八年级数学51-63资料

PAGEPAGE77备课内容执教人随笔总第51课时第七章平行线的证明2．定义与命题（第1课时）教学目标：知识与技能：1.了解定义与命题的含义，会区分某些语句是不是命题．过程与方法：2.用比较数学化的观点来审视生活中或数学学习中遇到的语句特征．情感态度与价值观：3.通过对某些语句特征的判断学会严谨的思考习惯．教学重点、难点：重点：让学生对定义、定理、公理等概念有一个清楚的认识和了解难点：让学生对定义、定理、公理等概念有一个清楚的认识和了解易错点：易混点：易漏点：教学方法：引导发现法．教学过程：本节课的设计思路为：情景引入——命题含义（情景引入）——课堂练习——课堂小结——课后练习第一环节：情景引入（由学生表演）活动内容：小亮和小刚正在津津有味地阅读《我们爱科学》.小亮说：……小刚说：“是的，现在因特网广泛运用于我们的生活中，给我们带来了方便，但……”小亮说：“……”小刚说：“……”小亮说：“哈！，这个黑客终于被逮住了.”……坐在旁边的两个人一边听着他们的谈话，一边也在悄悄议论着：一人说：“这黑客是个小偷吧？”另一人说：“可能是喜欢穿黑衣服的贼.”……一人说：“那因特网肯定是一张很大的网.”另一人说：“估计可能是英国造的特殊的网.”……（表演结束）教师提出问题：在这个小品中，你得到什么启示？（人与人之间的交流必须在对某些名称和术语有共同认识的情况下才能进行.为此，我们需要给出它们的定义.）①关于“黑客”对话的片断来引入生活中交流时必须对某些名称和术语有共同的认识才能进行；②对定义含义的解释；③举例说明生活中和数学学习中所熟知的定义（学生举例，看哪个小组的举例又多又好）；活动目的：让学生通过对一个学生比较感兴趣的名词：“黑客”、“因特网”的不同理解，从而使学生了解定义的含义．教学效果：很多学生对黑客的概念是很熟悉的，而小品中出现的黑客的定义与自己所熟知的黑客的概念完全不同，由此产生了对定义的兴趣．第二环节：命题含义（情景引入）活动内容：①师：如果B处水流受到污染，那么____处水流便受到污染;如果C处水流受到污染，那么____处水流便受到污染；如果D处水流受到污染，那么____处水流便受到污染；学生自编自练：如果____处水流受到污染，那么____处水流便受到污染．（［生甲］如果B处工厂排放污水，那么A、B、C、D处便会受到污染.［生乙］如果B处工厂排放污水，那么E、F、G处也会受到污染的.［生丙］如果C处受到污染，那么A、B、C处便受到污染.［生丁］如果C处受到污染，那么D处也会受到污染的.［生戊］如果E处受到污染，那么A、B处便会受到污染.［生己］如果H处受到污染，我认为是A处的那个工厂或B处的那个工厂排放了污水.因为A处工厂的水向下游排放，B处工厂的污水也向下游排放.……老师归纳：同学们在假设的前提条件下，对某一处受到污染作出了判断.像这样，对事情作出判断的句子，就叫做命题.即：命题是判断一件事情的句子.如：熊猫没有翅膀.对顶角相等.大家能举出这样的例子吗？［生甲］两直线平行，内错角相等.［生乙］无论n为任意的自然数，式子n2－n+11的值都是质数.［生丙］内错角相等.［生丁］任意一个三角形都有一个直角.［生戊］如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.［生己］全等三角形的对应角相等.……［师］很好.大家举出许多例子，说明命题就是肯定一个事物是什么或者不是什么，不能同时既否定又肯定，如：你喜欢数学吗？作线段AB=a.平行用符号“∥”表示.这些句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它们就不是命题.一般情况下：疑问句不是命题.图形的作法不是命题.）活动目的：通过对水流的污染问题引入命题的概念，使学生了解命题的含义，会判断某些语句是不是命题．教学效果：命题的判断只有两种形式，要么肯定，要么否定。作判断时，必须泾渭分明，不能模棱两可；二是命题的句子只能是完整的句子，对一件事情的前因后果应叙述完整。从语法上讲，它应是陈述句，不能是祈使句、疑问句或感叹句．第三环节：反馈练习活动内容：1.你能列举出一些命题吗？答案：能.举例略.2.举出一些不是命题的语句.答案：如：①画线段AB=3cm.②两条直线相交，有几个交点？③等于同一个角的两个角相等吗？④在射线OA上，任取两点B、C.等等.活动目的：训练与反馈教学效果：一般都能正确解答。第四环节：课堂小结活动内容：①定义的含义：对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，就是它们的定义；②命题的含义：判断一件事情的句子，叫做命题，如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题．活动目的：通过课后的总结，使学生对定义、命题等概念有更清楚的认识，让学生在头脑中对本节课进行系统的归纳与整理．教学效果：学生在有了前面对定义、特别是命题概念的学习后，能了解命题的结构，以及哪些是命题，使学生对命题的学习有了清楚的认识。第五环节课后练习学习小组搜集八年级数学课本中的新学的部分定义、命题，看谁找得多．板书设计：

