北京市中央民族大学附中高考数学零模试卷(理科)(解析版)

XX学校用心用情服务教育！精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！北京市中央民族大学附中高考数学零模试卷（理科）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合则A∪B=（ ）A．{x|x＞1} B．{x|x≤﹣1}C．{x|x＞1或x＜﹣1}2．下列函数中是奇函数，并且在定义域上是增函数的一个是（ A．y=﹣ B．y=ln|x|C．y=sinx D．y=3．在复平面内，复数 ，则对应的点的坐标位于第（ ）象限．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．执行如图的程序框图，当输入25时，则该程序运行后输出的结果是（ A．4 B．5 C．6 D．75．在极坐标系中，直线l的方程离为（ ）

，则点 到直线l的距金榜题名 1 前程似锦XX学校用心用情服务教育！A． B． C． D．6＞”是32”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条C．充要条件D．既不充分也不必要条件一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）4πB．6πC．8πD．16πP时，它的另一面必须是数字2．如图，下面的四张卡片的一个面分别写有PQ23（第一张，第三张B．第一张，第四张C．第二张，第四张 D．第二张，第三张二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卷的横线上．.向量 ，若 ，则λ= ．在数{an}中，a2=3且an+1+2an=0，则a1+a3的值是 ．已知抛物线y2=16x的准线过双曲线 的一个焦点且双曲线的一条渐近线为 ，则该双曲线的方程是 ．金榜题名 2 前程似锦XX学校用心用情服务教育！在三个数中，最小的数是 ．6个学生站成一排学生甲与学生乙相邻学生甲与学生丙不相邻则不同的排法有 14．已知函数，①若a=1，f（x）的最小值是 ；②若f（x）恰好有2个零点，则实数a的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤已知函数，若函数相邻最高点间的距离为π．求ω及f（x）的对称中心；求f（x）在区间上的最大值和最小值．如图，正方形ABCD和梯形ACEF为AD的中点，．求二面角A﹣DF﹣E设点PDE上的动点，是否存在点PBPDEF，说明理由．10的考试成绩（满分0分，按照时间顺序记录如下：度（不要求计算具体值，直接写出结论即可；现将两人成绩分为三个等级：金榜题名 3 前程似锦XX学校用心用情服务教育！成绩分数等级

