导数与函数的单调性极值与最值练习题

必备知识——导数与函数的单调性、极值与最值121．(2019·厦门质检)函数y＝2x－lnx的单调递减区间为()A．(－1,1)B．(0,1]C．(1，＋∞)D．(0,2)1解析：选B由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，由y′＝x－x≤0，得0<x≤1，所以函数的单调递减区间为(0,1]．2．函数f(x)的导函数f′(x)有下列信息：f′(x)>0时，－1<x<2；f′(x)<0时，x<－1或x>2；③f′(x)＝0时，x＝－1或x＝2.则函数f(x)的大致图象是( )解析：选C 根据信息知，函数 f(x)在(－1,2)上是增函数．在(－∞，－1)，(2，＋∞)上是减函数，故选 C.3．函数f(x)＝(x2－1)2＋2的极值点是( )A．x＝1 B．x＝－1C．x＝1或－1或0 D．x＝0解析：选C ∵f(x)＝x4－2x2＋3，∴由f′(x)＝4x3－4x＝4x(x＋1)(x－1)＝0，得x＝0或x＝1或x＝－1，又当x<－1时，f′(x)<0，当－1<x<0时，f′(x)>0，当0<x<1时，f′(x)<0，当x>1时，f′(x)>0，∴x＝0,1，－1都是f(x)的极值点．4．(2019·成都高三摸底测试 )已知函数f(x)＝x3－ax在(－1，1)上单调递减，则实数a的取值范围为( )A．(1，＋∞) B．[3，＋∞)C．(－∞，1] D．(－∞，3]解析：选B∵f(x)＝x3－ax，∴f′(x)＝3x2－a.又f(x)在(－1,1)上单调递减，∴3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，∴a≥3，故选B.15.(2019·赤峰模拟)设函数f(x)在定义域R上可导，其导函数为f′(x)，若函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)解析：选D由题图可知，当x＜－2时，f′(x)＞0；当x＝－2时，f′(x)＝0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；当1＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＝2时，f′(x)＝0；当x＞2时，f′(x)＞0.由此可得函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．故选D.6．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是()A．()＝sin2xB．(x)＝exfxfxC．()＝x3－xD．(x)＝－＋lnxfxfx解析：选对于，＝的单调递增区间是ππ∈；B(x)sin2xkπ－，kπ＋4(kZ)Af4对于B，′()＝ex(x＋1)，当x∈(0，＋∞)时，f′()>0，∴函数f(x)＝xex在(0，fxx233＋∞)上为增函数；对于C，f′(x)＝3x－1，令f′(x)>0，得x>3或x<－3，∴函数f(x)＝x3－x在－∞，－3和3，＋∞上单调递增；对于1D，f′(x)＝－1＋＝33xx－1－x，令f′(x)>0，得0<x<1，∴函数f(x)＝－x＋lnx在区间(0,1)上单调递增．综上所述，应选B.32237.函数f(x)＝ax＋bx＋cx＋d的图象如图，则函数y＝ax＋2bxc＋3的单调递增区间是()A．(－∞，－2]B.12，＋∞C．[－2,3]D.98，＋∞解析：选D由题图可知d＝0.不妨取a＝1，∵f(x)＝x3＋bx2＋cx，∴f′(x)＝3x2＋2bx＋c.由图可知f′(－2)＝0，f′(3)＝0，∴12－4b＋c＝0,27＋6b＋c＝0，∴b＝23 2 9 9 9 2 9－2，c＝－18.∴y＝x－4x－6，y′＝2x－4.当x≥8时，y′≥0，∴y＝x－4x－6的单9调递增区间为 8，＋∞.故选D.8．已知定义在R上的函数f(x)，f(x)＋x·f′(x)<0，若a<b，则一定有()A．af(a)<bf(b)B．af(b)<bf(a)C．af()>bf()D．af()>bf()abba解析：选C[·(x)]′＝x′(x)＋·′()＝f()＋x·′()<0，∴函数xffxfxxfxx·f(x)是R上的减函数，∵<，∴af()>()．