高考数学二轮复习真题源讲义保分练(二)

保分练(二)1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,S3-2S2=1,a2n+1-2an=3,n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=(-1)n-14nanan+1,数列{b解:(1)设等差数列{an}的公差为d,由S3-2S2=1,可得(3a1+3d)-2(2a1+d)=1,即a1-d+1=0,①又因为a2n+1-2an=3,n∈N*,取n=1,得a3-2a1=3,即a1-2d+3=0,②由①②可得a1=1,d=2,故{an}的通项公式为an=2n-1.(2)bn=(-1)n-14nanan+1=(-1)n-1·4n(当n为偶数时,Tn=(1+13)-(13+15)+(15+17)-…+(12n-3+12n-当n为奇数时,Tn=(1+13)-(13+15)+(15+17)-…+(12n-故Tn=22.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,S为△ABC的面积,且2S+3AB→·(1)求A的大小;(2)若a=7,b=1,D为直线BC上一点,且AD⊥AB,求△ABD的周长.解:(1)因为2S+3AB→·AC→=0,所以2×12b·c·sinA+3cosA=0,又b·c>0,所以sinA+3cosA=0,即tanA=-3,又A∈(0,π),所以A=2π3(2)在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bc·cosA,又a=7,b=1,A=2π3,所以c2在△ABC中,由正弦定理得sinB=2114又a>b,所以B为锐角,所以cosB=1-sin2在Rt△ABD中,ABBD=cosB,所以BD=475,AD=BD·sinB=475所以△ABD的周长为2+235+473.(2022·河北张家口高三期末)已知某区A,B两所初级中学的初一年级在校学生人数之比为9∶11,该区教育局为了解“双减”政策的落实情况,用分层随机抽样的方法在A,B两校初一年级在校学生中共抽取了100名学生,调查了他们课下做作业的时间,并根据调查结果绘制了频率分布直方图.(1)在抽取的100名学生中,A,B两所学校各抽取的人数是多少?(2)该区教育局想了解学生做作业时间的平均时长(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)和做作业时长超过3h的学生比例,请根据频率分布直方图,估计这两个数值.(3)另据调查,这100人中做作业时间超过3h的人中的20人来自A中学,根据已知条件填写列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为做作业时间超过3h与学校有关?学校做作业时间合计超过3h不超过3hA校B校合计附表:α0.10.050.010.001xα2.7063.8416.63510.828附:χ2=n(解:(1)设A,B两校所抽取人数分别为x,y,由已知可得xy=(2)由题图可知,学生做作业的平均时长的估计值为0.5×(1.25×0.1+1.75×0.3+2.25×0.4+2.75×0.6+3.25×0.3+3.75×0.2+4.25×0.1)=2.675(h).由0.5×(0.1+0.2+0.3)=0.3,可知有30%的学生做作业时长超过3h.综上,估计该区学生做作业的平均时长为2.675h,该区有30%的学生做作业时长超过3h.(3)由(2)可知,有30%×100=30(人)做作业时间超过3h.故可得列联表(单位:人).学校做作业时间合计超过3h不超过3hA校202545B校104555合计3070100χ2=100×(所以有99%的把握认为做作业时间超过3h与学校有关.4.(2022·江西模拟预测)如图,在三棱锥PABC中,△PAC是边长为2的正三角形,BC=AC,∠ACB=2π3,D为AB上靠近A的三等分点.(1)若PB=22,求证:平面PCD⊥平面PCB;(2)当三棱锥PABC的体积最大时,求二面角BPDC的余弦值.(1)证明:因为△PAC是边长为2的正三角形,所以BC=AC=2,PC=2,又PB=22,所以PB2=PC2+BC2,从而PC⊥BC.因为BC=AC,∠ACB=2π3,所以AB=23又因为D为AB上靠近A的三等分点,所以BD=433,在△BCD中,由余弦定理得CD=4+16因此CD2+BC2=BD2,所以CD⊥BC.又CD∩PC=C,CD,PC⊂平面PCD,所以BC⊥平面PCD,又BC⊂平面PCB,所以平面PCD⊥平面PCB.(2)解:由题意,当三棱锥PABC的体积最大时,有平面PAC⊥平面ABC.取AC的中点O,连接PO,DO,则PO⊥AC,平面PAC∩平面ABC=AC,PO⊂平面PAC,从而PO⊥平面ABC,又可得DA=DC,O为AC的中点,所以DO⊥AC.以O为坐标原点,以OA→,OD→,则B(-2,3,0),C(-1,0,0),D(0,33,0),P(0,0,3从而PC→=(-1,0,-3),PB→=(-2,3,-3),PD→=(0,33设平面PCD的法向量为n=(x1,y1,z1),则PC→·取z