第七章平行线的证明2．定义与命题（第1课时）命题含义：课堂练习：教学反思：总第52课时第七章平行线的证明2．定义与命题（第1课时）教学目标：知识与技能：1.了解命题中的真命题、假命题、定理的含义；2.了解命题的构成，能区分命题中的条件和结论。过程与方法：3.经历实际情境，初步体会公理化思想和方法，了解本教材所采用的公理．情感态度与价值观：4.培养学生的语言表达能力。教学重点、难点：重点：了解命题中的真假命题、公理、定理的含义难点：学会区分命题的条件、结论，学会判别真、假命题，理解反例、证明等概念．易错点：易混点：易漏点：教学方法：引导——探究——应用教学过程：本节课的设计分为五个环节：回顾引入——探索命题的结构——思考探讨——读一读——课堂反思与小结．第一环节：回顾引入活动内容：①什么叫做定义？举例说明．②什么叫命题？举例说明．活动目的：回顾上节知识，为本节课的展开打好基础．教学效果：学生举手发言，提问个别学生．第二环节：探索命题的结构活动内容：①探讨命题的结构特征观察下列命题，发现它们的结构有什么共同特征？（1）如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等．（2）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等．（3）如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形．（4）如果一个四边的对角线相等，那么这个四边形是矩形．（5）如果一个四边形的两条对角线互相垂直，那么这个四边形是菱形．②总结命题的结构特征（1）上述命题都是“如果……，那么……”的形式．（2）“如果……”是已知的事项，“那么……”是由已知事项推断出的结论．（3）一般地命题都可以写成“如果……,那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的结论，每个命题都有条件和结论．活动目的：对命题的结构进行分析，让学生会判断一个命题的条件和结论．教学效果：分小组交流讨论，教师引导进行归纳．应告诫学生当一个命题改写成“如果……那么……”的形式时，要注意改写时不要机械地添上“如果”和“那么”，应适当地补充一些修饰语句，使改写后的语句通顺，完整。第三环节：思考探讨活动内容：①找出下述命题中的条件和结论，指出它们哪些是正确的命题？哪些是不正确的命题？你又是如何知道的呢？（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；（2）如果a＞b，b＞c，那么a＝c；（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；（4）菱形的四条边都相等；（5）全等三角形的面积相等．②探究真假命题的验证说明一个命题是假命题，通常举出一个反例就可以了，使之具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例，但是要说明一个命题是正确的无论验证多少个特例，也无法保证命题的正确性．如何验证命题的正确性呢？结论：正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题．活动目的：使学生了解命题有真假之分，并且知道怎样去判断真假命题。教学效果：分组交流、讨论、教师引导使得学生形成共识．在对前面5个命题的真伪进行判断的基础上，大多数学生已经对命题的真假性有了初步的判断，但有部分学生误认为假命题不是命题.第四环节：读一读活动内容：①介绍《几何原本》、公理、定理等知识．在数学发展史上，数学家们也遇到过类似的问题．公元前3世纪，人们已经积累了大量知识，在此基础上，古希腊数学家欧几里德（公元前300前后）编写了一本书，书名叫《原本》，为了说明每一结论的正确性，他在编写这本书时进行了大胆创新，挑选了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其它命题的起始依据，其中的数学名词称为原名，公认的真命题称为公理，除了公理外，其他真命题的正确性都通过推理的方法证实，推理的过程称为证明，经过证明的真命题称为定理，而证明所需要的定义、公理和其他定理都编写在要证明的这个定理的前面．《原本》问世之前，世界上还没有一本数学书籍象《原本》这样编排，因此，《原本》是一部具有划时代意义的著作．②公理、定理、概念和证明的关系．有关概念、公理有关概念、公理条件1定理1有关概念、公理条件2定理2定理3…………

③介绍本教材的公理．1.两点确定一条直线。2.两点之间线段最短。3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.6.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．7.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等．8.三边对应相等的两个三角形全等．此八条基本事实前面已详细探索过，不必验证它们的正确性，可以直接用来证实其它命题的正确性，另外一条我们将在以后认识它。此外等式和不等式的有关性质也可看作公理．比如：如果a=b，b=c，那么a=c．④读一读《原本与几何原本》活动目的：培养学生公理化思想和方法，养成科学、严谨思维习惯．教学效果：采取教师讲解与学生习读相结合的方式．第五环节：课堂反思与小结活动内容：本节课的重点是了解命题中的真假命题、公理、定理的含义，通过学习学会区分命题的条件、结论，学会判别真、假命题，理解反例、证明等概念．活动目的：帮助学生归纳本节课所学知识，对本节课有一个系统的认识，从而能准确地区分命题的真假性，了解命题结构中的条件与结论．