高考数学二轮复习真题源讲义专题强化训练(十九)

专题强化训练(十九)一、单项选择题1.“n>1”是“方程x2+ny2=1表示焦点在x轴上的圆锥曲线”的(A)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析:当n<0时,方程x2+ny2=1表示焦点在x轴上的双曲线;当n>0时,x2+ny2=1可化为x2+y21n=1,因为椭圆的焦点在x轴上,所以1>1n,即n>1,故方程x2+ny2=1表示焦点在x轴上的圆锥曲线时,n<0或n>1,故“n>1”是“方程x2.阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家,也是著名的数学家,他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴,焦点在y轴上,且椭圆C的离心率为74A.x29+y216=1 B.C.x218+y232=1 D.解析:设椭圆C的方程为x2b2+y2a2=1(a>b>0),由题意可得3.(2022·广东高中联合质量测评)“青花出晕染,胜却人间无数”,青花瓷是中华陶瓷烧制工艺的珍品,也是中国瓷器的主流品种之一,如图,是一青花瓷花瓶,其外形上下对称,可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.若该花瓶的瓶口直径是8cm,瓶身最小的直径是4cm,瓶高是6cm,则该双曲线的离心率为(B)A.52 B.7C.54 D.解析:以花瓶最细处所在直线为x轴,花瓶的竖直对称轴为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),花瓶的最小直径|A1A2|=2a=4,则a=2,由已知可得M(4,3),故164-9b24.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,P为C在第一象限上的一点,若PF的中点到y轴的距离为3,则直线PF的斜率为(C)A.2 B.2 C.22 D.4解析:由y2=8x,知焦点到准线的距离为p=4,焦点F(2,0).由抛物线的定义知PF的中点到y轴的距离等于|PF又|PF|=xP+2,所以xP+2=6,得xP=4,从而yP=42,所以点P(4,42).所以直线PF的斜率为42-05.由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界,该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线y2a2A.y=±3x B.y=±33C.y=±x D.y=±2x解析:因为双曲线方程为y2a2所以下焦点为(0,-c)(c>0),渐近线方程为y=±abx,即ax±则下焦点到ax±by=0的距离d=bca2+b2=b=2,又因为e=ca=1+(ba)所以该双曲线的渐近线方程为y=±336.(2022·河北张家口三模)已知点P是抛物线y2=4x上的动点,过点P向y轴作垂线,垂足记为N,动点M满足|PM|+|PN|的最小值为3,则点M的轨迹长度为(C)A.16π3 C.16π3+43 D.8π+2解析:设点F为抛物线y2=4x的焦点.当M在抛物线外部时,如图(1)所示,当M,P,F三点共线时,|PM+PN|最小,故|PM|+|PN|=|PM|+|PN|+1-1=|PM|+|PF|-1≥|MF|-1=3,所以|MF|=4,点M的轨迹方程为(x-1)2+y2=16(在抛物线外部的部分),与y2=4x联立解得x=3,所以轨迹与抛物线的两个交点为A(3,23),B(3,-23),则∠AFB=2π3圆在抛物线外部的弧长为4π3×4=16π当点M在抛物线上或内部时,如图(2)所示,当N,P,M三点共线时,|PM|+|PN|最小,此时点M的轨迹方程为x=3(-23≤y≤23),其长度为43.所以点M的轨迹长度为16π3+437.(2022·广东佛山模拟)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过焦点且斜率为22的直线l与抛物线C交于A,B(A在B的上方)两点,若|AF|=λ|BF|,则λ的值为(C)A.2 B.3 C.2 D.5解析:设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1>x2),直线l的倾斜角为θ,则y12=2pxy22=2px2,|AB|=x1+x2+p=2psin2θ,由tanθ=22,及同角三角函数的基本关系可得sin2θ=8由直线l的斜率为22,则直线l的方程为y-0=22(x-p2)即y=22x-2p,联立抛物线方程,消去y并整理,得4x2-5px+p2=0,则x1x2=p24,可得x1=p,x2=则|AF||8.(2022·四川德阳模拟)已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在C上,且仅当点P在y轴右边时有A.[12,32) B.[13C.[13,33) D.[12解析:设|PF1|=x,由于点P在C上,|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF2|=2a-x,当点P在y轴右边时,有x∈(a,a+c],设PF1→,PF2→的夹角为θ,又PF1→·P在△PF1F2中,由余弦定理可知,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cosθ,所以(2c)2=x2+(2a-x)2-2x(2a-x)cosθ=x2+(2a-x)2-x2=(2a-x)2,又2c>0,2a-x>0,所以2c=2a-x,所以x=2(a-c),又a<x≤a+c,所以a<2(a-c)≤a+c,所以2c<a≤3c,所以13≤ca<12,故1二、多项选择题9.