考点42 空间向量的概念（原卷版）

考点42空间向量的概念1．空间向量及其有关概念概念语言描述共线向量(平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合共面向量平行于同一个平面的向量共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb共面向量定理若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb空间向量基本定理及推论定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc.推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))＋zeq\o(OC,\s\up7(→))且x＋y＋z＝12．数量积及坐标运算(1)两个空间向量的数量积：①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；②a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；③设a＝(x，y，z)，则|a|2＝a2，|a|＝eq\r(x2＋y2＋z2).(2)空间向量的坐标运算：a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)向量和a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)向量差a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)数量积a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3共线a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0)垂直a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0夹角公式cos〈a，b〉＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))1、在下列命题中：①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．32、已知向量a＝(2m＋1，3，m－1)，b＝(2，m，－m)，且a∥b，则实数m的值等于()A.eq\f(3,2) B．－2C．0 D.eq\f(3,2)或－23、在空间直角坐标系中，已知A(1，－2，1)，B(2，2，2)，点P在z轴上，且满足|PA|＝|PB|，则P点坐标为()A．(3，0，0) B．(0，3，0)C．(0，0，3) D．(0，0，－3)4、已知a＝(1，0，1)，b＝(x，1，2)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为()A.eq\f(5π,6)B.eq\f(2π,3)C.eq\f(π,3)D.eq\f(π,6)考向一空间向量的线性运算例1、如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，则向量eq\o(BM,\s\up6(→))＝(用a，b，c表示)．变式、在三棱锥O－ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))表示eq\o(MG,\s\up6(→))，eq\o(OG,\s\up6(→))．方法总结：用已知向量表示某一向量的方法用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．将向量用有向线段表示，根据向量加法的几何意义，若干条有向线段依次首尾相接时，和向量是以第一条有向线段的起点指向最后一条有向线段的终点的有向线段来表示的；反过来，一条有向线段也可以表示成若干条有向线段的和的形式．这是一条很有用的结论，要注意体会，掌握其应用．考向二共线、共面向量定理的应用例2、已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)求证：BD∥平面EFGH；(3)设P是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有．考向三空间向量数量积的应用例3、如图所示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．(1)求AC1的长；(2)求证：AC1⊥BD；(3)求BD1与AC夹角的余弦值．方法总结：(1)求夹角，设向量a，b所成的角为θ，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)，可求两异面直线所成的角．(2)求长度(距离)，运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题．(3)解决垂直问题，利用a⊥b⇔a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题．考向四空间向量的坐标运算例4若a＝(1，5，－1)，b＝(－2，3，5)．(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k；(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k．变式1、已知空间三个点A(-2，0，2)，B(-1，1，2)和C(-3，0，4)，设a=，b=．(1)求a与b所成角的余弦值；(2)试确定实数k，使ka+b与ka-2b互相垂直．1、如图，在三棱锥O—ABC中，M，N分别是AB，OC的中点，设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，用a，b，c表示eq\o(NM,\s\up6(→))，则eq\o(NM,\s\up6(→))等于()eq\f(1,2)(－a＋b＋c)eq\f(1,2)(a＋b－c)eq\f(1,2)(a－b＋c)eq\f(1,2)(－a－b＋c)2、下列命题中正确的是()A．如果向量a，b与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么a，b的关系是不共线；B．如果O，A，B，C为空间四点，且向量不构成空间的一组基底，那么点O，A，B，C一定共面；C．已知向量a，b，c是空间的一组基底，则向量a＋b，a－b，c，也是空间的一组基底．D．若A，B，C，D是空间任意四点，则有eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0.其中正确的命题是_______．3、在下列条件中，不能使M与A，B，C一定共面的是()A．eq\o(OM,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))；B．eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))；C．eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0；D．eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋e