制动器试验台的控制方法分析解疑-全国大学生数学建模竞赛最终论文

PAGE2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：PAGE20制动器试验台的控制方法分析摘要本文在分析了各物理量的关系的基础上，经过严密地推导，得出了驱动电流与观测量之间的函数关系，据此建立了相关的数学模型并通过评价说明了模型的合理性和科学性。对于问题一和问题二，在对相关物理量的充分理解下，通过简单的物理和力学公式推导，再结合相关数据对该两问进行了求解。对于问题三，从能量的角度考虑，经过严密的公式推导，得出了驱动电流与观测量之间具有简单的线性关系，据此建立了模型。然后按照模型并结合题设得出了结果。对于问题四，为了对问题中的控制方法进行全面科学的评价，分别从一、制动过程中制动器所消耗的能量差；二、实际角速度与理论角速度的偏差；三、实际制动时间与理论制动时间偏差这三方面对其进行了评价，得出了该方法存在一定的缺陷，还有待于改进的结论。对于问题五，考虑到所设定的步长时间很短，结合微积分的理论，建立了根据前一个步长的实测制动扭矩来确定本步长驱动电流值的模型，并从能量和角速度方面对其进行了评价。对于问题六，在问题五模型的基础上，建立了采用前两个步长的制动扭矩实测值按线性关系计算本时段中间那一瞬时的制动扭矩，然后根据预测的制动扭矩设计本步长驱动电流的模型，该模型去除了滞后性的同时也保证了精度。关键词：制动器试验台电惯量模拟控制方法微分理论问题重述汽车的行车制动器（以下简称制动器）联接在车轮上，它的作用是在行驶时使车辆减速或者停止。制动器的设计是车辆设计中最重要的环节之一，直接影响着人身和车辆的安全。为了检验设计的优劣，必须进行相应的测试。在道路上测试实际车辆制动器的过程称为路试，其方法为：车辆在指定路面上加速到指定的速度；断开发动机的输出，让车辆依惯性继续运动；以恒定的力踏下制动踏板，使车辆完全停止下来或车速降到某数值以下；在这一过程中，检测制动减速度等指标。假设路试时轮胎与地面的摩擦力为无穷大，因此轮胎与地面无滑动。为了检测制动器的综合性能，需要在各种不同情况下进行大量路试。但是，车辆设计阶段无法路试，只能在专门的制动器试验台上对所设计的路试进行模拟试验。模拟试验的原则是试验台上制动器的制动过程与路试车辆上制动器的制动过程尽可能一致。通常试验台仅安装、试验单轮制动器，而不是同时试验全车所有车轮的制动器。制动器试验台一般由安装了飞轮组的主轴、驱动主轴旋转的电动机、底座、施加制动的辅助装置以及测量和控制系统等组成。被试验的制动器安装在主轴的一端，当制动器工作时会使主轴减速。试验台工作时，电动机拖动主轴和飞轮旋转，达到与设定的车速相当的转速(模拟实验中，可认为主轴的角速度与车轮的角速度始终一致)后电动机断电同时施加制动，当满足设定的结束条件时就称为完成一次制动。路试车辆的指定车轮在制动时承受载荷。将这个载荷在车辆平动时具有的能量（忽略车轮自身转动具有的能量）等效地转化为试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量，与此能量相应的转动惯量(以下转动惯量简称为惯量)在本题中称为等效的转动惯量。试验台上的主轴等不可拆卸机构的惯量称为基础惯量。飞轮组由若干个飞轮组成，使用时根据需要选择几个飞轮固定到主轴上，这些飞轮的惯量之和再加上基础惯量称为机械惯量。例如，假设有4个飞轮，其单个惯量分别是：10、20、40、80kg·m2，基础惯量为10kg·m2，则可以组成10，20，30，…，160kg·m2的16种数值的机械惯量。但对于等效的转动惯量为45.7kg·m2的情况，就不能精确地用机械惯量模拟试验。