数学物理方程概述课件

数学物理方程数学物理方程1教材及教学参考书教材吉林大学数学学院袁洪君、许孝精,数学物理方程，高等教育出版社，2006年6月第1版。参考书彭芳麟，数学物理方程的MATLAB解法与可视化,清华大学出版社，2004年11月第1版。购书地点上海书城（上海市福州路465号）上海理工大学环境与建筑学院教材及教学参考书教材上海理工大学环境与建筑学院2授课内容第一章数学物理方程概述第二章分离变量法和积分变换法第三章行波法第四章格林函数法第五章勒让德多项式第六章定解问题的适定性第七章有限单元法及有限元软件上海理工大学环境与建筑学院授课内容第一章数学物理方程概述上海理工大学环境与建筑学院3第一章数学物理方程概述§1

偏微分方程举例和基本概念§2

方程及定解问题的物理推导§3

两个重要原理上海理工大学环境与建筑学院第一章数学物理方程概述§1偏微分方程举例和基本概念上海理4§1

偏微分方程举例和基本概念自然科学和工程技术中，种种运动的变化发展过程与平衡现象各自遵守一定的规律。描述这些规律通常用关于某个或某些未知多元函数及其偏导数的数学方程式或数学方程组。含有未知多元函数及其偏导数（也可仅含有偏导数）的方程称为偏微分方程。描述物理规律的偏微分方程称为数学物理方程。上海理工大学环境与建筑学院§1偏微分方程举例和基本概念自然科学和工程技术中，种种运动5§1

偏微分方程举例和基本概念常见的数学物理方程有热传导方程Laplace方程弦振动方程梁的横振动方程水波研究中的KdV方程电磁场中用到的二维Cauchy-Riemann方程组空气动力学的连续性方程和动量方程上海理工大学环境与建筑学院§1偏微分方程举例和基本概念常见的数学物理方程有上海理工大6常见的数学物理方程上海理工大学环境与建筑学院常见的数学物理方程上海理工大学环境与建筑学院7常见的数学物理方程常见的数学物理方程8§1

偏微分方程举例和基本概念几个基本概念方程的阶：偏微分方程中未知函数的偏导数的最高阶数；线性偏微分方程：一个偏微分方程F(u,Au)=0关于所有未知函数及所有偏导数都是线性的，则称此方程为线性偏微分方程；非线性偏微分方程：不满足线性偏微分方程条件的偏微分方程；半线性偏微分方程：所有最高阶偏导数都是线性的，而且其系数不含未知多元函数及其低阶偏导数的非线性偏微分方程；拟线性偏微分方程：最高阶偏导数的系数含未知多元函数及其低阶偏导数的非线性偏微分方程。上海理工大学环境与建筑学院§1偏微分方程举例和基本概念几个基本概念上海理工大学环境与9§1

偏微分方程举例和基本概念几个基本概念非齐次项:在线性偏微分方程中,不含未知函数及其偏导数的非零项称为非齐次项;非齐次方程:含有非齐次项的方程称为非齐次方程;齐次方程:不含非齐次项的线性偏微分方程称为齐次方程。上海理工大学环境与建筑学院§1偏微分方程举例和基本概念几个基本概念上海理工大学环境与10§1

偏微分方程举例和基本概念几个基本概念（古典）解:所谓一个m阶偏微分方程在某区域内的（古典）解，是指这样的函数：它有直到m阶的一切偏导数，且本身和这些偏导数都连续，将它及其偏导数替代方程中的未知函数及其对应的偏导数后，这个方程对其全体自变量在该区域内成为一个恒等式;上海理工大学环境与建筑学院§1偏微分方程举例和基本概念几个基本概念上海理工大学环境与11§1