教学效果：学生能自行归纳本节课的知识，形成了较为清晰的知识脉络。课后练习：课本第171页习题7.3第1、2题板书设计：第七章平行线的证明2．定义与命题（第1课时）定义：命题的结构：公理、定理：教学反思：总第53课时第七章平行线的证明3．平行线的判定教学目标：知识与技能：1.熟练掌握平行线的判定公理及定理；过程与方法：2.能对平行线的判定进行灵活运用，并把它们应用于几何证明中．通过经历探索平行线的判定方法的过程，发展学生的逻辑推理能力，逐步掌握规范的推理论证格式．情感态度与价值观：3.通过学生画图、讨论、推理等活动，给学生渗透化归思想和分类思想．教学重点、难点：重点：平行线判定方法的证明难点：平行线判定方法的证明易错点：易混点：易漏点：教学方法：实验—猜想—归纳—论证教学用具教材、电脑、多媒体课件。教学过程：本节课的设计分为四个环节：情景引入——探索平行线判定方法的证明——反馈练习——反思与小结．第一环节：情景引入活动内容：回顾两直线平行的判定方法师：前面我们探索过直线平行的条件．大家来想一想：两条直线在什么情况下互相平行呢？生1：在同一平面内，不相交的两条直线就叫做平行线．生2：两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行．生3：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行．师：很好．这些判定方法都是我们经过观察、操作、推理、交流等活动得到的．上节课我们谈到了要证实一个命题是真命题．除公理、定义外，其他真命题都需要通过推理的方法证实．我们知道：“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”是定义．“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行”是公理．那其他的三个真命题如何证实呢？这节课我们就来探讨．活动目的：回顾平行线的判定方法，为下一步顺利地引出新课埋下伏笔．教学效果：由于平行线的判定方法是学生比较熟悉的知识，教师通过对话的形式，可以使学生很快地回忆起这些知识．第二环节：探索平行线判定方法的证明活动内容：①证明：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．师：这是一个文字证明题，需要先把命题的文字语言转化成几何图形和符号语言．所以根据题意，可以把这个文字证明题转化为下列形式：如图，已知，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的同旁内角，且∠1与∠2互补，求证：a∥b．如何证明这个题呢？我们来分析分析．师生分析：要证明直线a与b平行，可以想到应用平行线的判定公理来证明．这时从图中可以知道：∠1与∠3是同位角，所以只需证明∠1=∠3，则a与b即平行．因为从图中可知∠2与∠3组成一个平角，即∠2+∠3=180°,所以：∠3=180°－∠2．又因为已知条件中有∠2与∠1互补，即：∠2+∠1=180°,所以∠1=180°－∠2,因此由等量代换可以知道：∠1=∠3．师：好．下面我们来书写推理过程，大家口述，老师来书写．（在书写的同时说明：符号“∵”读作“因为”，“∴”读作“所以”）证明：∵∠1与∠2互补（已知）∴∠1+∠2=180°（互补定义）∴∠1=180°－∠2（等式的性质）∵∠3+∠2=180°（平角定义）∴∠3=180°－∠2（等式的性质）∴∠1=∠3（等量代换）∴a∥b（同位角相等，两直线平行）这样我们经过推理的过程证明了一个命题是真命题，我们把这个真命题称为：直线平行的判定定理．这一定理可简单地写成：同旁内角互补，两直线平行．注意：（1）已给的公理，定义和已经证明的定理以后都可以作为依据．用来证明新定理．（2）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”．这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、公理，已经学过的定理．在初学证明时，要求把根据写在每一步推理后面的括号内．②证明：内错角相等,两直线平行．师：小明用下面的方法作出了平行线，你认为他的作法对吗？为什么？（见相关动画）生：我认为他的作法对．他的作法可用上图来表示：∠CFE=45°,∠BEF=45°．因为∠BEF与∠FEA组成一个平角，所以∠FEA=180°－∠BEF=180°－45°=135°．而∠CFE与∠FEA是同旁内角．且这两个角的和为180°，因此可知：CD∥AB．师：很好．从图中可知：∠CFE与∠FEB是内错角．因此可知：“内错角相等，两直线平行”是真命题．下面我们来用规范的语言书写这个真命题的证明过程．师生分析：已知，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的内错角，且∠1=∠2．求证：a∥b证明：∵∠1=∠2（已知）∠1+∠3=180°（平角定义）∴∠2+∠3=180°（等量代换）∴∠2与∠3互补（互补的定义）∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）．这样我们就又得到了直线平行的另一个判定定理：内错角相等，两直线平行．③借助“同位角相等，两直线平行”这一公理，你还能证明哪些熟悉的结论呢？生1：已知，如图，直线a⊥c,b⊥c．