2022年上海市师范大学附属第二外国语学校高三考前热身数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：12．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。2x2x函数y 的图像大致为（ ）.xcosxB．C． D．已知函数yfx是定义在R上的奇函数函数f(x)满足f(x)fx4且x0,时，f(x)lo2x1，则ff2019（ ）A．2 B．C．1 D．1网格纸上小正方形边长为1单位长度，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）4B．3x2 y2

C．3 D．4若双曲线C: 4 m2

1的焦距为4 5，则C的一个焦点到一条渐近线的距离为（ ）A．2 B．4 C．19 D．219已知函数fxaax1，若fx0xR恒成立，则满足条件的a的个数为（ ）e e A．0 B．1 C．2 D．3ABCC2

CA2 2DAB的中点，将它沿CDA

间的距离为2 3，此时四面体ABCD 的外接球的表面积为（ ）.A．B．20 53

C．12 D．20z

11

z2i（其中z为z的共轭复数，则z的值为( )A．1 B．2 C．3 D．5p：存在实数

，对任意实数x，使得sinxx0

sinx恒成立；q：a0，f(x)lnax为奇函数，ax则下列命题是真命题的是（ ）A．pq

B．(p)(q) C．p(q) D．(p)qf(x)

xcos

, 上的图象大致为（ ）2x2x 2 2A． B． C．D．f(xln

11

|的图象大致为A． B． C．D．如图所示，已知双曲线Ca2

y2b2

0,b0)F，双曲线CA，它关于原点O的对称点为B，满足120，且|BF2|AF|，则双曲线C的离心率是（ ）. 32

3 ．712．若(1＋2ai)i＝1－bi，其中a，b∈R，则|a＋bi|＝( A．1 B．5 C．5 D．52 21二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。1在(x )6的展开式中，常数项用数字作)xABCABC内有一个与其各面都相切的球OABCABC外有一个外接球O若1 1 1 1 1 1 2ABBC,AB3BC4则球O2

的表面积为 .若

2 nx 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中各项的系数和是 ． x2已知复数zi（i为虚数单位）为纯虚数，则实数a的值为 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）如图，在斜三棱柱ABCAB

ABCA

，

2，ABC，△ACC

，均为正三角形，EAB的中点．

1 1 1

1 1 1 1（Ⅰ）AC1

//平面BCE；1（Ⅱ）求斜三棱柱ABCABC截去三棱锥B

–CBE后剩余部分的体积．1 1 1 118（12分）已知函数fxx3x1.fx6的解集；fxM，正数aba24b2Ma4ab.19（12分）a满足条件a，a3，且a

＝（﹣1）n（a﹣1）+2a+1，n∈N*．n 1 2n（Ⅰ）求数列{a的通项公式；na

n+2 n n2nn（Ⅱ）b

2n1，S

为数列{b

}的前n项和，求证：S ．n a n n2n

n 2n120（12分）有甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪80元，送餐员每单制成4无底薪，40单以内（含40单）的部分送餐员每单抽成6元，超过40单的部分送餐员每单抽成7元随机选取一名送餐员，分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数分布表：送餐单数 38甲公司天数 10乙公司天数 10

39 40 41 4210 15 10 515 10 10 5从记录甲公司的50天送餐单数中随机抽取3天，求这3天的送餐单数都不小于40单的概率；假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，将频率视为概率，回答下列两个问题：①求乙公司送餐员日工资的分布列和数学期望；②小张打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，小张应选择哪家公司应聘？说明你的理由.21（12分）已知函数fxx2exax2,其中aR,gxxlnx.(1)fxx若能若不能请说明理由.(2)hxfxgxx1处取得极大值a的取值范围.一周课外读书时间一周课外读书时间合计/h频数4610121424a4634n频率0.020.030.050.060.070.120.25p0.171根据表格中提供的数据，求apn.如果读书时间按分组，用分层抽样的方法从n20人.①求每层应抽取的人数；②若从22人不在同一层的概率.参考答案125601．A【解析】本题采用排除法: 由f