偏微分方程举例和基本概念几个基本概念定解条件:一个偏微分方程的解通常有无穷多个，而每个解都表示一个特定的运动过程。为了从这无穷多个解中找出一个我们所研究的具体实际问题要求的解，必须考虑研究对象所处的周围环境和初始时刻的状态等其它因素对解产生的影响，从而通过在这些方面的考虑，得到一些已知条件。这样就有可能确定出一个特定解，这个解既满足方程本身，又满足我们在考虑各种影响因素时所建立起来的条件。我们把这样的已知条件称为定解条件;定解问题:定解条件联立方程称之为定解问题。并不是每个定解问题都有解。上海理工大学环境与建筑学院§1偏微分方程举例和基本概念几个基本概念上海理工大学环境与12第一章数学物理方程概述§1

偏微分方程举例和基本概念§2

方程及定解问题的物理推导§3

两个重要原理上海理工大学环境与建筑学院第一章数学物理方程概述§1偏微分方程举例和基本概念上海理13§2

方程及定解问题的物理推导2.1弦振动方程的物理推导2.2薄膜平衡方程的物理推导2.3热传导方程的物理推导2.4定解条件和定解问题上海理工大学环境与建筑学院§2方程及定解问题的物理推导2.1弦振动方程的物理推导上142.1弦振动方程的物理推导设有一根拉紧的均匀柔软细弦，其线密度（单位长度质量）为常数，长为l,两端被固定在O,A两点，且在单位长度上受到垂直于OA向上的力F作用。当它在平衡位置附近作垂直于OA方向的微小横向振动时，求弦上各点的运动规律。所谓微小振动是指振动的幅度及弦在任意位置处切线的倾角都很小，弦在偏离平衡位置后，弦上任意一点的斜率远小于1。横向振动是指弦上的点沿垂直于x轴的方向运动。上海理工大学环境与建筑学院2.1弦振动方程的物理推导设有一根拉紧的均匀柔软细弦，其线152.1弦振动方程的物理推导上海理工大学环境与建筑学院2.1弦振动方程的物理推导上海理工大学环境与建筑学院162.1弦振动方程的物理推导以OA为x轴，弦振动方向为另一坐标轴方向建立如图坐标系，并以u(x,t)表示弦上x点处在t时刻垂直于x方向的位移。任取弦上一微段PQ，由于是微小振动，可近似认为PQ的弧长为Δx，沿x方向和u方向力的平衡条件为TQcosβ-TPcosα=0(1)TQsinβ-TPsinα+FΔx=Δxutt(2)上海理工大学环境与建筑学院2.1弦振动方程的物理推导以OA为x轴，弦振动方向为另一坐172.1弦振动方程的物理推导可近似认为TQ=TP=T，则(1)变成了cosβcosα

。（2）变为Tsinβ-Tsinα+FΔx=Δxutt(3)sinβdu(x+Δx,t)/dx=ux(x+Δx,t)(4)sinαdu(x,t)/dx=ux(x,t)(5)将（4）、（5）代入（3），两边同时除以Δx得上海理工大学环境与建筑学院2.1弦振动方程的物理推导可近似认为TQ=TP=T，则(1182.1弦振动方程的物理推导Tuxx(x,t)+F=utt(6)两边同时除以得utt=

a2uxx

+f(7)其中，a2=T/,f=F/这就是弦的强迫横振动方程。若外力F=0，则方程（7）变为utt=

a2uxx

(8)(8)称为弦的自由横振动方程。上海理工大学环境与建筑学院2.1弦振动方程的物理推导Tuxx(x,t)+F=u192.1弦振动方程的物理推导一些其它类型的物理问题，如管道中气体小扰动的传播以及电报方程等问题也可以归结为偏微分方程（7）、（8）的形式，只是其中未知函数表示的物理意义不同，同一个方程反映的不是一个物理现象，而是一类物理现象。上海理工大学环境与建筑学院2.1弦振动方程的物理推导一些其它类型的物理问题，如管道中20§2

