传媒通信-课件第八章

系统的描述方8章系统系统的描述方据系统的数学模型可

输入—输出描述法(又称外部法状态变量1)1)输入—输出描述法(又称外部法建立e(•)与y(•)之间的数学模型

e(i

y(i)LTI输入—输出描LTI用一个n阶微(或差)分方程描述适用于单分析的复杂性 2)2)状状态变量描述法的特点e1(i)e2(i)ep(i)

LTILTI状态变量描

y1(i)y2(i)yq(i)

其中x1(t)…xn(t为状态变量建立状态状态方程用n个一阶微(或差)分方程组提供系便于分便于用计算机进行求解. 一、状态8.1状一、状态8.1状态方

iL

Lu

i2

可见，在任何瞬间只要知道iL(t)uc(t)和激励iL(t)uc(t)提供了确定网络全部状况所需要称iL(t),uc(t)为该系统u2(t)uc(t)us2(t u

ic

i2(t)

(t)us

(t)]/R

uc(t)

ic(t)iL(t)[uc(t)us2(t)]/ u1(t)R1iL

(t

uL(t)us1(t)uc(t)R1iL(t 对于LTI动态系统，如果有一组独立、完备的变量x1(t)xn(t)，在任意时刻t，都能由x(t0)以及tt0时的激励一同确定系统在tt0的全部工作状况，则称这一组变量为系统的状态变量。 状态：状态变量在某一时刻状态：状态变量在某一时刻t0x1(t0)x2(t0)xn(t0)tt0时工作积累的结果初始初始状态：把t=t0=0作为讨论问题的起点，则状态变量在t=0-刻的值x1(0-)x2(0-)xn(0-)称系统的初始状态。已知初始状态和t≥t0时系统的激励，就能完全确定3)、状态状态变量通常用x1(t)，x2(t)xn(t)表示，n阶系统有n个状态变x1(t)x(t)x(t) [x(t x(t) x(t

x(t

1)状态方状态1)状态方2)输出方状态变量的一阶导数与2)输出方输出方程描述:输出与状态变量和输入之间的

iL

u

i

u2(t)

(t)

i2(t)[uc(t)us2(t)]/ u

u(t)

u

(t)

(t)

(t)R

1 i(t)i(t)[u(t) (t)]/R

s 2u1(t)R1iL(t 图中为us(t)为输iL(t),uc(t)为状态变量,以u1(t),u2(t)为作为输diL(t)R1i(t)1u(t)1u L Ldu

L

i(t) [u(t)u(t)] C

输出方程（一组代数方程u(t)u(t)u(t)u(t) (t)(2)u1(t)R1iL(t)2cs

diL(t)R1i(t)1u(t)1u(t)

u1(t) L L

L

u(t)u(t) (t)(2)du

s i(t) [u(t)u(t)] C

一阶微分方

一组代数方x(t)i x(t)u x(t)diL(t) x(t)duC(t 令

dt dtx(t)R1x(t)1x(t)1ex(t)R1x(t)1x(t)1e1L1L21x(t)21Cx1L11RCx2e22RC2状态方程的一般形1 LL L+21x e2

us2(t),

y1(t)

u1(t),

y2(t)

u2状态状态方程的矩阵yy(t)x(t)ey1(t)22 y1 x1 1 01n阶多输入多输出的连续系统，设有p个输入,q则系统状态方程的一

a1n

b1px x

e

2n 2p

(8 #

# #

# #

e

annxn

bn1

bnp 简写为xt)AxtBet

(87

状态方程（一阶微分方程组

d1pe1(t)y

x

e(t)

2n

2p

(8 #

# #

# #y

x

e

qn

简写为：y(tCx(tDe(tx(t)Ax(t)Be(t)

(8

输出方程（一组代数方程y(t)Cx(t)De(t)

动态方程(或系统方程

e()

x(t或B或B或D x

y()xx(t)Ax(t)Be(t)y(t)Cx(t)De(t)x(k1)Ax(k)Be(k)y(k)Cx(k)De(kAAC矩阵C8.2.1连续系统状态变量分析的关键在于状态变量的选8.2.1连续系统 状态方diL(t)状态方diL(t)R1i(t)1u(t)1u(t)LL du1CiL1cLLRC[u(t)u(t)]c2

iL

uc(t)

u(t)R

(t) 1

由电路图列写动态方

u2(t)uc(t)us2

输出方第一步:选独立电容电压和独立电感电流为状第二步:对含电容的节点列KCL方程,含电感的回路列KVL方程消去非状态变量，并整理成状态方程的一般第四步:方程

状态变量的一阶导数与状态变量和输:电路变间式 iL

i2

x(t)i(t),x(t)u i

x(t)iL(t),x(t)uC

d

e1(t)is(t),e2(t)y1(t) y2(t)di

1 1i(t) u(t)1i

x Lx e L L L

du

1 1 i u

u(t)]

