零)是齐次方程(a)的唯一解。也就是说，原始平衡形式是体系唯一的平衡形式。如果系数行列式等于零，即

则除零解外，齐次方程(a)还有非零解。也就是说，除原始平衡形式外，体系还有新的平衡形式。这样，平衡形式即具有二重性，这就是体系处于临界状态的静力特征。方程(b)就是稳定问题的特征方程。展开式(b)，得由此解得两个特征值：(b)3结构弹性的稳定计算例3-1(续2)如果系数行列123结构弹性的稳定计算例3-1(续3)

其中最小的特征值叫做临界荷载，即图3－6例3-1的失稳形态（a）第一失稳形态；（b）第二失稳形态

将特征值代回式(a)，可求得y1和y2的比值。这时位移y1、y2组成的向量称为特征向量。如将P＝kl/3代回式(a)，则得y1＝－y2，相应的变形曲线如图3-6(a)所示。如将P＝kl代回式(a)，则得y1＝y2，相应的变形曲线如图3-6(b)所示。3结构弹性的稳定计算例3-1(续3)其中最小的特133结构弹性的稳定计算3.3稳定问题的分析方法——能量法

能量法确定体系临界荷载的基本原理

用能量法求临界荷载，仍是以结构失稳时平衡的二重性为依据，应用以能量形式表示的平衡条件，寻求结构在新的形式下能维持平衡的荷载，其中最小者即为临界荷载。

用能量形式表示的平衡条件就是势能驻值原理：对于弹性结构，在满足支承条件及位移连续条件的一切虚位移中，同时又满足平衡条件的位移(因而就是真实的位移)使结构的势能Π为驻值，也就是结构势能的一阶变分等于零，即

这里，结构的势能Π等于结构的应变能U与外力势能Up之和：

仍以图3-4所示单自由度体系为例说明。体系的势能Π为弹簧应变能U与荷载P的势能Up之和。弹簧应变能为3结构弹性的稳定计算3.3稳定问题的分析方法——能量法143结构弹性的稳定计算能量法确定体系临界荷载的基本原理（续1）

荷载势能为

这里λ为B点的竖向位移(见图3-4(b))

体系的势能为(3-7)

因此

应用势能驻值条件，得(3-8)

上式与静力法中的式(3-2)是等价的。由此可见，能量法与静力法都导出同样的方程。换句话说，势能驻值条件等价于用位移表示的平衡方程。能量法余下的计算步骤即与静力法完全相同，即根据位移θ有非零解的条件导出特征方(3-9)

从而求出临界荷载3结构弹性的稳定计算能量法确定体系临界荷载的基本原理（续153结构弹性的稳定计算能量法确定体系临界荷载的基本原理（续2）

归结起来，在分支点失稳问题中，临界状态的能量特征是：势能为驻值，且位移有非零解。能量法就是根据上述能量特征求临界荷载。下面对势能Π作进一步的讨论。由式(3-7)看出，势能Π是位移θ的二次式，其关系曲线是抛物线。如果P<k/l，则关系曲线如图3-10(a)所示。当位移θ为任意非零值时，势能Π恒为正值。当体系处于原始平衡状态(θ＝0)时，势能为极小，因而原始平衡状态是稳定平衡状态。如果P>k/l

，则关系曲线如图3-10(c)所示。当位移θ为任意非零值时，势能恒为负值。当体系处于原始平衡状态时，势能Π为极大，因而原始平衡状态是不稳定平衡状态。如果P＝k/l

，则关系曲线如图3-10(b)所示。当位移θ为任意值时，势能恒为零，体系处于中性平衡状态，即临界状态，这时的荷载称作临界荷载。这个结果与静力法所得的相同。3结构弹性的稳定计算能量法确定体系临界荷载的基本原理（续163结构弹性的稳定计算能量法确定体系临界荷载的基本原理（续3）

因此，临界状态的能量特征还可表述为：在荷载达到临界值的前后，势能Π由正定过渡到非正定。对于单自由度体系，则由正定过渡到负定。图3－10势能Π与位移θ的关系曲线(a)P<Pcr；(b)P＝Pcr

；(c)P>Pcr

3结构弹性的稳定计算能量法确定体系临界荷载的基本原理（续173结构弹性的稳定计算例3-4

用能量法重做例3-1，即图3-5所示两个变形自由度的体系。

现在讨论临界荷载的能量特征。在图3-5(b)中，D点的水平位移为

解：

弹性支座的应变能为

荷载势能为

体系的势能为

应用势能驻值条件：

3结构弹性的稳定计算例3-4用能量法重做例3-183结构弹性的稳定计算例3-4(续1)

得(a)

上式就是例3-1用静力法导出的式(a)。也就是说，势能驻值条件等价于用位移表示的平衡方程。能量法以后的计算步骤与静力法完全相同。势能驻值条件(a)的解包括全零解和非零解。求非零解时，先建立特征方程，然后求解，得出两个特征荷载值Pl和P2，其中最小的特征值即为临界荷载Pcr，过程和结果见例3-1的后一半。归结起来，能量法求多自由度体系临界荷载Pcr的步骤如下：⑴写出势能表达式，建立势能驻值条件;⑵应用位移有非零解的条件，得出特征方程;⑶求出荷载的特征值Pi(i＝1、2、…、n);⑷在Pi中选取最小值，即得到临界荷载Pcr。3结构弹性的稳定计算例3-4(续1)得193结构弹性的稳定计算