方程及定解问题的物理推导2.1弦振动方程的物理推导2.2薄膜平衡方程的物理推导2.3热传导方程的物理推导2.4定解条件和定解问题上海理工大学环境与建筑学院§2方程及定解问题的物理推导2.1弦振动方程的物理推导上212.2薄膜平衡方程的物理推导物理模型：将均匀柔软的薄膜张紧于微翘的固定框架上，除膜自身的重力作用外，无其它外力作用。由于框架的微翘，薄膜形成一曲面，求静态薄膜上各点的横向位移。薄膜平衡方程

uxx+uyy=f(9)忽略重力，（9）变为uxx+uyy=0(10)推导过程从略。上海理工大学环境与建筑学院2.2薄膜平衡方程的物理推导物理模型：将均匀柔软的薄膜张紧222.2薄膜平衡方程的物理推导上海理工大学环境与建筑学院2.2薄膜平衡方程的物理推导上海理工大学环境与建筑学院232.2薄膜平衡方程的物理推导形如uxx+uyy=f(x,y)(11)的方程，称为二维泊松(Poisson)方程。方程uxx+uyy=0(10)称为二维拉普拉斯(Laplace)方程（或调和方程）。上海理工大学环境与建筑学院2.2薄膜平衡方程的物理推导形如上海理工大学环境与建筑学院242.2薄膜平衡方程的物理推导相应地，uxx+uyy+uzz=f(x,y,z)(12)和uxx+uyy+uzz=0(13)分别称之为三维泊松(Poisson)方程和三维拉普拉斯(Laplace)方程（调和方程）。许多物理学和工程技术问题都归结为求泊松方程和拉普拉斯方程的解，如静电场的电势分布，不可压缩流体的定常无旋流场的速度位势等问题。上海理工大学环境与建筑学院2.2薄膜平衡方程的物理推导相应地，上海理工大学环境与建筑25§2

方程及定解问题的物理推导2.1弦振动方程的物理推导2.2薄膜平衡方程的物理推导2.3热传导方程的物理推导2.4定解条件和定解问题上海理工大学环境与建筑学院§2方程及定解问题的物理推导2.1弦振动方程的物理推导上262.3

热传导方程的物理推导物理模型：设有一个导热物体，当此导热物体内各处的温度不一致时，热量就要从高温处向低温处传递，试确定它的内部各点在任意时刻的温度所满足的方程。热传导方程u/t

=a2Δu+f(x,y,z,t)(14)Δ=2/x2+2/y2+2/z2推导过程从略。上海理工大学环境与建筑学院2.3热传导方程的物理推导物理模型：设有一个导热物体，当此27§2

方程及定解问题的物理推导2.1弦振动方程的物理推导2.2薄膜平衡方程的物理推导2.3热传导方程的物理推导2.4定解条件和定解问题上海理工大学环境与建筑学院§2方程及定解问题的物理推导2.1弦振动方程的物理推导上282.4定解条件和定解问题定解条件通常被分为两大类：初值条件和边值条件初值条件：描述运动过程在开始时刻（可设为t=0）介质内部及边界上任一点的状态。边值条件：描述运动过程中边界上各点在任一时刻的状态。上海理工大学环境与建筑学院2.4定解条件和定解问题定解条件通常被分为两大类：初值条件292.4定解条件和定解问题初值条件：弦振动方程：u|t=0=φ(x),u/t|t=0

=ψ(x),0xl热传导方程：u|t=0=φ(x,y,z),(x,y,z)D.泊松方程和拉普拉斯方程:未知函数与时间无关，无初值条件。上海理工大学环境与建筑学院2.4定解条件和定解问题初值条件：上海理工大学环境与建筑学302.4定解条件和定解问题边值条件：通常有三种类型以弦振动方程为例（1）两个端点被固定u|x=0=0,u|x=l=0,t0称为第一边值条件（2）弦的两个端点为自由端，则最后得到的边值条件为u/x|x=0

=0,u/x|x=l

=0称为第二边值条件上海理工大学环境与建筑学院2.4定解条件和定解问题边值条件：通常有三种类型上海理工大312.4定解条件和定解问题（3）两个端点为弹性支撑端，根据胡克定律，最后得到的边值条件为（u/x+σu）|x=0