[0，70]C级

[70，90]B级

[90，100]A级注：A级高于B级，B级高于C级甲的等级高于乙的等级的概率；18f（x）=﹣2x，g（x）=alnx．y=f（x）﹣g（x）的单调区间设x）（）x，若对任意两个不等的正数xx2恒成立，求实数a19．已知椭圆的离心率为，且过点．求椭圆C过A（a，0）且相互垂直的两条直线l1，l2，与椭圆C的另一个交点分别为P，Q，PQnaa2a（）﹣a31，数AnG数列，记S（An）=a1+a2+…+an．写出一个满足a1=a7=0，S（A7）＞0G数列An；若a1=2，n=2016，证明：G数列An是递增数列的充要条件是an=2017；对任意给定的整数（2，是否存在首项为0的G数列An，使得An？如果存在，写出一个满足条件的G数列An；如果不存在，说明理由．金榜题名 4 前程似锦XX学校用心用情服务教育！2017年北京市中央民族大学附中高考数学零模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，B={x|x＞1}，则A∪B=（ A．{x|x＞1} B．{x|x≤﹣1}C．{x|x＞1或x＜﹣1}【考点】并集及其运算．【分析】先分别求出集合A和B，由此利用并集定义能求出A∪B．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}={x|x＜﹣1或x＞2}，B={x|x＞1}，∴A∪B={x|x＞1或x＜﹣1}．故选：C．下列函数中是奇函数，并且在定义域上是增函数的一个是（ A．y=﹣B．y=ln|x|C．y=sinx D．y=【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据奇函数和增函数的定义，结合函数的图象判断即可．解：对于，在（﹣∞00故不正确；金榜题名 5 前程似锦XX学校用心用情服务教育！对于B，是偶函数，故不正确；对于C在定义域上有增有减，故不正确；对于D，函数的图象如图：，可知是奇函数，在定义域上是增函数，故选D．在复平面内，复数，则对应的点的坐标位于第（ ）象限A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的意义、几何意义即可得出．【解答】解：复数==i+1，则=1﹣i对应的点的坐标（1，﹣1）位于第四象限．故选：D．执行如图的程序框图，当输入25时，则该程序运行后输出的结果是（ ）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，当S=26时，满足条件S≥n，退出循环，输出i的值为5．【解答】解：模拟执行程序框图，可得n=25，S=0，i=1S=1，i=2，不满足条件S≥n，S=4，i=3金榜题名 6 前程似锦XX学校用心用情服务教育！不满足条件S≥n，S=11，i=4不满足条件S≥n，S=26，i=5满足条件S≥n，退出循环，输出i的值为5，故选：B．在极坐标系中，直线l的方程为，则点到直线l的距离为（ ）A．B．C．D．【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；点到直线的距离公式．【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，直接使用点到直线的距离公式求出结果．解：点的直角坐标为（﹣，，直线：l：即ρsinθ+ρcosθ=1，化为直角坐标方程为x+y﹣1=0．由点到直线的距离公式得d==，故选B．6＞”是32”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答解：由＞b 3＞3b，当0时32，故a”推不出32，由3a＞2b推不出a＞b，当a=b时，3＞2，故“a＞b”是“3a＞2b”既不充分也不必要条件，金榜题名 7 前程似锦XX学校用心用情服务教育！故选：D一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）4π B．6π C．8π D．16π由三视图求面积、体积．【分析】由题意，直观图是两个垂直相交的圆柱组合体，其体积等于以1为半径的圆为底，3+1为高的圆柱的体积，即可得出结论．【解答】解：由题意，直观图是两个垂直相交的圆柱组合体，其体积等于以1为半径的圆为底，3+1为高的圆柱的体积，即π•12•4=4π，故选A．P时，它的另一面必须是数字2．如图，下面的四张卡片的一个面分别写有PQ23（第一张，第三张 B．第一张，第四张C．第二张，第四张 D．第二张，第三【考点】进行简单的合情推理．【分析】由于题意知，一定要翻看P，而3后面不能是Q，要查3．【解答】解：由于当牌的一面为字母P时，它的另一面必须写数字2，则必须翻看P是否正确，这样2就不用翻看了，3后面不能是Q，要查3．金榜题名 8 前程似锦XX学校用心用情服务教育！故为了检验如图的4张牌是否有违反规定的写法，翻看第一张，第四张两张牌就够了．故选：B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卷的横线上．.向量，若，则1 ．【考点】平行向量与共线向量．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：∵，∴2（λ+1）﹣（λ+3）=0，解得λ=1．故答案为：1．在数{an}中，a2=3且an+1+2an=0，则a1+a3的值是 ﹣ ．