求证：a∥b．证明：∵a⊥c,b⊥c（已知）∴∠1=90°∠2=90°（垂直的定义）∴∠1=∠2（等量代换）∴b∥a（同位角相等，两直线平行）生2：由此可以得到：“如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行”的结论．师：同学们讨论得真棒．下面我们通过练习来熟悉掌握直线平行的判定定理．活动目的：通过对学生熟悉的平行线判定的证明，使学生掌握平行线判定公理推导出的另两个判定定理，并逐步掌握规范的推理格式．教学效果：由于学生有了以前学习过的相关知识，对几何证明题的格式有所了解，今天的学习只不过是将原来的零散的知识点以及学生片面的认识进行归纳，学生的认识更提高一步．第三环节：反馈练习活动内容：课本第173页的随堂练习活动目的：巩固本节课所学知识，让教师能对学生的状况进行分析，以便调整前进．教学效果：由于此题只是简单地运用到平行线的判定的三个定理（公理），因此，学生都能很快完成此题．第四环节：学生反思与课堂小结活动内容：①这节课我们主要探讨了平行线的判定定理的证明．同学们来归纳一下完成下表：②由角的大小关系来证两直线平行的方法，再一次体现了“数”与“形”的关系；而应用这些公理、定理时，必须能在图形中准确地识别出有关的角．③注意：证明语言的规范化．推理过程要有依据．活动目的：通过对平行线的判定定理的归纳，使学生的认识有进一步的升华，再一次体会证明格式的严谨，体会到数学的严密性．教学效果：学生充分认识到证明步骤的严密性，对平行线判定的三个定理有了更进一步的认识．课后作业：课本第173页习题7.4第1，2，3题思考题：课本第174页习题7.4第4题（给学有余力的同学做）板书设计：第七章平行线的证明3．平行线的判定定理：定理：教学反思：总第54课时第七章平行线的证明4．平行线的性质教学目标：知识与技能：1.认识平行线的三条性质。2.能熟练运用这三条性质证明几何题。3.进一步理解和总结证明的步骤、格式、方法．过程与方法：4.了解两定理在条件和结构上的区别，体会正逆的思维过程．情感态度与价值观：5.进一步发展学生的合情推理能力，培养学生的逻辑思维能力。教学重点、难点：重点：平行线性质的证明难点：平行线性质的证明易错点：易混点：易漏点：教学方法：引导—探究—归纳教学过程：本节课的设计分为四个环节：情境引入——探索与应用——反馈练习——反思与小结第一环节：情境引入活动内容：一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同，第一次拐的角∠B是130°，第二次拐的角∠C是多少度？说明：这是一个实际问题，要求出∠C的度数，需要我们研究与判定相反的问题，即已知两条直线平行，同位角、内错角、同旁内角有什么关系，也就是平行线的性质．活动目的：通过对一个实际问题的解决，引出平行线的性质。教学效果：由于学生对平行线的性质比较熟悉，因此，在学生回忆起这些知识后，能很快解决实际问题。第二环节：探索与应用活动内容：①画出直线AB的平行线CD，结合画图过程思考画出的平行线，被第三条直线所截的同位角的关系是怎样的？②平行公理：两直线平行同位角相等．③两条平行线被第三条直线所截，同位角是相等的，那么内错角、同旁内角有什么关系呢？∵a∥b(已知)，∴∠1＝∠2(两条直线平行，同位角相等)∵∠1＝∠3(对顶角相等)，∴∠2=∠3(等量代换)．师：由此我们又得到了平行线有怎样的性质呢？学生活动：同学们积极举手回答问题．教师根据学生叙述，给出板书：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．师：下面请同学们自己推导同旁内角是互补的．并归纳总结出平行线的第三条性质．请一名同学到黑板上板演，其他同学在练习本上完成．师生共同订正推导过程并写出第三条性质，形成正确板书．∵a∥b(已知)∴∠1=∠2(两直线平行，同位角相等)∵∠1＋∠4=180°(邻补角定义)∴∠2+∠4＝180°(等量代换)即：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，简单说成，两直线平行，同旁内角互补师：我们知道了平行线的性质，在今后我们经常要用到它们去解决、论述一些问题，所需要知道的条件是两条直线平行，才有同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，即它们的符号语言分别为：∵a∥b，∴∠1=∠2(两直线平行，同位角相等)．∵a∥b(已知)，∴∠2＝∠3(两直线平行，内错角相等)．∵a∥b(已知)，∴∠2+∠4＝180°．(两直线平行，同旁内角互补)(板书在三条性质对应位置上)活动目的：通过对平行线性质的探索，使学生对证明的步骤、格式有更进一步的认识，认识证明的必要性。教学效果：在前面复习引入的基础上，通过学生的观察、分析、讨论，此时学生已能够进行推理，在这里教师不必包办代替，充分调动学生的主动性和积极性，进而培养学生分析问题的能力，在学生有成就感的同时也激励了学生的学习兴趣．第三环节：课堂练习活动内容：①已知平行线AB、CD被直线AE所截(1)若∠1=110°,可以知道∠2是多少度吗？为什么？(2)若∠1=110°，可以知道∠3是多少度吗？为什么？(3)若∠1=110°，可以知道∠4是多少度吗，为什么？②变式训练：如图是梯形有上底的一部分，已知量得∠A=115°，∠D＝100°，梯形另外两个角各是多少度？解：∵AD∥BC(梯形定义)，∴∠A+∠B＝180°．