ababfb9．(2019·广州模拟)若函数f(x)＝ex(sinx＋acosx)在ππ4，2上单调递增，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1]B．(－∞，1)C．[1，＋∞)D．(1，＋∞)解析：选Af′(x)＝ex[sinx＋cosx－a(sinx－cosx)]，当a＝0时，f′(x)＝ex(sinx＋cosx)，显然∈π，π，′()>0恒成立，排除C、D；当＝1时，′()x42fxafxxππ＝2ecosx，x∈4，2时，f′(x)>0，故选A.110．定义域为R的函数f(x)满足f(1)＝1，且f(x)的导函数f′(x)>2，则满足2f(x)<x＋1的x的集合为()A．{x|－1<x<1}B．{x|x<1}C．{x|x<－1或x>1}D．{x|x>1}1解析：选B令g(x)＝2f(x)－x－1，∵f′(x)>2，∴g′(x)＝2f′(x)－1>0，∴()为单调增函数，∵f(1)＝1，∴g(1)＝2(1)－1－1＝0，∴当x<1时，()<0，即gxfgx2f(x)<＋1，故选B.x11．已知e为自然对数的底数，设函数f()＝(ex－1)(－1)k(k＝1,2)，则()xxA．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值解析：选C 当k＝1时，f(x)＝(ex－1)(x－1)，0,1是函数f(x)的零点．当0<x<13时，f(x)＝(ex－1)(x－1)<0，当x>1时，f(x)＝(ex－1)(x－1)>0,1不会是极值点．当k＝2时，f(x)＝(ex－1)(x－1)2，零点还是0,1，但是当0<x<1，x>1时，f(x)>0，由极值的概念，知选C.1212．(2019·湖北咸宁重点高中联考)设函数f(x)＝2x－9lnx在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是()A．(1,2]B．(4，＋∞)C．(－∞，2)D．(0,3]解析：选A∵()＝12－9lnx，∴′()＝－9(>0)，由－9≤0，得0<≤3，fx2xfxxxxxxx∴f(x)在(0,3]上是减函数，则[a－1，a＋1]?(0,3]，∴a－1>0且a＋1≤3，解得1<a≤2.13213．函数f(x)＝3x＋x－3x－4在[0,2]上的最小值是________．解析：f′(x)＝x2＋2x－3，令f′(x)＝0得x＝1(x＝－3舍去)，又f(0)＝－4，171017f(1)＝－3，f(2)＝－3，故f(x)在[0,2]上的最小值是f(1)＝－3.17答案：－314．(2019·长治联考)定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足x2f′(x)＋1>0，f(1)＝6，则不等式f(lgx)<lg1x＋5的解集为________．11x2f′x＋1解析：构造g(x)＝f(x)－x－5，则g′(x)＝f′(x)＋x2＝x2>0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，∵f(1)＝6，∴g(1)＝0，1故g(x)<0的解集为(0,1)，即f(x)<x＋5的解集为(0,1)，由0<lgx<1，得1<x<10，不等式的解集为(1,10)．答案：(1,10)ex2x，若x＝215．已知函数f(x)＝x2－kx＋ln是函数f(x)的唯一一个极值点，则实数k的取值范围为________．x－2ex－k2xx21xxe－2xe解析：f′(x)＝x4－k－x2＋x＝x2(x>0)．4xx－1xee设g(x)＝x(x>0)，则g′(x)＝x2，∴g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．ex∴g(x)在(0，＋∞)上有最小值，为g(1)＝e，结合g(x)＝x与y＝k的图象可知，要满足题意，只需 k≤e.答案：(－∞，e]16．已知函数 g(x)满足g(x)＝g′(1)ex－1－g(0)x＋12x2，且存在实数 x0，使得不等式2m－1≥g(x0)成立，则实数m的取值范围为________．解析：g′(x)＝g′(1)ex－1－g(0)＋x，令