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由题意可得数列{an}为以﹣2为公比的等比数列，再根据a2=3，即可求出答案．【解答】解：a2=3且an+1+2an=0，∴an+1=﹣2an，∴数列{an}为以﹣2为公比的等比数列，∴a1+a3=+a2q=+3×（﹣2）=﹣，故答案为：﹣已知抛物线y2=16x的准线过双曲线的一个焦点且双曲线的一条渐近线为则该双曲线的方程是 ．【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．金榜题名 9 前程似锦XX学校用心用情服务教育！求出抛物线的准线方程，求出双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程实半轴与虚半轴的长，得到双曲线方程即可．解：抛物线yx的准线=4过双曲线的一个焦点（，，解得a=2，b=2，所求双曲线方程为：．故答案为：．在三个数中，最小的数是 ．【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数、对数函数的单调性质求解．【解答】解：∵＞30=1，1=log33＞log32＞=，∴在三个数中，最小的数是．故答案为：．13．6个学生站成一排，学生甲与学生乙相邻，学生甲与学生丙不相邻，则不同的排法有192 ．【考点】排列、组合的实际应用．【分析】先利用捆绑法，再利用间接法，即可得出结论．A55A22=2402A44=48240﹣48=192金榜题名10 前程似锦XX学校用心用情服务教育！故答案为：192．已知函数，①若a=1，f（x）的最小值是 ﹣ ；②若f（x）恰好有2个零点，则实数a的取值范围是 [﹣1，﹣]∪[0，+∞） ．【考点】分段函数的应用；根的存在性及根的个数判断．①若，分别求出当x1时，函数递增，可得最小值1；当＜1求得最小值，比较即可得到所求最小值；②若f（x）恰好有2个零点，讨论a=0，a＞0，a＜0，再由单调性和二次方程的根的情况，即可得到所求a的范围．【解答】解：①若a=1，当x≥1时，f（x）=log2x+1递增，可得x=1时，取得最小值1；当x＜1时，f（x）=x2+3x+2=（x+）2﹣，当x=﹣时，取得最小值﹣．综上可得，f（x）的最小值为﹣．②若f（x）恰好有2个零点，由f（x）在[1，+∞）递增，在[1，+∞）内最多一个零点，当a=0时，f（x）=0时，可得x=0，1，满足题意；当a＞0时，x≥1时，f（x）≥log21+a=a＞0，无零点；x1fx）（）有两个零点，即有a1，且1，成立；x≥1f（x）≥log21+a=a2﹣a；x1f）（）恰有一个零点，若为，则，，且a≠2﹣a，解得﹣1＜a≤﹣；金榜题名11 前程似锦XX学校用心用情服务教育！若为﹣2a，则﹣2a＜1，﹣a≥1，且﹣2a≠2﹣a，不成立．综上可得，a的范围是﹣1＜a≤﹣或a≥0．故答案为：﹣﹣，0．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤已知函数，若函数相邻最高点间的距离为π．求ω及f（x）的对称中心；求f（x）在区间上的最大值和最小值．【考点】三角函数的最值；正弦函数的对称性．（1）间的距离推出函数的最小正周期，进而求得ω，在求出对称中心，（2）根据x的范围，确定2x+的范围，利用三角函数的性质求得函数的最大和最小值．【解答】（1）f（x）sωn（ω+）﹣snω2ωx﹣2ωx+cosωx﹣1=2sin（2ωx+）﹣1，∵函数相邻最高点间的距离为π，∴T=π=∴ω=2，∴f（x）=2sin（2x+）﹣1，∴2x+=kπ，k∈Z，∴x=﹣，k∈Z，∴（）的对称中心为（﹣，1，（2）∵x∈，金榜题名12 前程似锦XX学校用心用情服务教育！∴2x+∈[﹣，π]，当2x+=时，函数取得最大值为1，当2x+=﹣时，函数取得最小值为﹣2如图，正方形ABCD和梯形ACEF为AD的中点，．求二面角A﹣DF﹣E设点PDE上的动点，是否存在点PBPDEF，说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取CD的中点H，连接EH，GH，证明四边形HGFE是平行四边形，推出FG∥EH，然后证明FG∥平面CDE；建立空间直角坐标系，求出平面ADF的法向量，平面DEF的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角A﹣DF﹣E存在点P使得直线⊥平面1，，）（λ，﹣λ，P（λ2﹣λ2（λ，﹣λ2，利用∥，解得1）证明：取D的中点，连接，，GAD∵EF∥AC，EF=，∴GHEF，∴四边形HGFE是平行四边形平面CDE，FG 平面CDE，∴FG∥平面CDE；金榜题名13 前程似锦XX学校用心用情服务教育！ABCDACEF建立如图所示的空间直角坐标系，不妨平面F的法向量为：2，，，，000212，设平面F的法向量为：xy0，2，2（，，）即，不妨取，则=1，（，，1，二面角A﹣DF﹣E由图形可知二面角为锐角，所以二面角A﹣DF﹣E的余弦值为：．由2）可知200，点P是线段E上的动点，存在点P使得直线⊥平面DEF，，12（λ，﹣λ2，（λ﹣λ（λ2﹣λ2，平面F的法向量为：（111，可知∥，可得2﹣解得λ=．说明存在P是距离E比较近的DE的一个3等分点．10的考试成绩（满分0分，按照时间顺序记录如下：度（不要求计算具体值，直接写出结论即可；现将两人成绩分为三个等级：金榜题名14 前程似锦XX学校用心用情服务教育！成绩分数等级