∠C＋∠D＝180°(两直线平行，同旁内角互补)，∴∠B=180°-∠A＝180°-115°=65°．∴∠C＝180°-∠D＝180°-100°=80°．③变式练习：如图，已知直线DE经过点A，DE∥BC，∠B＝44°，∠C＝57°(1)∠DAB等于多少度？为什么？(2)∠EAC等于多少度？为什么？(3)∠BAC、∠BAC＋∠B＋∠C各等于多少度？④如图，A、B、C、D在同一直线上，AD∥EF．(1)∠E＝78°时，∠1、∠2各等于多少度？为什么？(2)∠F=58°时，∠3、∠4各等于多少度？为什么？活动目的：通过学生对证明的螺旋式上升的认识，更认识到数学严密性与证明的必要性，做到每一步都有根有据。教学效果：在教师不给任何提示的情况下，学生独立完成，把理由写成推理格式．对于学习困难一点的同学允许他们相互之间讨论后,再试着在练习本上写出解题过程．对学生中出现的不同解法给予肯定，培养学生的解题能力．第四环节：课堂反思与小结活动内容：①归纳两直线平行的判定与性质②总结证明的一般思路及步骤活动目的：使学生认识到平行线的判定与性质是一对互逆定理，并由感性认识上升到理性认识，归纳总结出证明题的一般思路及步骤。教学效果：应让学生积极讨论，说出平行线的判定及性质，由角的关系得到两条直线平行的结论是平行线的判定，反过来，由已知直线平行，得到角相等或互补的结论是平行线的性质，能通过具体实例，使学生在有充足的感性认识的基础上上升到理性认识，总结出平行线性质与判定的不同，总结证明的一般步骤，养成严谨的推理习惯．布置作业：课本第177页的习题7.5第1，2，3题板书设计：第七章平行线的证明4．平行线的性质定理：定理：例1：教学反思：总第55课时第七章平行线的证明5．三角形内角和定理（第1课时）教学目标：知识与技能：1.掌握三角形内角和定理的证明及简单应用。2.灵活运用三角形内角和定理解决相关问题。过程与方法：3.用多种方法证明三角形定理，培养一题多解的能力。情感态度与价值观：4.对比过去撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用．教学重点、难点：重点：三角形内角和定理的证明及简单应用难点：三角形内角和定理的证明及简单应用易错点：易混点：易漏点：教学方法：引导—探究—归纳教学过程：本节课的设计分为四个环节：情境引入——探索新知——反馈练习——课堂小结第一环节：情境引入活动内容：（1）用折纸的方法验证三角形内角和定理．实验1：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图6－38（1））然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图（2）、（3）），最后得图（4）所示的结果（1）（2）（3）（4）试用自己的语言说明这一结论的证明思路。想一想，还有其它折法吗？（2）实验2：将纸片三角形三顶角剪下，随意将它们拼凑在一起。试用自己的语言说明这一结论的证明思路。想一想，如果只剪下一个角呢？活动目的：对比过去撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用。将自己的操作转化为符号语言对于学生来说还存在一定困难，因此需要一个台阶，使学生逐步过渡到严格的证明．教学效果：说理过程是学生所熟悉的，因此，学生能比较熟练地说出用撕纸的方法可以验证三角形内角和定理的原因。第二环节：探索新知活动内容：用严谨的证明来论证三角形内角和定理．ABABCEDAABCDE方法一：过A点作DE∥BC∵DE∥BC∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C（两直线平行，内错角相等）∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代换)方法二：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥BA．∵CE∥BA∴∠B=∠ECD（两直线平行，同位角相等）∠A=∠ACE（两直线平行，内错角相等）∵∠BCA+∠ACE+∠ECD=180°∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换)活动目的：用平行线的判定定理及性质定理来推导出新的定理，让学生再次体会几何证明的严密性和数学的严谨，培养学生的逻辑推理能力。教学效果：添辅助线不是盲目的，而是为了证明某一结论，需要引用某个定义、公理、定理，但原图形不具备直接使用它们的条件，这时就需要添辅助线创造条件，以达到证明的目的．第三环节：反馈练习活动内容：（1）△ABC中可以有3个锐角吗？3个直角呢？2个直角呢？若有1个直角另外两角有什么特点？（2）△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∠B=？（3）∠A=50°，∠B=∠C，则△ABC中∠B=？（4）三角形的三个内角中，只能有____个直角或____个钝角．（5）任何一个三角形中，至少有____个锐角；至多有____个锐角．（6）三角形中三角之比为1∶2∶3，则三个角各为多少度？（7）已知：△ABC中，∠C=∠B=2∠A。(a)求∠B的度数；(b)若BD是AC边上的高，求∠DBC的度数？