2f

2排除选项D；

50排除选项C; 2 2由x0,且x无限接近于0时, fx0排除选项B；【详解】对于选项D:由题意可得,令函数fx y

xcosx2x2xcosx

2

522

5 22

2522则f

2 2

,f

2 ;2 即f

f2

.D排除;2 2252

5 22

2522C

0,故选项C排除;2B:x0x0时,xcosx102x2x0fx0.B排除;故选项:A【点睛】属于中档题.2．D【解析】f(x)fx4说明函数是周期函数，由周期性把自变量的值变小，再结合奇偶性计算函数值．【详解】f(x)fx4f(x)4f(x)是奇函数，f(2)f(2)f(2)f(2)f(2)0，∴f2018f2019f2f30f10f11．故选：D．【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性，掌握周期性与奇偶性的概念是解题基础．3．A【解析】采用数形结合，根据三视图可知该几何体为三棱锥，然后根据锥体体积公式，可得结果.【详解】根据三视图可知：该几何体为三棱锥如图ABCD，长度如上图1 1 1

MBD

SDEC

121,S2

BCN

112 23

BCD

221

MBD

SDEC

S BCN 2所以V

ABCD

3

BCD

AN1故选：A【点睛】本题考查根据三视图求直观图的体积，熟悉常见图形的三视图：比如圆柱，圆锥，球，三棱锥等；对本题可以利用长方体，根据三视图删掉没有的点与线，属中档题.4．B【解析】根据焦距即可求得参数m.【详解】因为双曲线C:x2y2

1的焦距为4 5， 4 故可得4m2 2 5

，解得m216，不妨取m4； 又焦点F 2 5,0 ，其中一条渐近线为y2x 4 55由点到直线的距离公式即可求的d4 55故选：B.

4.【点睛】本题考查由双曲线的焦距求方程，以及双曲线的几何性质，属综合基础题.5．C【解析】由不等式恒成立问题分类讨论：①当a0，②当a0，③当a0，考查方程lna解．【详解】①当a0时，f(x)ex10 0，满足题意，

1的解的个数，综合①②③得ae②当a0时，exa0，x(1，)，ax10，故f(x) 0(xR)不恒成立，0 ae e1③当a0时，设g(x)exa，h(x)ax ，e1 1g(x)ex

a0xlnah(x)ax

0，得x ，e ae下面考查方程lna1的解的个数，ae设（a）alna，则（a）1lna由导数的应用可得：（a）alna在(0,

)为减函数，在(1

为增函数，则

min

e e1，e即lna1有一解，ae1g(x)ex

ah(x)ax 均为增函数，e所以存在1个a使得f(x) 0(xR)成立，综合①②③得：满足条件的a2C．【点睛】本题考查了不等式恒成立问题及利用导数研究函数的解得个数，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属难度较大的题型.6．D【解析】如图，将四面体ABCD.【详解】AB4CDADBD2翻折后AB2 3,

2cosADB

22222 3222

12，ADB120，外接圆的半径为r， 2 3 2r4，r2，sin120如图：易得CD平面ABD，将四面体ABCDR，R2r21222125， 四面体ABCD 的外接球的表面积为SR2.故选：D【点睛】本题考查几何体的外接球的表面积，意在考查空间想象能力，和计算能力，属于中档题型，求几何体的外接球的半径.7．D【解析】zzz.【详解】