这个问题的一种解决方法是：把机械惯量设定为40kg·m2，然后在制动过程中，让电动机在一定规律的电流控制下参与工作，补偿由于机械惯量不足而缺少的能量，从而满足模拟试验的原则。一般假设试验台采用的电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比（本题中比例系数取为1.5A/N·m）；且试验台工作时主轴的瞬时转速与瞬时扭矩是可观测的离散量。由于制动器性能的复杂性，电动机驱动电流与时间之间的精确关系是很难得到的。工程实际中常用的计算机控制方法是：把整个制动时间离散化为许多小的时间段，比如10ms为一段，然后根据前面时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩，设计出本时段驱动电流的值，这个过程逐次进行，直至完成制动。评价控制方法优劣的一个重要数量指标是能量误差的大小，本题中的能量误差是指所设计的路试时的制动器与相对应的实验台上制动器在制动过程中消耗的能量之差。通常不考虑观测误差、随机误差和连续问题离散化所产生的误差。现在要求你们解答以下问题：1.设车辆单个前轮的滚动半径为0.286m，制动时承受的载荷为6230N，求等效的转动惯量。2.飞轮组由3个外直径1m、内直径0.2m的环形钢制飞轮组成，厚度分别为0.0392m、0.0784m、0.1568m，钢材密度为7810kg/m3，基础惯量为10kg·m2，问可以组成哪些机械惯量？设电动机能补偿的能量相应的惯量的范围为[-30,30]kg·m2，对于问题1中得到的等效的转动惯量，需要用电动机补偿多大的惯量？3.建立电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型。在问题1和问题2的条件下，假设制动减速度为常数，初始速度为50km/h，制动5.0秒后车速为零，计算驱动电流。4.对于与所设计的路试等效的转动惯量为48kg·m2，机械惯量为35kg·m2，主轴初转速为514转/分钟，末转速为257转/分钟，时间步长为10ms的情况，用某种控制方法试验得到的数据见附表。请对该方法执行的结果进行评价。5.按照第3问导出的数学模型，给出根据前一个时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩，设计本时间段电流值的计算机控制方法，并对该方法进行评价。6.第5问给出的控制方法是否有不足之处？如果有，请重新设计一个尽量完善的计算机控制方法，并作评价。二、问题分析对于问题一和问题二，该两问是对物理量的简单计算。可根据相关物理和公式推导得出。问题三要求建立驱动电流依赖可观测量的数学模型，可观测量是瞬时转速和制动力矩，由于转速是由制动力矩和电机扭矩共同决定的，不便处理。因此建立驱动电流依赖于制动力矩的模型。试验台测试是对路试的模拟，那么在试验台测试时制动器吸收能量（机械能转化为热能）的规律、大小应与路试时相同。因此可从能量的角度分析得到驱动电流依赖制动力矩的模型。问题四要求对根据某种控制方法得到的数据对该方法进行评价。制动器吸收能量、制动用时、制动过程角速度变化三个方面衡量控制方法精确程度的重要指标并且计算量比较小，因此采用这三个指标对该控制方法进行评价。设计本时段电流值的理想情况应是按本时段的制动力矩确定，但由于设计本时段时只能得到前一时段的制动力矩，因此可按前一时段的制动力矩根据问题三的模型来设计本时段驱动电流值。这样驱动电流将产生滞后，但步长取的较短，滞后造成的误差应是可以接受的。在这一问题中，制动用时这一指标的计算相对繁琐，因此从制动过程角速度变化、制动器吸收能量两方面评价该方法。问题五中根据前一时间段的制动力矩设计本时段的驱动电流，显然有不足之处。