=0,（u/x+σu）|x=l

=0称为第三边值条件上海理工大学环境与建筑学院2.4定解条件和定解问题（3）两个端点为弹性支撑端，根据胡322.4定解条件和定解问题初值问题（Cauchy问题）:只有初值条件，没有边界条件的定解问题；边值问题：只有边界条件，没有初值条件的定解问题。相应地可分为第一边值问题、第二边值问题、第三边值问题；混合问题：既有初值条件，又有边界条件的定解问题，称为混合问题。上海理工大学环境与建筑学院2.4定解条件和定解问题初值问题（Cauchy问题）:只有33第一章数学物理方程概述§1

偏微分方程举例和基本概念§2

方程及定解问题的物理推导§3

两个重要原理上海理工大学环境与建筑学院第一章数学物理方程概述§1偏微分方程举例和基本概念上海理34§3

两个重要原理杜阿梅尔原理叠加原理上海理工大学环境与建筑学院§3两个重要原理杜阿梅尔原理上海理工大学环境与建筑学院35杜阿梅尔原理设=（x,t,）是初值问题tt=

a2xx，-x+,t>t=

=0，/tt=

=f(x,),-x+的两次连续可微解，则u(x,t)=(x,t,)d是初值问题utt=

a2uxx+f(x,t),

，-x+,t>ut=0=0，u/tt=0=0,-x+的解上海理工大学环境与建筑学院杜阿梅尔原理设=（x,t,）是初值问题上海理工大学环36此课件下载可自行编辑修改，供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！此课件下载可自行编辑修改，供参考！37数学物理方程数学物理方程38教材及教学参考书教材吉林大学数学学院袁洪君、许孝精,数学物理方程，高等教育出版社，2006年6月第1版。参考书彭芳麟，数学物理方程的MATLAB解法与可视化,清华大学出版社，2004年11月第1版。购书地点上海书城（上海市福州路465号）上海理工大学环境与建筑学院教材及教学参考书教材上海理工大学环境与建筑学院39授课内容第一章数学物理方程概述第二章分离变量法和积分变换法第三章行波法第四章格林函数法第五章勒让德多项式第六章定解问题的适定性第七章有限单元法及有限元软件上海理工大学环境与建筑学院授课内容第一章数学物理方程概述上海理工大学环境与建筑学院40第一章数学物理方程概述§1

偏微分方程举例和基本概念§2

方程及定解问题的物理推导§3

两个重要原理上海理工大学环境与建筑学院第一章数学物理方程概述§1偏微分方程举例和基本概念上海理41§1

偏微分方程举例和基本概念自然科学和工程技术中，种种运动的变化发展过程与平衡现象各自遵守一定的规律。描述这些规律通常用关于某个或某些未知多元函数及其偏导数的数学方程式或数学方程组。含有未知多元函数及其偏导数（也可仅含有偏导数）的方程称为偏微分方程。描述物理规律的偏微分方程称为数学物理方程。上海理工大学环境与建筑学院§1偏微分方程举例和基本概念自然科学和工程技术中，种种运动42§1

偏微分方程举例和基本概念常见的数学物理方程有热传导方程Laplace方程弦振动方程梁的横振动方程水波研究中的KdV方程电磁场中用到的二维Cauchy-Riemann方程组空气动力学的连续性方程和动量方程上海理工大学环境与建筑学院§1偏微分方程举例和基本概念常见的数学物理方程有上海理工大43常见的数学物理方程上海理工大学环境与建筑学院常见的数学物理方程上海理工大学环境与建筑学院44常见的数学物理方程常见的数学物理方程45§1

偏微分方程举例和基本概念几个基本概念方程的阶：偏微分方程中未知函数的偏导数的最高阶数；线性偏微分方程：一个偏微分方程F(u,Au)=0关于所有未知函数及所有偏导数都是线性的，则称此方程为线性偏微分方程；非线性偏微分方程：不满足线性偏微分方程条件的偏微分方程；半线性偏微分方程：所有最高阶偏导数都是线性的，而且其系数不含未知多元函数及其低阶偏导数的非线性偏微分方程；拟线性偏微分方程：最高阶偏导数的系数含未知多元函数及其低阶偏导数的非线性偏微分方程。上海理工大学环境与建筑学院§1偏微分方程举例和基本概念几个基本概念上海理工大学环境与46§1