已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,Q是圆F2:(x-4)2+yA.E的离心率为2B.E的渐近线方程为y=±3xC.F2到E的渐近线的距离为3D.△PF1F2内切圆圆心的横坐标为±2解析:由题意,可知F2(4,0),所以c=4.又由题意,知|PF1|=|PQ|,所以2a=||PF1|-|PF2||=||PQ|-|PF2||=|QF2|=4<2c=8,所以b2=c2-a2=12,故E的方程为x24-y212=1,所以E的离心率为ca=±3x,故A,B正确;焦点F2到E的渐近线的距离为d=4312设△PF1F2的内切圆与x轴相切于点A(x0,0),则由双曲线定义得即△PF1F2内切圆圆心的横坐标为±2,所以D正确.故选ABD.10.设P是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点,F1,FA.|OP|=c(O为原点)B.S△FC.△F1PF2的内切圆半径r=a-cD.|PF1|max=a+c解析:在Rt△F1PF2中,O为斜边F1F2的中点,所以|OP|=12|F1F2设|PF1|=m,|PF2|=n,则有m2+n2=(2c)2,m+n=2a,所以mn=12[(m+n)2-(m2+n2)]=2b2,所以S△F1PS△F1PF2=12(m+n+2c)·r=b2若|PF1|=a+c,则P为椭圆右顶点,此时P,F1,F2构不成三角形,故D错误.故选ABC.11.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,O为坐标原点,过F的直线与抛物线C分别交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则下列说法正确的是(AD)A.y1y2为定值B.∠AOB可能为直角C.以BF为直径的圆与y轴有两个交点D.对于确定的直线AB,在C的准线上存在三个不同的点P,使得△ABP为直角三角形解析:由题意知直线AB的斜率不为0,设lAB:x=ty+1,与y2=4x联立可得y2-4ty-4=0,y1y2=-4,故A正确;因为x1x2=y12y2216=1,所以kOA·k设BF的中点为M(1+x22,y22)设AB的中点N(x1+x22,y1+y故有以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切,对于确定的直线AB,当∠P为直角时,此时P为切点;当∠A或∠B为直角时,P为过A(或B)的AB的垂线与准线的交点,故D正确.故选AD.12.(2022·湖北模拟)已知F是抛物线y2=4x的焦点,P是抛物线y2=4x上一动点,Q是圆C:(x-4)2+(y-1)2=1上一动点,则下列说法正确的有(AC)A.|PF|的最小值为1B.|QF|的最小值为10C.|PF|+|PQ|的最小值为4D.|PF|+|PQ|的最小值为10+1解析:由题意知,F(1,0),C(4,1),圆C的半径为r=1,由抛物线的定义知,|PF|=xP+1≥1,所以|PF|的最小值为1,即选项A正确;点Q是圆上的动点,|QF|min=|CF|-r=10-1,即选项B错误;过点P作PM垂直准线于点M,则|PF|+|PQ|=|PM|+|PQ|≥|MQ|,而|MQ|min=|MC|-r=4+1-1=4,当且仅当M,Q,C三点共线,且该直线与x轴平行时,等号成立,所以|PF|+|PQ|的最小值为4,即选项C正确,选项D错误.故选AC.三、填空题13.(2022·湖南长沙岳麓区校级模拟)已知点A,B在椭圆C:x26+y23=1上,O为坐标原点,直线OA与OB的斜率之积为-12,设OP→=λOA→+μOB解析:设点A(x1,y1),B(x2,y2),则x126+y123=1,x2由题设,点P(λx1+μx2,λy1+μy2)在椭圆C上,则(λx1即λ2(x126+y123)+μ2(x226+y223答案:114.抛物线y2=4x的焦点为F,点A(3,2),P为抛物线上一点,且P不在直线AF上,则△PAF的周长的最小值为.

解析:由抛物线y2=4x可得焦点坐标为F(1,0),准线方程为x=-1.由题意可知求△PAF周长的最小值,即求|PA|+|PF|的最小值.设点P在准线上的射影为点D.则根据抛物线的定义,可知|PF|=|PD|,因此求|PA|+|PF|的最小值即求|PA|+|PD|的最小值.易知当P,A,D三点共线时,|PA|+|PD|最小.所以(|PA|+|PD|)min=xA-(-1)=3+1=4.又因为|AF|=(3-1所以△PAF的周长的最小值为4+22.答案:4+2215.(2022·河北张家口一模)已知椭圆C:x2a2+y2b解析:因为直线AB过原点,由椭圆及直线的对称性可得|OA|=|OB|,所以|AB|=2|OA|,设右焦点为F′,如图所示,连接BF′,AF′,又因为2|OF|=|AB|=2c(c>0),即|FF′|=|AB|,可得四边形AFBF′为矩形,且∠ABF=∠AF′F,在Rt△AFF′中,|AF|=|FF′|sin∠AF′F=2c·sin∠AF′F,|AF′|=|FF′|cos∠AF′F=2c·cos∠AF′F,由椭圆的定义可得|AF|+|AF′|=2a,所以2a=2c·(sin∠AF′F+cos∠AF′F),因为∠BAF=π6,故∠AF′F=π所以离心率e=ca=132答案:3-116.已知直线l为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线,F1,F2是双曲线C的左、