改进模型中，因为步长时间很短，可以近似用前两个时间段制动力矩值按线性规律预测本时段中间时刻的制动力矩值，然后根据预测的制动力矩值设计本时段驱动电流值。三、模型假设1.假设不考虑电动机电流的波动。2．假设每个步长采集的数据是该步长开始时那一瞬时的值。3．假设电动机的机电时间常数远小于所设定的步长。4.假设不考虑制动过程中其他阻力（如空气阻力）对飞轮能量的消耗。四、定义与符号说明路试车辆的指定车轮在制动时承受载荷等效转动惯量飞轮转动惯量机械惯量电模拟产生的惯量制动力矩电动机产生的力矩驱动电流与其产生的扭矩的比例系数试验台制动时制动器吸收的总能量相对误差理论制动时间实际制动时间五、问题一的求解该问题是一个等效转动惯量计算的问题。它是从能量的角度来考虑的，在保证能量不变的前提下，再根据相应的转换公式得到等效转动惯量。在本题中，就是要保证车轮所承受载荷在车辆平动时具有的能量（平动动能）与等效的试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量（转动动能）相等。根据平动动能的表达式：和转动动能的表达式：，可得到：eq\o\ac(○,1)其中为载荷，为平动速度，为等效转动惯量，为车轮半径，为重力加速度。根据题目中假设了路试时轮胎与地面的摩擦力为无穷大，因此轮胎与地面无滑动。则有车轮角速度：eq\o\ac(○,2)将eq\o\ac(○,2)式代入eq\o\ac(○,1)式，求解得到：代入本题所给数据，取9.8m/s2。得到=51.99888571428570kg·m2。这里可近似取kg·m2。六、问题二的求解根据本题中所给物理量，可得飞轮质量的计算式为：eq\o\ac(○,3)其中，为钢材密度，为飞轮外径，为飞轮内径，为飞轮厚度。再根据飞轮即圆筒的转动惯量的公式为[1]：eq\o\ac(○,4)将eq\o\ac(○,3)式代入eq\o\ac(○,4)式，可得：其中，为飞轮转动惯量。代入本题中所给数据，计算可得各尺寸飞轮的转动惯量，见表一：表一各尺寸飞轮的转动惯量单位：kg·m230.0083120713528560.01662414270571120.0332482854114根据上表，将三个飞轮的惯量分别取为30、60、120kg·m2。基础惯量为10kg·m2，将其进行简单的排列组合，可以得到机械惯量有=8种，分别为：10、40、70、100、130、160、190、220kg·m2。对于问题一中的等效转动惯量，结合电动机补偿惯量的限制为[-30,30]kg·m2，可以得到以下两种补偿方案：方案一：组合出40kg·m2的机械惯量，并用电动机补偿12方案二：组合出70kg·m2的机械惯量，并用电动机补偿-18kg七、问题三的模型与求解模型的建立无论是汽车的实际制动还是试验台上的模拟制动，都是将机械能转化为制动器因摩擦所产生的热能的过程。试验台只能组合出有限的数个转动惯量值，但实际上等效惯量可能为任何值，因此将机械惯量设定为一个最接近等效惯量的组合值（理论上可以为任意组合值，但选一个最接近的数值可以减轻电机负担），然后采用电模拟的方法模拟出转动惯量以补偿由于机械惯量不足（或过多）而缺少（或多余）的能量，从而满足模拟试验的原则。根据力矩做功的计算公式[2]：，可得制动过程中任一时间段，制动器吸收的热能为：eq\o\ac(○,5)其中，为制动力矩，为飞轮在任意时刻的角速度。再根据动量矩定理[1]，制动力矩为：eq\o\ac(○,6)其中为等效转动惯量。将eq\o\ac(○,6)代入eq\o\ac(○,5)，得到：eq\o\ac(○,7)其中对应时刻飞轮角速度，对应时刻飞轮角速度。在试验台上，等效惯量由两部分组成，一部分是飞轮组和基础惯量之和的机械惯量,另一部分由电模拟产生。