1i1i (1i)21i (1i)(1i)2

i，1iz2iiz2iz2i

i(2i)12i，1i i(1)2225z1z(1)2225故选：D【点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模，考查基本运算能力，属于基础题.8．A【解析】分别判断命题p和q的真假性，然后根据含有逻辑联结词命题的真假性判断出正确选项.【详解】psinxsinxp为真命题对于命题，由于a0ax0解得axa，axfxlnaax

lnax1 a

lnaa

fx

，所以

fx

是奇函数，故

q为真命题.所以

p

为真命题. (p(qp(q、(pq都是假命题.故选：A【点睛】本小题主要考查诱导公式，考查函数的奇偶性，考查含有逻辑联结词命题真假性的判断，属于基础题.9．C【解析】根据函数的奇偶性及函数在0x【详解】

时的符号，即可求解.2由f(x)xcosx f(x)可知函数f(x)为奇函数.2x2x所以函数图象关于原点对称，排除选项A，B；当0x2f(x)

cosx0，xcosxD，

2x2x【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的判定及奇偶函数图像的对称性，属于中档题.10．D【解析】由题可得函数f(x)的定义域为{x|x1}，f(xln|1x|ln|1x|f(xf(x为奇函数，排除选项B；1x 1xf(1.1)ln211f(3)ln21ACD．11．C【解析】易得|AF2a|BF4aFO【详解】

1(FBFA)，平方计算即可得到答案.2CAEBF为平行四边形，FO1(FBFA)，所以|BF||AF||BF||BE|2aFO1(FBFA)，故|AF2a|BF4a，所以c2

21(4a216a22a4a，即c23a2，43故离心率为e .3C.【点睛】本题考查求双曲线离心率的问题，关键是建立ab,c12．C【解析】试题分析：由已知，－2a＋i＝1－bi，根据复数相等的充要条件，有a＝－

1，b＝－12所以|a＋bi|＝

C((1)2(1)225考点：复数的代数运算，复数相等的充要条件，复数的模45201320【解析】1(x )6的展开式的通项为T Crx62r，取r3计算得到答案.1x r1 6【详解】1(x )6T1

r1Crx6r Crx62r，取r31

20.x20.【点睛】

r1 6

x 6 6本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.14．291【解析】1

的半径，再求出球O2

的半径，即得球O2

的表面积.【详解】解：ABBCAB3BC4AC2AB2BC2,AC5，

的半径为r4r5r2

134，r12所以棱柱的侧棱为2r2.29由题得棱柱外接球的直径为22+52=29

，所以外接球的半径为1 29，2所以球O2

的表面积为

29)2.121故答案为：29【点睛】于中档题.15．1【解析】11n10x1求得展开式中各项的系数和．【详解】由 2xnx的展开式中只有第六项的二项式系数最大， x211n10；x1，可求得展开式中各项的系数和是：1101．【点睛】161【解析】利用复数的乘法求解z再根据纯虚数的定义求解即可.【详解】解：复数iaia1ai为纯虚数,a0,解得a．1【点睛】本题主要考查了根据复数为纯虚数求解参数的问题,属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。517（Ⅰ）（Ⅱ）2【解析】（Ⅰ）要证明线面平行，需先证明线线平行，所以连接BC，交BC于点M，连接ME，证明ME//AC；1 1 1（Ⅱ）

ABC的距离等于点C1

到平面ABC的距离，根据体积公式剩余部分的体积是VABCAB

V .BBCE111 1【详解】（Ⅰ）BCBCME//AC．1 1 1

BCEMEBCE

//平面BCE．1 1 1 1 111（Ⅱ）B11

ABCB1ABC的距离等于点

到平面ABC的距离．1如图，设O是AC的中点，连接OC11

，OB．因为△ACC1

为正三角形，所以OC1

AC，ABCA

，平面ABC 平面A

AC，所以OC

平面ABC．1 1 1 1 1所以点C1

到平面ABC的距离OC1

3B1

BCE的体积为V 1S OC11BECEOC111 3 31．

3 BCE 1 3 2

1 3 2 21 1ABCAB

的体积为VS

OC ABCEOC 2 3 33．1 1 1

ABC 1 2 1 2所以剩余部分的体积为315．2 2【点睛】本题考查证明线面平行，计算体积，意在考查推理证明，空间想象能力，计算能力，属于中档题型，一般证明线面平行的方法1..18（）,5（）证明见解析【解析】fxfx6的解集.fxM，利用分析法，结合基本不等式，证得不等式a4ab成立.【详解】