R

R C

x(t)Ax(t)Be(t (87u1(t)R1iL(t)R1is(t) y1(t) 0x1(t) 0u(t)u(t)u(t) y 1x 1e

y(t)Cx(t)De(t (8 2.2.由微分方程建立系统的状态方程(动态方程 ay(i)(t)be(j)(t

n阶连续系统的输入- i jx(t)Ax(t)Be(t (87需要解决

状态方程描述：状态变量的一导数与状态变量和输入的如何由已知系统微分方程，写出其状态方程及输出方程

11x 11

y(ty(t)x1(t

设x1(t)y(t x2(t)y(t)为状态变y(t)ay(t)ay(t 例2：某一LTI连续系统其微分y(ta2y(ta1y(ta0y(t)e(t)求该系统的动态方程解：设状态变量分

x1(t)y(t)x(t)y(t) x(t) 可写出

x1y(t)x2x2y(t)x3y(t)a0y(t)a1y(t)a2y(t)e(t输出方程y(tx1(t

a0x1a1x2a2x3e(t

0x1

x12x2

y 0x2

2 2323

ax

xx(t)Ax(t)Be(ty(t)Cx(t)De(t状态方

输出方 例3：某一LTI连续系统其微分y(t)a2y(t)a1y(t)a0y(t)b2e(t)b1e(t)b0e(t注意:右边含e(t)的导数项时需要设辅助函数解：q(ta2q(ta1q(ta0q(te(t设状态变x1(t)q(t)x(t)q(t)

状态x1q(t)

n=m时D矩阵 x2q(t)x3x(t)q(t)

x3

(t)a0q(t)a1q(t)a2q(t)e(t输出方程q(tx1(t利用微分性和线性性质

a0x1a1x2a2x3e(ty(t)b0q(t)b1q(t)b2q(t)b0x1(t)b1x2(t)b2x3(tx1yy 2输出方

x(t)x(t)Ax(t)Be(ty(t)Cx(t)De(tx2101x00x1 2

具体步骤：(1)选一阶子系统(积分器）例例4LTs39s226se141yx3x21x1(1) 100 1xy40xx12(2)(2)3s 3s

2

3

4(3)(3) 1 s39s2 s2 s3 结 1 1 对角

s39s2 s2 s3 s42 44x1 x2 0 2x20ey 0x12x1 200x0x1 2y 3xx12H(s(例5：已知某系统H(s)

s39s226s

,列出该系统的动态方解：法H(s)转化为微y(t)9y(t)26y(t)24y(t)4e(t)10e(tH(s)画出流 e

x

y9

x2

101x0x122y40xx12

由框图或流图建立动态方程比较直例6：已知某一个两输入两输出系统其数学模y1(t)2y2(t)e1(t解

(t)

e

s1 y1y画流

选各积状态方

x0 1 12 3021x0 1 2 1y1y2010x10x23 8.2.28.2.2x(t)Ax(t)Be(ty(t)Cx(t)De(t

(8-46(8-47

连续系统的动态 aniy(ki)bmje(k x(k1)Ax(k)Be(ky(k)Cx(k)De(k

(8(8

离散系统的动态ina (ina (t)(iijmb(jj(tx(k1)Ax(kx(k1)Ax(k)Be(k)y(k)Cx(k)De(k例7：某一LTI离散系统其差分y(k3y(k1)2y(k25y(k3)e(k)求该系解：设状x(k)y(k3)

写出状态 x2(k)y(k x(k)y(k1) 输出方

x(k1) 5y(k3)2y(k2)3y(k1)5x1(k)2x2(k)3x3(k) 状态方程和输出方程的矩阵xx(k1)2 101x02 y 3x(k)2中例8：某一LTI离散系统其差分方程如下求该系统的动态中注意:右边含e(k)的移位项时需要设辅助函数y(k)3y(k1)2y(k2)5y(k3)注意:右边含e(k)的移位项时需要设辅助函数q(k)3q(k1)2q(k2)5q(k3)e(kyy 6x2x(k1)x1(k1)2 101x0x1(k)2 y(k)6q(k1)3q(k2)6x3(k)3x2例7：某一LTI离散系统其差分y(k3y(k1)2y(k25y(k3)e(k)求该系xx(k1)2 101x0252 y 22.由信号

分直接型、级具体步骤：(1)选具体步骤：(1)选一阶子系统延时器(即z-1)的输出根据每个一阶子系统的输入-在系统的z-已z-解

z36z211z

y(k(1)(1)x1(k) 0x1(k)2 0xyx(k1)2 0xy

传(2)(2)e1

x3

2

1

结 1x1

0x

1 1

x2(k1)