为了模拟实际制动情况，不但需要保证制动器在时间段内吸收的能量相当于作用时吸收的能量；而且还应保证制动器严格按照eq\o\ac(○,5)式所给出的时间函数关系吸收能量（即保证转速变化与作用时的转速变化相同）。那么，在保证上述条件下，有：eq\o\ac(○,8)制动过程中，电动机在一定规律的电流控制下参与工作，产生一个力矩，该力矩和共同作用使得制动器吸收的能量和作用时吸收的能量相等。将eq\o\ac(○,8)代入eq\o\ac(○,7)，得到eq\o\ac(○,9)上式第一项为机械惯量部分在制动过程中损失的机械能，第二项为电动机补偿的能量。电流控制产生的扭矩在提供的能量应等于eq\o\ac(○,9)式第二项，即有：eq\o\ac(○,10)所以：eq\o\ac(○,11)再用eq\o\ac(○,11)式除以eq\o\ac(○,6)式，得到：eq\o\ac(○,12)由于电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比，比例系数为，得到驱动电流的最终计算公式为：eq\o\ac(○,13)（二）模型的求解根据本题中所给数据和相应的计算公式，可以得到：汽车的角速度为：rad/s，因为本题中假设制动减速度为常数，所以实验台上的飞轮角减速度为：rad/s2据此可求得制动力矩为：N·m再根据公式eq\o\ac(○,8)得到：驱动电流产生的力矩为：N·m所以电流为：八、问题四的求解（一）从制动器吸收能量方面评价1、路试时制动器消耗的机械能根据问题三中的eq\o\ac(○,7)式：再代入角速度与转数之间的换算关系式：可得：代入本题中的数据，得到2、试验台制动器消耗的机械能根据附表中提供的数据作出散点图，然后在matlab中拟合得出函数：，作出图1：图1角速度随时间变化及拟和曲线对函数积分，并利用初始条件时得到函数：。然后计算每隔10ms时刻转过的角度。然后做出散点图，如图2：图2制动力矩散点图根据上图和力矩做功公式：，对采用数值积分，求得试验台制动时制动器吸收总能量：

3、计算相对误差制动器吸收能量=5.3%（二）从制动时间方面评价1、理论用时计算由于制动器试验台要模拟车辆的实际制动过程，因此，评价控制方法优劣的重要数量指标除了能量误差的大小外，完成制动过程所用的时间也是一个重要指标。基于上述，采用实际制动时间与理论制动时间的相对误差来评价控制方法的优劣。根据表格中所给出的制动扭矩－时间数据，用作出图形，见图3：图3制动扭矩~时间图从图形中观察到，制动器扭矩先快速上升，然后在一个稳定值附近波动。由于试验台测试是对路试的模拟，可以认为汽车的实际制动过程中制动器扭矩随时间变化与试验台中所得制动扭矩变化规律相同。因此对于计算理论用时，可分上升和稳定阶段。对上升阶段，用端点法计算；稳定阶段，认为其为一恒定值（对波动阶段数据的平均）。得到制动扭矩函数如下：根据动量矩定理得：制动扭矩上升段和稳定阶段分别对上式分离变量，并积分得到：上式中为制动扭矩上升段结束时主轴转速。由上式解得理论时间s。2、制动时间相对误差计算实际用时。实际用时与理论用时相对误差＝。（三）从角速度/转速方面评价理想情况下，微分形式的动量矩定理为：，将其改写为积分形式，得到：eq\o\ac(○,14)在制动过程结束后，得到了每个步长的制动力矩。根据上式，对每个步长都有下式成立：eq\o\ac(○,15)上式中为第个步长开始的时刻；为第个步长开始时的转速；为第个步长结束时的转速；为第个步长的制动力矩实测值。根据微分的观点，由于每一个步长的时间足够短，所以可以近似按梯形公式计算eq\o\ac(○,15)式，得到每个步长的值，即为理想的角速度，将其和本题中所给某种控制方法下的角速度通过作图比较，见图4：图4理想角速度于某控制方法下的角速度图从上图中可以看到，某中控制方法下，在前0.7s左右实际角速度与理论角速度吻合较好；但0.7s以后，实际角速度与理论角速度相差较大且一直偏小。