活动目的：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对三角形内角和定理的概念是否清楚，能否灵活运用三角形内角和定理，以便教师能及时地进行查缺补漏．教学效果：学生对于三角形内角和定理的掌握是非常熟练，因此，学生能较好地解决与三角形内角和定理相关的问题。第四环节：课堂小结活动内容：证明三角形内角和定理有哪几种方法？辅助线的作法技巧.三角形内角和定理的简单应用.活动目的：复习巩固本课知识，提高学生的掌握程度．教学效果：学生对于三角形内角和定理的几种不同的证明方法的理解比较深刻，并能熟练运用三角形内角和定理进行相关证明.课后练习：课本第179页随堂练习；布置作业：第180页习题7.6第1，2，3,4题板书设计：第七章平行线的证明5．三角形内角和定理（第1课时）三角形内角和定理：想一想：例1：证明：教学反思：总第56课时第七章平行线的证明5．三角形内角和定理（第2课时）教学目标：知识与技能：1.掌握三角形外角的两条性质；2.进一步熟悉和掌握证明的步骤、格式、方法、技巧．3.灵活运用三角形的外角和两条性质解决相关问题。过程与方法：4.进一步培养学生的逻辑思维能力和推理能力，培养学生的几何意识。情感态度与价值观：.通过在数学活动中进行教学，使学生能自主地“做数学”，特别是培养有条理的想象和探索能力，从而做到强化基础，激发学习兴趣．教学重点、难点：重点：三角形外角定理的证明及简单应用难点：三角形外角定理的证明及简单应用易错点：易混点：易漏点：教学方法：引导—探究—归纳教学过程：本节课的设计分为四个环节：情境引入——探索新知——反馈练习——课堂小结第一环节：情境引入活动内容：在证明三角形内角和定理时，用到了把△ABC的一边BC延长得到∠ACD，这个角叫做什么角呢？下面我们就给这种角命名，并且来研究它的性质．活动目的：引出三角形外角的概念，并对其进行研究，激发学生学习兴趣。注意事项：教师应在学生充分展示自己的意见之后，有意识地引导学生从三角形的外角的角度进行思考。第二环节：探索新知活动内容：①三角形的外角定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角，结合图形指明外角的特征有三：(1)顶点在三角形的一个顶点上．(2)一条边是三角形的一边．(3)另一条边是三角形某条边的延长线．②两个推论及其应用由学生探讨三角形外角的性质：问题1：如图，△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，∠ACD是△ABC的一个外角，能由∠A、∠B求出∠ACD吗？如果能，∠ACD与∠A、∠B有什么关系？问题2：任意一个△ABC的一个外角∠ACD与∠A、∠B的大小会有什么关系呢？

由学生归纳得出：推论1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．推论2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．例1、已知：∠BAF，∠CBD，∠ACE是△ABC的三个外角．求证：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°分析：把每个外角表示为与之不相邻的两个内角之和即得证．证明：(略)．例2、已知：D是AB上一点,E是AC上一点，BE、CD相交于F,∠A=62°，∠ACD=35°，∠ABE=20°．求：(1)∠BDC度数；(2)∠BFD度数．解：(略)．活动目的：通过三角形内角和定理直接推导三角形外角的两个推论，引导学生从内和外、相等和不等的不同角度对三角形作更全面的思考．注意事项：新的定理的推导过程应建立在学生的充分思考和论证的基础之上，教师切勿越俎代庖。第三环节：课堂练习活动内容：已知，如图，在三角形ABC中，AD平分外角∠EAC，∠B=∠C．求证：AD∥BC分析：要证明AD∥BC,只需证明“同位角相等”,即需证明∠DAE=∠B.证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∠B=∠C（已知）BACDE∴∠B=BACDE∵AD平分∠EAC（已知）∴∠DAE=∠EAC（角平分线的定义）∴∠DAE=∠B（等量代换）∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）想一想，还有没有其他的证明方法呢？这个题还可以用“内错角相等，两直线平行”来证.证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∠B=∠C（已知）∴∠C=∠EAC（等式的性质）∵AD平分∠EAC（已知）∴∠DAC=∠EAC（角平分线的定义）∴∠DAC=∠C（等量代换）∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）还可以用“同旁内角互补，两直线平行”来证.证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∠B=∠C（已知）∴∠C=∠EAC（等式的性质）∵AD平分∠EAC（已知）∴∠DAC=∠EAC∴∠DAC=∠C（等量代换）∵∠B+∠BAC+∠C=180°∴∠B+∠BAC+∠DAC=180°即：∠B+∠DAB=180°∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）ABCDE1F2②ABCDE1F2证明：∵∠1是△ABC的一个外角（已知）∴∠1>∠ACB（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）∵∠ACB是△CDE的一个外角（已知）∴∠ACB>∠2（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）∴∠1>∠2（不等式的性质）③.