目录3结构弹性的稳定计算3.1两类稳定问题概述

3.2稳定问题的分析方法——静力法3.3稳定问题的分析方法——能量法3.4剪力对临界荷载的影响3.5组合压杆的稳定3.6窄条梁的稳定3结构弹性的稳定计算目录3结构弹性的稳定计算3.203结构弹性的稳定计算3.1两类稳定问题概述

从稳定性角度来考察，平衡状态有三种不同的情况：

⑴稳定平衡状态⑵不稳定平衡状态⑶中性平衡状态结构稳定计算理论：小挠度理论（通常采用），优点：方法简单，结论基本正确。大挠度理论，特点：结论精确，方法复杂。随着荷载的逐渐增大，结构的原始平衡状态可能由稳定平衡状态转变为不稳定平衡状态。这时原始平衡状态丧失其稳定性，简称为失稳。结构失稳的两种基本形式：分支点失稳和极值点失稳。下面以压杆为例加以说明。

3结构弹性的稳定计算3.1两类稳定问题概述从稳213结构弹性的稳定计算3.1.1分支点失稳

简支压杆的完善体系或理想体系(图3-1(a))：杆件轴线是理想的直线（没有初曲率），荷载P是理想的中心受压荷载（没有偏心）。

在分支点B处，原始平衡路径Ⅰ与新平衡路径Ⅱ同时并存，出现平衡形式的二重性，原始平衡路径Ⅰ由稳定平衡转变为不稳定平衡，出现稳定性的转变。具有这种特征的失稳形式称为分支点失稳形式。分支点对应的荷载称为临界荷载，对应的平衡状态称为临界状态。分支点失稳又称为第一类失稳。图3－1分支点失稳（a）理想的中心受压杆；（b）P－Δ曲线

3结构弹性的稳定计算3.1.1分支点失稳简支压223结构弹性的稳定计算其他结构可能出现的分支点失稳现象

图3－2分支点失稳（a）受结点荷载的刚架；（b）受水压力的圆拱；（c）窄条梁

3结构弹性的稳定计算其他结构可能出现的分支点失稳现象图233结构弹性的稳定计算3.1.2极值点失稳

在极值点处，平衡路径由稳定平衡转变为不稳定平衡。这种失稳形式称为极值点失稳。其特征是平衡形式不出现分支现象，而P-Δ曲线具有极值点。极值点相应的荷载极大值称为临界荷载。极值点失稳又称为第二类失稳。图3－3极值点失稳（a）有初弯曲的压杆；（b）偏心荷载压杆；（c）P－Δ曲线

压杆的非完善体系(图3-3(a)、(b))：具有初曲率和承受偏心荷载的压杆。3结构弹性的稳定计算3.1.2极值点失稳在极值243结构弹性的稳定计算稳定问题与强度问题的区别说明

强度问题是指结构在稳定平衡状态下它的最大应力不超过材料的允许应力，其重点是在内力的计算上。对大多数结构，通常其应力都处于弹性范围内而且变形很小。因此，认为荷载与变形之间呈线性关系，并按结构未变形前的几何形状和位置来进行计算，叠加原理适用，通常称此种计算为线性分析或一阶分析。对于应力虽处于弹性范围但变形较大的结构（如悬索），因变形对计算的影响不能忽略，应按结构变形后的几何形状和位置来进行计算，此时，荷载与变形之间已为非线性关系，叠加原理不再适用，这种计算称为几何非线性分析或二阶分析。

稳定问题的着眼点不是放在计算最大应力，而是研究荷载与结构内部抵抗力之间的平衡上，看这种平衡是否处于稳定状态，即要找出变形开始急剧增长的临界点，并找出与临界状态相应的最小荷载（临界荷载）。由于它的计算要在结构变形后的几何形状和位置上进行，其方法也属于几何非线性范畴，叠加原理不再适用，故其计算也属二阶分析。本章只讨论完善体系分支点失稳，并根据小挠度理论求临界问题荷载。确定临界荷载的方法很多，其中最基本和最重要的是静力法和能量法。3结构弹性的稳定计算稳定问题与强度问题的区别说明253结构弹性的稳定计算3.2稳定问题的分析方法——静力法

根据临界状态的静力特征而提出的确定临界荷载的方法，称为静力法。静力法的要点：是在原始平衡路径Ⅰ之外寻找新的平衡路径Ⅱ，确定二者交叉的分支点，由此求出临界荷载。3结构弹性的稳定计算3.2稳定问题的分析方法——静力法263结构弹性的稳定计算3.2.1静力法确定有限自由度体系的临界荷载