可见本题中所给的某种控制方法存在一定的缺陷，还有待于改进。由于实际角速度一直偏小（即角加速度比理想值偏大），因此减速到指定角速度所用的制动时间也比理论用时稍短（这和从时间方面的评价结果是一致的）。九、问题五的模型与求解本时段驱动电流控制方法根据问题三建立的模型得到电动机驱动电流应该按eq\o\ac(○,13)式所给出的关系调整，但是由于制动器的复杂性，制动力矩的变化无法用确定的函数关系式表达出来，因此将整个制动时间离散化为许多足够小的时间段(即步长)，然后根据前一个时间段观测到的瞬时扭矩，设计本时间段的电流值。由于电流在每个步长中都是恒定的，根据模型三中电流和的线性函数关系，所以控制方法采用的在每个步长中也都是恒定的。同时，用前一时段观测到的制动力矩来计算本时段所需的驱动电流，虽然这样会有一定的滞后性，也必定会产生误差，但是由于所设定的步长很短，从微分的观点来看，这样的误差是可以接受的。本控制方法制动过程中某段时间制动力矩的实际值与本控制方法所采用的关系如图5：图5制动力矩实际值与本控制采用值关系图图5制动力矩实际值与本控制采用值关系图实际值控制方法采用的值t在第一个步长时，没有制动扭矩的数据，因此第一个步长的驱动电流只能设为零或者根据经验估计一个值。由于没有经验和数据，在此我们设定第一个步长的驱动电流为零。由eq\o\ac(○,13)式得到每个步长驱动电流公式：eq\o\ac(○,16)式中为第个步长的制动力矩实测值，为第个步长所需的驱动电流值。在试验台测试时，计算机只需要跟据前一时段实测制动力矩按eq\o\ac(○,16)式确定各时段电流值，并将通过电流调节装置将电动机驱动电流调节为eq\o\ac(○,16)式的计算结果即可。（二）控制方法的评价从制动过程中角速度和制动器吸收的能量两方面来评价上述制动方法。1、从角速度方面评价电动机的转动提供了一个与制动力矩方向相反的扭矩（时），即对机械惯量部分而言，承受的扭矩为。对于第个步长，有：eq\o\ac(○,17)为第个步长时机械惯量部分所承受的扭矩，为第个步长电动机在驱动电流作用下产生的扭矩。驱动电流和电动机扭矩满足关系，代入eq\o\ac(○,16)再代入eq\o\ac(○,17)式可得：eq\o\ac(○,18)整个制动过程结束后，才能得到每个步长的实际制动扭矩，然后拟和出曲线。对每个步长由动量矩定理的积分形式，可得：eq\o\ac(○,19)上式中为第个步长开始的时刻；为第个步长初主轴角速度；为第个步长末主轴角速度。将理论角速度值与根据eq\o\ac(○,19)式得到的值进行比较。计算程序见附录。这里给出图形，见图6：图6问题五模型实际角速度与理想角速度对比2、从能量方面评价根据eq\o\ac(○,19)式得到的值拟和出曲线，对该曲线积分得到转角与时间的关系。那么每个步长中制动器吸收的能量：上式中为第个步长初的转角；为第个步长末的转角。整个制动过程制动器吸收的能量：程序见附录,这里给出结果。相对误差十、问题六的模型与求解（一）本时段驱动电流控制方法问题五中给出的控制方法存在的最大问题是电流的滞后性。如果驱动电流和制动力矩具备实时同步关系，则试验台完全可以还原路试情况。事实上，这是做不到的。因为当采集到某时刻的制动力矩后，再改变电流，这时力矩又发生了变化。如果能根据前面采集到的制动力矩预测制动力矩的变化，调整电流时就可以和所预测的制动力矩保持比例同步关系，从而消除滞后性。