简谐运动 机械波多解问题

简谐运动、机械波的多解性简谐运动是质点运动的一种基本模型，它的基本特点就是周期性和对称性．在解答某些问题时，如果能充分利用其对称性，不仅物理过程简单明了，而且解答也很简洁．波的传播和介质各质点的振动之间有密切的内在联系，在求解此类问题时，如果质点振动或波的传播方向不确定和波的传播时间不确定等，就容易出现多解现象．解题时往往人为地选定某一方向为波的传播方向或是质点的振动方向，造成漏掉一个相反方向的可能解．如果解题中又不能透彻分析题意，合理使用已知条件，就会造成解答不完整，或用特解代替通解现象．简谐运动的多解性简谐振动的多值性：作简谐振动的质点，是一个变加速运动，质点运动相同的路程所需的时间不一定相同．简谐振动是周期性的运动，若运动的时间与周期存在整数倍的关系，质点运动的路程是唯一的，若运动时间为周期的一半，运动的路程具有唯一性．若不具备以上条件，质点运动的位移是多值的．情形一：简谐振动的对称性引出的多值例1.一个做简谐运动的质点在平衡位置O点附近振动，当质点从O点向某一侧运动时，经3s第一次过P点，再向前运动，又经2s第二次过P点，则该质点再经 s的时间第三次过P点.图14-1分析与解：由题意“从O点”出发，“过P点继续”运动知，P点不是平衡位置和位移最大的特殊点，做出示意图，题中未明确质点第一次从O到P图14-1若质点沿图14-1中①的方向第一次过P点，历时3s；T由P到b再由b到P共历时2s，则由其对称性知P、间往返等时，各为1s，从而可知丁=4s，4周期T=16s，第三次再过P点，设由P向左到a，再返回P，历时一个周期T减去P、b间往返用的2s，需时t=（16—2）s=14s.若沿图1中②的方向第一次过P点，由对称性可知，从O到P的时间与从P到O的时间相等，设为t'，则有：3—t'=2+2t'=-41610由上式解得t=3s,T=亍s,质点第三次过P点历时t=T-2=—s，故此时的答10案为：14s或—s.情形二：运动方向性引出的多值性TOC\o"1-5"\h\z例2.一质点做简谐运动，从平衡位置开始计时，经过0.5s在位移最大处发现该质点，则此简谐运动的周期可能是（ ）1 1A・2s B.—s C.—s D.—s2 4解：质点从平衡位置开始运动时，是先向发现点运动还是背离发现点运动，题目中并未说明，故分析时应考虑两种情况：若质点先向发现点运动，设周期为T则，t=（n+：）T,且n=0、1、2、3……

由上式可知答案A正确;3若质点先向背离发现点运动’设周期为T则，t=(n+4)T，且n=0、由上式可知答案A正确;3若质点先向背离发现点运动’设周期为T则，t=(n+4)T，且n=0、】、2、3由上式可知答案B正确.情形三：周期性变化引出的多值性在解决与振动有关的问题时，要充分考虑到振动的周期性，由于振动具有周期性，所以此类问题往往答案不是一个而是多个.例3.如图14-2所示，光滑圆弧轨道的半径为R圆弧底部中点为O,两个相同的小球分别在O正上方h处的A点和离O很近的轨道B点，现同时释放两球，使两球正好在O点相碰。问h应为多高？分析与解： 对A球，它做自由落体运动，自h高度下落至O点h二-gt2t2-A对B球可视为单摆，延用单摆周期公式可求B球到对B球振动周期到达O点的时间为TTn1t=n一+ =(—+)T (n=0,1,-2-,B24 24.tB(2n+1) Qil2丿要求两球相碰，则［=tB,即g解得：h=(2n+1)2__8__(n=0,1,2,-)机械波的多解性机械波在传播过程中时间上和空间上的周期性、传播方向的双向性、以及质点振动方向的不确定性都是形成波动问题多解的主要原因，解题时稍一疏忽就会出现漏解.情形一：时间、距离不确定形成多解沿着波的传播方向，间距等于数倍波长的两相邻质点振动情况完全相同;在振动时间上，间隔等于整数倍周期的两相邻质点振动情况也完全相同，所以，已知条件若没有给定波传播的时间或没有给定波传播距离，就会出现多解现象.例4.如图13-3所示，实线表示t时刻的图线，箭头表波的传播方向，虚线表示经