42x,x1

fx2,1x3 ，2x4,x3不等式fx6，即x142x6

x32x4

x3或26 ， 1x1或3x5或1x3，所以所求不等式的解集为（2）fxx3x1x3x12，M2，a0b0，所以要证abab，只需证ab

16a2b2，a24b24ab16a2b2，a24b22，所以只要证24ab16a2b2即证8ab22ab10，即证4ab10，因为4ab10，所以只需证ab1，212a24b24ab，所以ab所以a2b4ab.

成立，2【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查分析法证明不等式，考查基本不等式的运用，属于中档题.nn是奇数19（Ⅰ）nn （Ⅱ）证明见解析32 是偶数【解析】（Ⅰ）a

＝（﹣1）n（a

﹣1）+2a

+1，对n分奇偶讨论，即可得a；n+2（Ⅱ）由（Ⅰ）得bn

n2n13n

n，用错位相减法求出S 1n

n13n

n，运用分析法证明即可.【详解】（Ⅰ）

a （n2

a 2an

N*，当n

＝a 2a，得

n，n2 n 1 n当n

＝3a，又由a＝3，得a 3n，n2 n 2 2nnn是奇数a ；n n 32

n是偶数（Ⅱ）由（1）得bn

2n1 ，3n则S 13

…2n32n1①n 3

3n1 3n1S

13

5…2n32n1②3 n

3n 3n1①-②可得：

1 12S 1

22

2…

22n1129 3n1

2n1

2 2n2，3 n 3 32

34

3n 3n1 3

113

3n1

3 3n1S 1n1，n Sn

2nn

，则需要证明1

n1 2nn，2n1 2n1n1 n112n1 n112n1又 12n1 2n1

，即证明 ，即证2n1，又3n2n

1Sn

2nn

得证.2n1【点睛】本题主要考查了由递推公式求通项公式，错位相减法求前n.20（）29）①分布列见解析，E(X)238.6.140【解析】340AP（A）的值．①设乙公司送餐员送餐单数为a，可得当a38X386a39时，当a40X的值．当a41Xa42XXX的分布列及其数学期望．②依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数．可得甲公司送餐员日平均工资，与乙数学期望比较即可得出．【详解】（）由表知，50天送餐单数中有30天的送餐单数不小于40单，记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件A，30PAC330C350

29．140（2）①设乙公司送餐员的送餐单数为n，日工资为X元，则n38X386228；当n39X396234；当n40X406240；n41X4067247；当n42X40614254．Xp所以XXp228234240247254131115105510E(X)22812343240124712541238.6．5 10 5 5 10②依题意，甲公司送餐员的日平均送餐单数为380.2390.2400.3410.2420.139.8，所以甲公司送餐员的日平均工资为80439.8239.2238.6239.2，所以小张应选择甲公司应聘．【点睛】本题考查了随机变量的分布列与数学期望、古典概率计算公式、组合计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21(1)答案见解析

e1, 2 2【解析】（

fx

的图象与

x

ft0ft0（

hx的导数，设Gxex12a(x0)，根据函数的单调性及hxx1a的范围即可.x【详解】fxx轴相切理由若下:fxx1ex2ax1.fxx轴相切于ft0 t2e

at20则ft0即te

2at10 显然t1,ta0代入t2tat2fxx轴相切.

0中得t250无实数解.1 (2)hxxexax2lnxx(x01 hxx

x 2a ,h0,1e x 设Gxex

12a(x0),xGxex

1恒大于零.x2Gx在上单调递增.xGxx0Gx

,使Gx0

0,且0xx0

时Gx0xx0

时Gx0,①当x0