偏微分方程举例和基本概念几个基本概念非齐次项:在线性偏微分方程中,不含未知函数及其偏导数的非零项称为非齐次项;非齐次方程:含有非齐次项的方程称为非齐次方程;齐次方程:不含非齐次项的线性偏微分方程称为齐次方程。上海理工大学环境与建筑学院§1偏微分方程举例和基本概念几个基本概念上海理工大学环境与47§1

偏微分方程举例和基本概念几个基本概念（古典）解:所谓一个m阶偏微分方程在某区域内的（古典）解，是指这样的函数：它有直到m阶的一切偏导数，且本身和这些偏导数都连续，将它及其偏导数替代方程中的未知函数及其对应的偏导数后，这个方程对其全体自变量在该区域内成为一个恒等式;上海理工大学环境与建筑学院§1偏微分方程举例和基本概念几个基本概念上海理工大学环境与48§1

偏微分方程举例和基本概念几个基本概念定解条件:一个偏微分方程的解通常有无穷多个，而每个解都表示一个特定的运动过程。为了从这无穷多个解中找出一个我们所研究的具体实际问题要求的解，必须考虑研究对象所处的周围环境和初始时刻的状态等其它因素对解产生的影响，从而通过在这些方面的考虑，得到一些已知条件。这样就有可能确定出一个特定解，这个解既满足方程本身，又满足我们在考虑各种影响因素时所建立起来的条件。我们把这样的已知条件称为定解条件;定解问题:定解条件联立方程称之为定解问题。并不是每个定解问题都有解。上海理工大学环境与建筑学院§1偏微分方程举例和基本概念几个基本概念上海理工大学环境与49第一章数学物理方程概述§1

偏微分方程举例和基本概念§2

方程及定解问题的物理推导§3

两个重要原理上海理工大学环境与建筑学院第一章数学物理方程概述§1偏微分方程举例和基本概念上海理50§2

方程及定解问题的物理推导2.1弦振动方程的物理推导2.2薄膜平衡方程的物理推导2.3热传导方程的物理推导2.4定解条件和定解问题上海理工大学环境与建筑学院§2方程及定解问题的物理推导2.1弦振动方程的物理推导上512.1弦振动方程的物理推导设有一根拉紧的均匀柔软细弦，其线密度（单位长度质量）为常数，长为l,两端被固定在O,A两点，且在单位长度上受到垂直于OA向上的力F作用。当它在平衡位置附近作垂直于OA方向的微小横向振动时，求弦上各点的运动规律。所谓微小振动是指振动的幅度及弦在任意位置处切线的倾角都很小，弦在偏离平衡位置后，弦上任意一点的斜率远小于1。横向振动是指弦上的点沿垂直于x轴的方向运动。上海理工大学环境与建筑学院2.1弦振动方程的物理推导设有一根拉紧的均匀柔软细弦，其线522.1弦振动方程的物理推导上海理工大学环境与建筑学院2.1弦振动方程的物理推导上海理工大学环境与建筑学院532.1弦振动方程的物理推导以OA为x轴，弦振动方向为另一坐标轴方向建立如图坐标系，并以u(x,t)表示弦上x点处在t时刻垂直于x方向的位移。任取弦上一微段PQ，由于是微小振动，可近似认为PQ的弧长为Δx，沿x方向和u方向力的平衡条件为TQcosβ-TPcosα=0(1)TQsinβ-TPsinα+FΔx=Δxutt(2)上海理工大学环境与建筑学院2.1弦振动方程的物理推导以OA为x轴，弦振动方向为另一坐542.1弦振动方程的物理推导可近似认为TQ=TP=T，则(1)变成了cosβcosα