0

x

3x

1x(k1)z

对角

H(z)2zH(z)2zz36z211zz1z z z41x(k1)2x1 2202x2y(k)00x12H(z)2zz36z211zz z z 4 y(k)1xx12中国传媒大学信 例10:某二输入二输出的离散系统框图如下，试列写出其动态方。

y1(ke2(k)

y2(k解：x(k

0x 1 1

ex(k1)

x(k)

0

ey(k1y(k21011y(k1y(k21011x1(kx(k)0e(k2101e(k3 3 由系统函数求动态方法是先将H(z)转化为微分方程，再建立状态 法是先由H(z)画出框图或流图，然后建立状态方程例11：已Hz

z1z12z1z

列出该系统的动态方解：法一H(z)转化为差分

2)

法二H(z)画出流图或11 e

x1(k1)x1(k1) 1 1x1(k)y(k)xx(k)1 8.38.3状态方程的求解2.连2.连续系一、变换域解根据矩阵函数积分的概念，一个n维状态矢量x(t)ℒx(t)

ℒx(t), " ℒx(t)XX(s)ℒx(t

n维矢输入、输出矢量的拉斯变n维矢EE(s)ℒe(tp1.连续系统状态方程的时域解法（略x(t)Ax(t)1.连续系统状态方程的时域解法（略x(t)Ax(t) 8.3.1连续系统 院

q维矢 x(t)Ax(t)x(t)Ax(t)Be(ty(t)Cx(t)De(t(8-46)(8-47)X(s)[sIA]1x(0)[sIA]1BE(sX(s)x(0)AX(s)BE(s[sIA]X(s)x(0)BE(s)对上式两边乘以sIA1对式(8–47取拉斯变换Y(s)CX(s)DE(s) (8-将(8–77)式代入(8–78)可Y(s)=C[sIA]1x(0)C[sIA]1BD 令 ()称预解矩X(s)(s)x(0) 大Y(s)=C(s)x(0)[C(s)B (8-83)学信 大X(s)(s)x(0)(s)BE(sY(s)=C(s)x(0)C(s)BDE(sYzi(s) Yzs(s

(8-(8-∵yzs(t)=h(t)e(t Yzs(s)=H(s)E(sHH(s)[C(s)BD]q (8-85h(t)H(sh(t)称为冲激响应

H(s)称为系统函数矩(或转移函数矩

(s)

(s)

h1

(s)

第i行第j列的H(s)h21(s)

h22(s)

h2p(s)

素Hij(s)是第 个输出分量对 j个输入 hq2(s) hqp(s)国传媒大学移函数H(s)[C(s)BH(s)Cadj(sIA)BDdet(sI-det(sIA

S平面的左半平面时，(注:复杂系统用罗斯准则判断三三、系统的频率响应矩如果系统函数矩阵H(s)在j轴上收敛(亦即如果系统函数矩阵H(s)在j轴上收敛(亦即的所有元素在j轴上收敛)，则系统的频率响应矩阵

sjCjI B

(8-(s)[sI(s)[sIA]1=adj[sIdet[sI例12：描述LTI因果系统的状态方程和输x1(t)

2x1(t

0

x1(tx(t 4x(t

1[e(t y(t) 1x(t

x1(0-)=3，x2(0-)=2，e(t)=δ(t)。求x1(t),x2(t),y(t),并判断其稳定性。解(sIA)s1 01 2s1 2

1

s s4 (s)

(s2)(s3) s

129 2

(s2)(s s s

[1] 6 9 s1 9

X(s)(s)x(0)(s)BE(s)(s)[x(0)

s(s)[sIA]1=adj[sIdet[sI 3(s 129(s2)(s s sX(s) 6 sx(t

12e2t9e3ty(t)

(t)(tx2(ty(t)6e2t(t)(t

9e3t6e2t H(s)的极点就是|sI-A|=0的根。|sI-

2s1 2s

1

x(t)12ex(t)12e9e9e6e(t由于H(s)的极点均在左半平面，故该 8.3.28.3.2离散系统状(动)态方程的求解xx(k1)Ax(k)Be(ky(k)Cx(k)De(k(8(81.离散系统状态方程的时域解法（略2.离2.离散系一、变换域解一个n维状态矢量x(k)的z变换

",Zxn(kX(z)Zx(kTZx(k)X(z)Zx(kT简记

Zx2(kn输入、输出矢量的z变换简nEE(z)Ze(kpY(z)Zy(k

(8-105)

q维矢量院许信由z变换的移位性质，对式(8–90)取z变换zX(z)zx(0)AX(z)BE(z

f(k1)(k)zF(z)f(0)[zIA]X(z)zx(0)BE(z)对上式两边乘以zIA1

x(k1)Ax(k)y(k)Cx(k)

(8(8XX(z)[zIA]1zx(0)[zIA]1BE( 对式