图3-4（a）中，AB为刚性压杆，底端A为弹性支承，其转动刚度系数为k。图3－4单自由度失稳（a）原始平衡形式；（b）平衡的新形式

杆AB处于竖直位置时的平衡形式（图3-4（a））是其原始平衡形式。3结构弹性的稳定计算3.2.1静力法确定有限自由度体系的273结构弹性的稳定计算3.2.1静力法确定有限自由度体系的临界荷载（续）

现在寻找杆件处于倾斜位置时新的平衡形式(图3-4(b))。根据小挠度理论，其平衡方程为

(3-1)

由于弹性支座的反力矩MA＝kθ，所以

(3-2)

式(3-2)是以位移θ为未知量的齐次方程。齐次方程有两类解：即零解和非零解。零解(θ＝0)对应于原始平衡形式，即平衡路径Ⅰ；非零解(θ≠0)是新的平衡形式。为了得到非零解，齐次方程(3-2)的系数应为零，即

(3-3)

式(3-3)称为特征方程。由特征方程得知，第二平衡路径Ⅱ为水平直线。由两条路径的交点得到分支点，分支点相应的荷载即为临界荷载，因此

(3-4)3结构弹性的稳定计算3.2.1静力法确定有限自由度体系的283结构弹性的稳定计算例3-1

图3-5(a)所示是一个具有两个变形自由度的体系，其中AB、BC、CD各杆为刚性杆，在铰结点B和C处为弹性支承，其刚度系数都为k。试求其临界荷载Pcr。图3－5两个自由度的体系（a）原始平衡形式；（b）平衡的新形式3结构弹性的稳定计算例3-1图3-5(a)所示293结构弹性的稳定计算例3-1(续1)

解：设体系由原始平衡状态(图3-5(a)的水平位置)转到任意变形的新状态(图3-5(b))，设B点和C点的竖向位移分别为y1和y2，相应的支座反力分别为

同时，A点和D点的支座反力为

变形状态的平衡条件为

即(a)

这是关于y1和y2的齐次方程。

3结构弹性的稳定计算例3-1(续1)解：303结构弹性的稳定计算例3-1(续2)

如果系数行列式不等于零，即

则零解(即y1和y2全为零)是齐次方程(a)的唯一解。也就是说，原始平衡形式是体系唯一的平衡形式。如果系数行列式等于零，即

则除零解外，齐次方程(a)还有非零解。也就是说，除原始平衡形式外，体系还有新的平衡形式。这样，平衡形式即具有二重性，这就是体系处于临界状态的静力特征。方程(b)就是稳定问题的特征方程。展开式(b)，得由此解得两个特征值：(b)3结构弹性的稳定计算例3-1(续2)如果系数行列313结构弹性的稳定计算例3-1(续3)

其中最小的特征值叫做临界荷载，即图3－6例3-1的失稳形态（a）第一失稳形态；（b）第二失稳形态

将特征值代回式(a)，可求得y1和y2的比值。这时位移y1、y2组成的向量称为特征向量。如将P＝kl/3代回式(a)，则得y1＝－y2，相应的变形曲线如图3-6(a)所示。如将P＝kl代回式(a)，则得y1＝y2，相应的变形曲线如图3-6(b)所示。3结构弹性的稳定计算例3-1(续3)其中最小的特323结构弹性的稳定计算3.3稳定问题的分析方法——能量法

能量法确定体系临界荷载的基本原理

用能量法求临界荷载，仍是以结构失稳时平衡的二重性为依据，应用以能量形式表示的平衡条件，寻求结构在新的形式下能维持平衡的荷载，其中最小者即为临界荷载。

用能量形式表示的平衡条件就是势能驻值原理：对于弹性结构，在满足支承条件及位移连续条件的一切虚位移中，同时又满足平衡条件的位移(因而就是真实的位移)使结构的势能Π为驻值，也就是结构势能的一阶变分等于零，即

这里，结构的势能Π等于结构的应变能U与外力势能Up之和：

仍以图3-4所示单自由度体系为例说明。体系的势能Π为弹簧应变能U与荷载P的势能Up之和。弹簧应变能为3结构弹性的稳定计算3.3稳定问题的分析方法——能量法333结构弹性的稳定计算能量法确定体系临界荷载的基本原理（续1）

荷载势能为

这里λ为B点的竖向位移(见图3-4(b))

体系的势能为(3-7)

因此

应用势能驻值条件，得(3-8)

上式与静力法中的式(3-2)是等价的。由此可见，能量法与静力法都导出同样的方程。换句话说，势能驻值条件等价于用位移表示的平衡方程。能量法余下的计算步骤即与静力法完全相同，即根据位移θ有非零解的条件导出特征方(3-9)

从而求出临界荷载3结构弹性的稳定计算能量法确定体系临界荷载的基本原理（续343结构弹性的稳定计算能量法确定体系临界荷载的基本原理（续2）

归结起来，在分支点失稳问题中，临界状态的能量特征是：势能为驻值，且位移有非零解。能量法就是根据上述能量特征求临界荷载。下面对势能Π作进一步的讨论。由式(3-7)看出，势能Π是位移θ的二次式，其关系曲线是抛物线。如果P<k