时间时间理想电扭矩可以观测的已知扭矩预测中点的扭矩该时段驱动电流产生的力矩按此水平直线变化图7理想扭矩与实际所采用扭矩关系图如图7所示，在很小的时间段内，可以认为制动力矩是按线性变化的，则电机产生的扭矩也是按线性变化的（问题三已推导出制动力矩和理想情况下电机产生的扭矩存在比例关系），假如前两个时间段初制动力矩为（）则该时间段的制动力矩为：该时段电机产生的驱动力矩为：由于要知道前两个制动力矩才可以设定该时段的电流值，但实际操作中还存在一个问题，即最初的两个时段无法按上述公式得到电流值，因此采用如下方式处理：第一个时段不施加电流，第二个时段将电流设定为第一时段制动力矩观测值所对应的电流，即得到每个步长驱动电流计算公式：eq\o\ac(○,20)在试验台测试时，计算机只需要跟据前一时段实测制动力矩按eq\o\ac(○,20)式确定各时段电流值，并将通过电流调节装置将电动机驱动电流调节为eq\o\ac(○,20)式的计算结果即可。（二）控制方法的评价1、从角速度方面评价仍按在问题五中的方法计算实际角速度，得到该控制方法下实际角速度和理想角速度如图8：图8该控制方法下实际角速度和理想角速对比为了和问题五中的方法相比较，将三种角速度画在同一幅图中进行比较，见图9：图9三种情况下角速度对比图从上图中可一看到，该模型角速度比问题五的模型角速度更接近理想角速度。2、从能量方面评价仍按照问题五中的方法计算制动器实际吸收的能量，得，相对误差：相对于问题五的模型来说，该模型可以减少误差。通过前两个时段的制动力矩预测出本时段的制动力矩，再施加电流时就已经将滞后性在一定程度上消除了。并且本时段电流采用本时段中点时刻的预测电流值，这样本时段内一部分电流低于理想电流，一部分电流高于理想电流，从而确保飞轮转速不发生太大的偏差。十一、模型的评价与推广（一）模型的优点1、对问题四所给的某种控制方法的评价，不仅从制动过程中制动器所消耗的能量差进行评价，而且还从实际角速度与理论角速度偏差、实际制动时间与理论制动时间偏差进行了评价。对该控制方法的评价更加全面。2、对问题五，给出了根据前一个步长的实测制动扭矩设定本步长驱动电流值的公式，方法简单，便于操作和推广。3、在问题六的模型中，采用前两个步长的制动扭矩实测值按线性关系计算本时段中间那一瞬时的制动扭矩，按此扭矩设计本时段电流。从角速度和制动器吸收能量方面而言，该方法比我们在问题五提出的方法更精确。（二）模型的不足之处1、在问题五的模型中，根据前一个步长的实测制动扭矩设定本步长驱动电流值的公式，存在一定的滞后性，会产生不可避免的误差。2、在计算能量时，利用梯形公式近似求解，增加了计算能量的误差。（三）模型的推广问题五中的模型，方法简单，可操作性强，可以推广到测量具有滞后性的相关问题中。虽然问题六中的模型相对于问题五中的模型，计算根据复杂，但是精度有所提高同时去除了滞后性，所以可以推广到对精度要求比较高的问题中。十二、参考文献[1]罗圆圆，大学物理，南昌：江西高校出版社，2007年。[2]龚良贵，章宝华，工程力学，北京：中国水利水电出版社，2007年。[3]李洪山，孙英达，庆振华，电惯量模拟机械转动惯量方法的研究，制造业自动化，第31卷，第6期：20－21，28，2009年6月。[4]宋来忠，王志明，数学建模与实验，北京：科学出版社，2005年。[5]马继杰等，制动器惯性台架电模拟惯量的研究，汽车技术，第4期：49－52，2009年。十三、附录%问题四中从能量方面评价%作角速度~时间曲线t=0:0.01:4.67;M=xlsread(‘C:\MATLAB7\work\M.xls’);omega=xlsread(‘C:\MATLAB7\work\omega.xls’);plot(t,omega,’*’);%问题四从角速度/转速方面评价M=xlsread(‘C:\MATLAB7\work\M.xls’);omega=xlsread(‘C