大学生数学试题及答案

..实用文档实用文档.大学生数学试题及答案n2(n1)2考试形式：闭卷考试时间：n2(n1)2n21n222一、(此题总分值10分)n21n222

。n222nn222n2(n1)2【解】Sn

1( n21n21n11( )2n

)1(1)1(1)2n1(2)2nn

)1(0)1(0)2n1(1)2nn

)1(2)2nn1(2)2nn11( )2n1(n)2ini0limS n n n

n1i0

11(n1(n)2i1x2因 在[]1x20

1-x2dx存在，且1(n)2i1 1-1(n)2i

n1

.1，0 n

ni0所以，limSn n

0

1-x2dxlim n1n 0n1

。1-x2dx。4二、(此题总分值10分)请问a,b,c为何值时下式成立lim 1

t2dt11t2

c.x0sinxax b【解】注意到左边得极限中，无论a为何值总有分母趋于零，因此要想极限存在，分子必须为无穷小量，于是可知必有b0，当b0时使用洛必达法那么得到lim

x t2

lim x2 ，1t2x0sin1t2

0 x0(cosxa) 1x2x0时，假设a(cosxa) 1x2lim

x t2

lim x2

2，1t2x0sin1t2

b x0(cosx1x2综上所述，得到如下结论：a1,b0,c0;或a1,(cosx1x2三、(此题总分值10分)计算定积分

I202

dx1tan2010x。x

t，那么2I0

dt

tan2010tdt

1

1 dtdtI21cot2010t22

01tan2010t 0

1tan2010t 02222Idt2222 ，0所以，I 。410分)求数列

{n1

n中的最小项。n【解】因为所给数列是函数x分别取yx1 x【解】因为所给数列是函数x分别取

1,2,3,,n,x时的数列。又且令yx12(lnxx时的数列。又且令

y0xe，容易看出：当0xe时，y0；当xe时，y0。所以，

1y y x

y(e)e12e而2e3 1 2e

13333

{n1

133n的最小项 。33n(此题总分值10分)求n0

enn1。【解】考虑幂级数n0

xnn

，其收敛半径为1，收敛区间为(1,1)，当x1时，

x (1)n

1收敛；nn1 n1nn0 n0当x1时，n0

xnn

n0

1n

发散，因此其收敛域为[1,1)。设其和函数为s(x)，那么x x tn

x tn xx(1,1)，s(t)dt

dt dt xn1 。0 0 n1n0 n0

0n1 1xn0于是，s(x)(

x 1 .1x x)2故，

en22

1 e 。n0

n1 (e1)210fxsinxxxtf(t)dtffx。0【解】原方程可写为

f(x)sinxx

f(tdtxtf(tdt，上式两端对x求导得f(x)cosx

0 0f(t)dtxf(x)xf(x)cosxx

f(t)dt 〔*〕x

0 0f(x)sinxf(x)即 f(x)f(x)sinx这是一个二阶线性常系数非齐次方程，由原方程知f(0)0，由〔*〕式知f(0)1。特征方程为210，i齐次通解为 yCsinxCcosx1 2设非齐次方程特解为 y*x(asinxbcosx)，代入f(x)f(x)sinx得a0,b1。2那么非齐次方程通解为yC1

sinxC2

cosx

xcosx2由初始条件 y(0)0和y(0)1可知，1C12,C21

0。七、(此题总分值10分)在过点O(0,0)和,0)的曲线族yasinx(a0)中，求一条曲线L，使沿该曲线从O到A的积分L

y3)dx(2xy)dy的值最小。【解】I(a)

y3)dx(2xy)dyL[1a3sin3x(2xasinx)acos044a a3。43I(a44a20，得a1(a1舍去I(180I(a在a1处取极小值，且a=1是I在(0,+∞)a=1时I(a)取最小值，那么所求曲线为ysinx(0x。八、(此题总分值10分)设f在f(1)f(1)1，f''(x)1。2证明：1．f'(x)

12，x∈[1,1。2．f(x)=x在[−1,1]上有且只有一个实根。【证明】1. 由泰勒公式f(1fxfx)(1x

f()2

(1x)2，(1,x)ff(x)f(x)(1x)

f()2

(1x)2,(x,1)两式相减并整理得2f(x)

(1x2)

f)x2)

f()于是,f(x)

2 2x2)4(1x2)4f(x2)4(1x2)4

(1x2)(1x2)8由于max

(1x2)(1x2)1，1x1 8 2因此|fx[1,1。2. Fx)fx)-x,x[1,1F(1)f(11

3 1f1- 。2 2但F(x)在[−1,1]上连续，由介值定理知，F(x)在[−1,1]上至少有一个零点。又由1Fx)fx10F(x在上严格单调，从而至多有一个零点。Fx)在f(xx在(此题总分值10分)设f(x)在(-)为连续函数,那么ax3f(x2dx0

1a20

xf(x)dx。【解】令(x)xt3f(t2)dt,那么(x)x3f(x2),0x1x2tf(t)dt，那么x1

x2f(x2)2xx3f(x2),20 2所以x)x)即(x)(x)c c为常数。而(0)(00，xx)特别地(a)(a)即ax3f(x2dx0

1a2xf(x)dx20十、(此题总分值10分)设f(x)是[0,1]上的连续函数，证明1ef(x)dx1ef(y)dy1。0 0D{(x,y)|0xy1}。由于efx)fy)1fxfy，所以1ef(x)dx1ef(y)dyef(x)f(y)dxdy0 0D1dx11f(x)f(y)dy0 01dx1dy1

f(xdx1dy1x

f(y)dy01。

0 0 0 0 0【证法二】 1ef(x)dx1ef(y)dyef(