如图，求证：（1）∠BDC>∠A.（2）∠BDC=∠B+∠C+∠A.如果点D在线段BC的另一侧，结论会怎样？［分析］通过学生的探索活动，使学生进一步了解辅助线的作法及重要性，理解掌握三角形的内角和定理及推论.证法一：（1）连接AD，并延长AD，如图，则∠1是△ABD的一个外角，∠2是△ACD的一个外角.∴∠1>∠3.∠2>∠4（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）∴∠1+∠2>∠3+∠4（不等式的性质）即：∠BDC>∠BAC.（2）连结AD，并延长AD，如图.则∠1是△ABD的一个外角，∠2是△ACD的一个外角.∴∠1=∠3+∠B∠2=∠4+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∴∠1+∠2=∠3+∠4+∠B+∠C（等式的性质）即：∠BDC=∠B+∠C+∠BAC证法二：（1）延长BD交AC于E（或延长CD交AB于E），如图.则∠BDC是△CDE的一个外角.∴∠BDC>∠DEC.（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）∵∠DEC是△ABE的一个外角（已作）∴∠DEC>∠A（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）∴∠BDC>∠A（不等式的性质）（2）延长BD交AC于E，则∠BDC是△DCE的一个外角.∴∠BDC=∠C+∠DEC（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠DEC是△ABE的一个外角∴∠DEC=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∴∠BDC=∠B+∠C+∠BAC（等量代换）活动目的：让学生接触各种类型的几何证明题，提高逻辑推理能力，培养学生的证明思路，特别是不等关系的证明题，因为学生接触较少，因此更需要加强练习．注意事项：学生对于几何图形中的不等关系的证明比较陌生，因此有必要在证明第2小题中，要引导学生找到一个过渡角∠ACB，由∠1>∠ACB，∠ACB>∠2，再由不等关系的传递性得出∠1>∠2。第四环节课堂小结活动内容：由学生自行归纳本节课所学知识：推论1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．推论2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．活动目的：复习巩固所学知识，理清思路，培养学生的归纳概括能力．注意事项：学生对于三角形外角的两个推论以及它们的应用有一定的了解。课后练习：课本第183页的随堂练习第1,2题，布置作业：习题7.7题第1，2，3题。思考题：课本183页第4题（给学有余力的同学做）板书设计：第七章平行线的证明5．三角形内角和定理（第2课时）问题：定理：例2：例3：课后反思：总第57课时第七章平行线的证明回顾与思考教学目标：知识与技能：（1）了解命题的概念与命题的构成；（2）使学生进一步熟悉平行线的性质定理与判定定理，三角形内角和定理及三角形的外角的性质等概念；（3）进一步体会证明的必要性；过程与方法：掌握证明的步骤与格式．情感态度与价值观：.培养学生的逻辑思维能力，发展学生的合情推理能力；教学重点、难点：重点：三角形内角和定理的证明及简单应用难点：三角形外角定理的证明及简单应用易错点：易混点：易漏点：教学方法：引导—探究—归纳教学过程：本节课设计了五个教学环节：知识回顾——做一做——想一想——试一试——反馈练习．第一环节知识回顾活动内容：1.什么是定义？什么是命题？命题由哪两部分组成？举例说明！2.平行线的性质定理与判定定理分别是什么？3.三角形内角和定理是什么？4.与三角形的外角相关有哪些性质？5.证明题的基本步骤是什么？活动目的：通过学生的回顾与思考，使学生对平行线的性质定理与判定定理，三角形内角和定理及三角形的外角的性质有一个更深层次的认识，为下一步的简易的逻辑推理作好知识准备．注意事项：由于学生对于上述概念都有较长时间的学习，但知识点是零散的，因此有必要在学生头脑中形成一个清晰的知识网络，如：第二环节做一做活动内容：1.下列语句是命题的有（）（1）两点之间线段最短；（2）向雷锋同志学习；（3）对顶角相等；（4）花儿在春天开放；（4）对应角相等的两个三角形是全等三角形；2.下列命题，哪些是真命题？哪些是假命题？如果是真命题，请写出条件与结论，如果是假命题，请举出反例.（1）同角的补角相等；（2）同位角相等，两直线平行；（3）若|a|=|b|，则a=b.3.如图，AD、BE、CF为△ABC的三条角平分线,则：∠1+∠2+∠3=________.4.用两个全等的等腰直角三角尺拼成四边形，则此四边形一定是_____。5.如图所示，△ABC中，∠ACD=115°，∠B=55°,则∠A=,∠ACB=6.△ABC的三个外角度数比为3∶4∶5，则它的三个外角度数分别为_____.7.