。（2）变为Tsinβ-Tsinα+FΔx=Δxutt(3)sinβdu(x+Δx,t)/dx=ux(x+Δx,t)(4)sinαdu(x,t)/dx=ux(x,t)(5)将（4）、（5）代入（3），两边同时除以Δx得上海理工大学环境与建筑学院2.1弦振动方程的物理推导可近似认为TQ=TP=T，则(1552.1弦振动方程的物理推导Tuxx(x,t)+F=utt(6)两边同时除以得utt=

a2uxx

+f(7)其中，a2=T/,f=F/这就是弦的强迫横振动方程。若外力F=0，则方程（7）变为utt=

a2uxx

(8)(8)称为弦的自由横振动方程。上海理工大学环境与建筑学院2.1弦振动方程的物理推导Tuxx(x,t)+F=u562.1弦振动方程的物理推导一些其它类型的物理问题，如管道中气体小扰动的传播以及电报方程等问题也可以归结为偏微分方程（7）、（8）的形式，只是其中未知函数表示的物理意义不同，同一个方程反映的不是一个物理现象，而是一类物理现象。上海理工大学环境与建筑学院2.1弦振动方程的物理推导一些其它类型的物理问题，如管道中57§2

方程及定解问题的物理推导2.1弦振动方程的物理推导2.2薄膜平衡方程的物理推导2.3热传导方程的物理推导2.4定解条件和定解问题上海理工大学环境与建筑学院§2方程及定解问题的物理推导2.1弦振动方程的物理推导上582.2薄膜平衡方程的物理推导物理模型：将均匀柔软的薄膜张紧于微翘的固定框架上，除膜自身的重力作用外，无其它外力作用。由于框架的微翘，薄膜形成一曲面，求静态薄膜上各点的横向位移。薄膜平衡方程

uxx+uyy=f(9)忽略重力，（9）变为uxx+uyy=0(10)推导过程从略。上海理工大学环境与建筑学院2.2薄膜平衡方程的物理推导物理模型：将均匀柔软的薄膜张紧592.2薄膜平衡方程的物理推导上海理工大学环境与建筑学院2.2薄膜平衡方程的物理推导上海理工大学环境与建筑学院602.2薄膜平衡方程的物理推导形如uxx+uyy=f(x,y)(11)的方程，称为二维泊松(Poisson)方程。方程uxx+uyy=0(10)称为二维拉普拉斯(Laplace)方程（或调和方程）。上海理工大学环境与建筑学院2.2薄膜平衡方程的物理推导形如上海理工大学环境与建筑学院612.2薄膜平衡方程的物理推导相应地，uxx+uyy+uzz=f(x,y,z)(12)和uxx+uyy+uzz=0(13)分别称之为三维泊松(Poisson)方程和三维拉普拉斯(Laplace)方程（调和方程）。许多物理学和工程技术问题都归结为求泊松方程和拉普拉斯方程的解，如静电场的电势分布，不可压缩流体的定常无旋流场的速度位势等问题。上海理工大学环境与建筑学院2.2薄膜平衡方程的物理推导相应地，上海理工大学环境与建筑62§2

方程及定解问题的物理推导2.1弦振动方程的物理推导2.2薄膜平衡方程的物理推导2.3热传导方程的物理推导2.4定解条件和定解问题上海理工大学环境与建筑学院§2方程及定解问题的物理推导2.1弦振动方程的物理推导上632.3

热传导方程的物理推导物理模型：设有一个导热物体，当此导热物体内各处的温度不一致时，热量就要从高温处向低温处传递，试确定它的内部各点在任意时刻的温度所满足的方程。热传导方程u/t

=a2Δu+f(x,y,z,t)(14)Δ=2/x2+2/y2+2/z2推导过程从略。上海理工大学环境与建筑学院2.3热传导方程的物理推导物理模型：设有一个导热物体，当此64§2

方程及定解问题的物理推导2.1弦振动方程的物理推导2.2薄膜平衡方程的物理推导2.3热传导方程的物理推导2.4定解条件和定解问题上海理工大学环境与建筑学院§2方程及定解问题的物理推导2.1弦振动方程的物理推导上652.4定解条件和定解问题定解条件通常被分为两大类：初值条件和边值条件初值条件：描述运动过程在开始时刻（可设为t=0）介质内部及边界上任一点的状态。边值条件：描述运动过程中边界上