过时间At后的波形图，已知波长为九，试求波的传播速度.分析与解：因未给定波传播距离，比较实线波形和虚线波形，在时间△t内，波向TOC\o"1-5"\h\z3 7 11图14-3右传播距离可能是丁入，丁入，入, 图14-34 43故Ax=(n+二)九，(n=0,1,2…)，则波的传播速度通解为:4\o"CurrentDocument"Ax . 3、a/. (4n+3)九._._ .v= =(n+—)九/At= ，(n=0,1,2…)At 4 4At情形二：方向不确定性出现多解波源起振后产生的波可以在介质中向四周传播.若题中没有特别注明传播方向，则求解时必须讨论其传播方向，从而导致了波的多解问题.例5.如图14-4(甲)所示，绳中有一列正弦横波，沿x轴传播，a、b是绳上两点，它们在x轴上的距离小于一个波长，当a点振动到最高点时，b点恰好经过平衡位置向上运动.试在图上a、b之间画出波形图.分析与解:本题没有注明波的传播方向，所以需分波向+x轴，-x轴方向传播讨论.由于a、b间距离小于一个波长.因此a、b间不足一个波形，其图像如图14-4(乙)所示，①为波向+x轴传时波形，②为波沿-x轴传时的波形.图14-4情形三：波的时间周期性而形成多解在波传播过程中，当经过的时间是周期的整数倍时，波形与原来相同，形成波的各质点的振动情况也与原来时刻相同.所以，已知条件没有给定传播时间与周期间的关系时，就会出现多解问题.如在解题时只分析传播时间At〈T图14-4情形三：波的时间周期性而形成多解在波传播过程中，当经过的时间是周期的整数倍时，波形与原来相同，形成波的各质点的振动情况也与原来时刻相同.所以，已知条件没有给定传播时间与周期间的关系时，就会出现多解问题.如在解题时只分析传播时间At〈T的情况就会造成特解代替通解的漏解现象.例6.一列横波在t=0和t=1s时刻的波形如下图14-5中实线和虚线所示.由此可判定此波的( ).A波长一定是4cm；B周期一定是4S；C振幅一定是2cm；D传播速度一定是1cm・S-1分析与解：由图可直接得出振幅A=2cm，波长九=4cm，故A、C正确；但波的传播方向和周期T与At之间的关系均未知，故周期与波速应有多解：若波向右传播，则At=(n+~)T从而4l-'cm图14-5s=ns=n+1/44n+1s(n=0,1,2…)九所以v= =0.01x(4n+1)mDs-=(4n+1)cmDs-i(n=0,1,2…).t4T s同理可得当波向左传播时 4n+3v=(4n+3)cmDs-1(n=0,1,2…). 故B、D错误.情形四：质点振动方向导致的多解问题例7.如图14-6所示，为一列简谐横波在某时刻的波形图，图中P点为介质中一质点，此时刻P恰好位于平衡位置，已知波的周期为0.4s，则质点P到达波峰的时间为多少？分析与解：根据质点的振动情况解决问题如果质点P从此时刻开始向上运动，则需要经过1T到达最高点，即0.1s;如果质点P从此43时刻开始向下运动，则需要经过丁T到达最高点，即0.3s.4情形五：波长不确定出现的多解沿着波的传播方向，相隔整数倍个波长的两个质点振动的步调是完全相同的，所以当题中已知条件没有明确波传播的距离和波长的关系时，会出现多解现象.例&如图14-7所示，一列横波沿x正方向传播，波速大小为600m/s，当离原点3m的A质点恰在平衡位置且向上振动时,离原点6m的B质点正处于x轴上方最大位移5cm处,试求此列波的频率.分析与解：根据题意可以判断出，AB之间的距离3s=(n+—)九 (n=1,…，34s12所以波长九= 3= (n=1,2,3…),3 4n+3图14-7n+图14-74v再根据v=九f，可以得到f= =200n+150H九 Z情形六：形状的周期性造成的多解问题例9.在机械波的传播方向上有a、b两个质点，ab间距为L.某一时刻，当a点处于正的最大位移处时，b点刚好在平衡位置；经过一段时间t后，发现a点在平衡位置，b点在负的最大位移处。若时间t小于一个振动周期T,且波向右传播，则波的传播速度为多少?分析与解:该例题给出了波的传播方向，但未给出ab间距为L与波长之间的关系。因此分析可知，可能会出现图14-8、图14-9两种情形。图中点b、b、b„„表示满足条件的相差波长整数倍的点。

图14-9图14-8图14-9根据图14-8可知：ab间距L=(n+；)九(neN).由于t〈T,所以，不论点b在何处,43

满足条件的各点的振动时间均为t—-T,因此图14-8对应的传播速度为：4L1九n*4 3L 帖v= = = ,neNT4 (4n+1)t—t33根据图14-9可知：ab间距L=(n+3)X(neN).由于t〈T,所以，不论点b在何处,4满足条件的各点的振动时间均为t=1T,因此图14-8对应的传播速度为：4L3n+九 4L ATv= = = ,neNT 4t (4n+3)t情形六：质点振动图像导致的多解问题例10.一列沿+x轴传播的简谐波，在x=10cm和x=110cm处的两点振动图线分12别如图14-10中实线和虚线所示，试求质点振动周期和简谐波的波长．图14—10图14-11图14—10分析与解：题目只给定了两个质点振动图像，从图像较易得出，振动周期为4s,同时振动图像还揭示了质点的位置关系.x质点在t=0时刻位于正的最大位移处，x质点12此时位于平衡位置且向上振动．但满足此条件的，位置有许多个．图14-11中的A、B、C„„等.因此，机械波的波长有多个答案.x、x间距遵循12x-x=九+n九,(n=0,1,2)214

4从而可得X= m (n=0,1,2)4n+1练习141•某简谐振动物体由平衡位置出发开始振动,频率为0.25Hz,它在什么时刻速度最大？什么时刻加速度最大？2.质点作简谐振动，从某位置开始经过3s又回到该位置，再经过4s质点离平衡位置的距离和原来相同,则它的周期多大？3•一列频率为50Hz的横波在x轴上传播,某时刻，在x=-2m的质点A正通过平衡位置向上运动时，在x=4m处的质点恰好处于上方最大位移处(1)设这列波的波长大于6m,若沿x轴正方向传播,则波速多大?若沿x轴负方向传播,则波速多大?(2)若这列波的波速为240m／s,求波的传播方向4.在坐标原点O处有一波源S,它沿y轴做 2仁沏频率为50Hz、振幅为2cm的简谐运动，形成的波可沿x轴正、负方向传播，波速为20m/s,开始振一1^~一F荷亦戒T一 盂一盂动时S恰好通过O点沿y轴正方向运动，求： 小当S完成第一次全振动时，在图14-12上画 图14-12出此时刻的波形图；如果波传到坐标为x1=2.7m的M点时,还要经历多少时间才能传到坐标为x2=-2.9m的N点?波传到N点时质点M在什么位置？3参考答案：1.2ks,(2k+1)s2.14s,8s,14/3s3.