[0，70]C级

[70，90]B级

[90，100]A级注：A级高于B级，B级高于C级甲的等级高于乙的等级的概率；假如你是该大学的招生老师，结合上述数据，决定应录取哪位同学，说明理由．【考点】古典概型及其概率计算公式；茎叶图．（1）乙的平均成绩，甲的离散程度大于乙的离散程度．由已知得甲的10级有5级有3级有2次，乙的10次成绩中，C级有7次，B级有2次，C级有1次，由此能求出甲的等级高于乙的等级的概率．成绩优于乙的平均成绩．1）以十位数为茎，个位数为叶，作出茎叶图，如下图：由茎叶图知甲的平均成绩大于乙的平均成绩，甲的离散程度大于乙的离散程度．10级有5次，B3次，A2次，107B2C1∴甲的等级高于乙的等级的概率p==0.39．我决定应录取甲同学，金榜题名15 前程似锦XX学校用心用情服务教育！理由是甲同学平均成绩大于乙的平均成绩，且甲同学达到B级和A级成绩标准的次数大于乙同学达到B级和A级成绩标准的次数．f（x）=﹣2x，g（x）=alnx．y=f（x）﹣g（x）的单调区间设x）（）x，若对任意两个不等的正数xx2恒成立，求实数a【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为a＜x2﹣4x在（0，+∞）恒成立，根据函数的单调性求出a的范围即可．1）﹣（）2﹣，y′=x﹣2﹣==，令m（x）=（x﹣1）2﹣a﹣1，①﹣a﹣1≥0即a≤﹣1时，y′＞0，函数在（0，+∞）递增，②﹣a﹣1＜0，即a＞﹣1时，令）＞，或＜﹣0（舍，m′（x）＜0故函数y=f（x）﹣g（x）在（0，1+）递减，在（1+，+∞）递增；（2）由（1）得：h′（x）=＞2，故x2﹣2x﹣a＞2x在（0，+∞）恒成立，即a＜x2﹣4x在（0，+∞）恒成立，金榜题名16 前程似锦XX学校用心用情服务教育！令x）x0，则m（x）=（x﹣2）2﹣4≥﹣4，a＜﹣4．已知椭圆的离心率为，且过点．求椭圆C过A（a，0）且相互垂直的两条直线l1，l2，与椭圆C的另一个交点分别为P，Q，PQ【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析由椭圆的离心率a和b的值求得椭圆方程；（2）由A点坐标，当直线PQ率存在时，代入椭圆方程，利用韦达定理，向量数量积的坐标运算，即可求得定点．1），a2﹣2，∴a=3，b2=6，∴椭圆C的方程；）由A30，设（xy1，（x，y，当PQ⊥x轴，不妨设两条直线l1，l2的斜率为1，﹣1，设l1：y=x﹣3，则，整理得：5x2﹣18x+9=0，解得：x=，x=3，直线l2：y=﹣x+3，同理可得：解得：x=，x=3，Q与x轴交点（0，当Q与x轴不垂直时，设Q的方程为（，金榜题名17 前程似锦XX学校用心用情服务教育！代入椭圆方程：，整理得（）xmx（﹣，由韦达定理可知：x1+x2=，x1x2=，由题意可知：0，则x3yx3y20，k）xx2﹣kx）（k9），则k）×﹣（（k），mm=（舍去）Q是否经过定点M（0．naa2a（）﹣a31，数AnG数列，记S（An）=a1+a2+…+an．写出一个满足a1=a7=0，S（A7）＞0G数列An；若a1=2，n=2016，证明：G数列An是递增数列的充要条件是an=2017；对任意给定的整数（2，是否存在首项为0的G数列An，使得An？如果存在，写出一个满足条件的G数列An；如果不存在，说明理由．【考点】数列的应用．【分析】（1）根据题意，a1=a7=0，a2=1，a3=2，再根据|ak+1﹣ak|=1求出符合题设的G数列A7；An是首项为2，公差为1的等差数列．从而有a2016=2017；再证充分性：由新定义推出 a2016≤a1+2015，又因为a1=2，a2016=2017，所以a2016=a1+2015．得证；令ck=ak+1﹣ak，分别求得a2，a3，a4，…，an，由S（An）=a1