已知，如图，AB∥CD，若∠ABE=130°,∠CDE=152°，则∠BED=__________.第3题图第5题图第7题图活动目的：通过以上习题的练习，使学生对本章的一些基本知识，如：定义、命题、平行线的性质定理与判定定理、三角形内角和定理及三角形的外角的性质等概念有一个更清楚的认识。注意事项：此类习题主要考查学生对于本章的一些知识点的认知程度，对于多数同学而言，这是比较简单的习题，但对于少数同学而言还是有一定的困难，如果出现部分同学有学习困难时，在讲解之后，还可再出部分类似习题供学生练习。第三环节想一想活动内容：1、已知，如图，直线a,b被直线c所截，a∥b。求证：∠1+∠2=180°证明：∵a∥b（已知）∴∠1+∠3=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠3=∠2（对顶角相等）∴∠1+∠2=180°（等量代换）第1小题图第2小题图2、已知，如图，∠1+∠2=180°,求证：∠3=∠4.证明：∵∠2=∠5（对顶角相等）∠1+∠2=180°（已知）∴∠1+∠5=180°（等量代换）∴CD∥EF（同旁内角互补，两直线平行）∴∠3=∠4（两直线平行，同位角相等）活动目的：学生在进行了一些必要的知识准备之后，有必要对学生进行简单几何证明题的训练，从而培养学生的逻辑思维能力和推理能力。注意事项：在教学中，应避免对学生采用直灌式，不可直接将证明的步骤给学生，应该在学生充分思考并表达了自己的想法之后再对学生的思考过程进行评判，切忌因为证明题的简单而一笔带过，这是培养每一个学生的逻辑思维能力的必要手段．第四环节试一试活动内容：3、已知，如图，直线AB∥ED.求证：∠ABC+∠CDE=∠BCD.（1）（2）本题有多种证法.证法一：（如图（1））过点C作CF∥AB.∴∠ABC=∠BCF（两直线平行，内错角相等）∵AB∥ED（已知）∴ED∥CF（两直线都和第三条直线平行，则这两条直线平行）∴∠EDC=∠FCD（两直线平行，内错角相等）∴∠BCF+∠FCD=∠EDC+∠ABC（等式性质）即：∠BCD=∠ABC+∠CDE证法二：（如图（2）），延长BC交DE于F点∵AB∥DE（已知）∴∠ABC=∠CFD（两直线平行，内错角相等）∵∠BCD是△CDF的一个外角（已知）∴∠BCD=∠CFD+∠CDE（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）∴∠BCD=∠ABC+∠CDE（等量代换）．4、将正方形的四个顶点用线段连接，什么样的连法最短？研究发现，并非对角线最短.而是如图的连法最短（即用线段AE、DE、EF、CF、BF把四个顶点连接起来），已知图中∠DAE=∠ADE=30°,∠AEF=∠BFE=120°,你能证明此时AB∥EF吗？答案：能.证明：∵四边形ABCD是正方形（已知）∴∠DAB=90°（正方形的性质）∵∠DAE=30°（已知）∴∠EAB=60°（等式性质）∵∠AEF=120°（已知）∴∠AEF+∠EAB=120°+60°=180°（等式的性质）∴AB∥EF（同旁内角互补，两直线平行）活动目的：通过螺旋式上升的练习，使得学生逐步提高学生的逻辑思维能力，发展学生的合情推理能力，提高分析问题的能力．注意事项：第3题需要通过作辅助线才能解决，必须让学生充分发表自己的看法，第4题的目的是让学生证明AB∥EF，而不是让学生找什么样的连法最短，不必要将学生的时间花费在此方面．第五环节反馈练习活动内容：1、如图，△ABC中，∠B=55°,∠C=63°,DE∥AB,则∠DEC等于【】（A）63° (B)62°(C)55° （D）118°2．命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是【】（A）垂直(B)两条直线(C)同一条直线（D）两条直线垂直于同一条直线3．如图，BD平分∠ABC，若∠1＝∠2，则【】DABCE（A）ABDABCE第1题第1题第3题4．三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是【】（A）锐角三角形 (B)钝角三角形 (C)直角三角形 （D）无法确定5．锐角三角形中，最大角α的取值范围是【】（A）0º＜α＜90º (B)60º＜α＜90º(C)60º＜α＜180º （D）60º≤α＜90º6、如图：∠A=65º ，∠ABD=∠BCE=30º，且CE平分∠ACB,求∠BEC.7、如图，AB，CD相交于O，且∠C＝∠1。试问：当∠2与∠D有什么大小关系时，AC∥BD？请证明你的结论。ABGDFCE1328、如图，AD⊥BC，EFABGDFCE132求证：∠1=∠2.活动目的：通过设置恰当的、有一定梯度的题目，关注学生知识技能的发展和不同层次的需求，体现不同的学生在数学上得到不同的发展．注意事项：力求让每一个学生在几何的学习上都有不同的收获，不可能强求每一个学生对于几何的学习都是完美的，毕竟在每一个个体的思维能力是不同的，应允许存在差异，这才符合不同的学生在数学上得到不同的发展的学习理念。课后练习：课本第185页复习题第8、9、10、12题；板书设计：第七章平行线的证明回顾与思考课后反思：总第58课时综合与实践哪一款手机资费套餐更合适〖课前准备〗了解手机资费的相关术语及手机资费套餐的种类。收集数据：以你爸爸或妈妈的手机为样本，调查连续五个月来手机通话时间的情况。（下面为样本表格）本地通话（分）本地通话费（元）长途通话（分）长途通话费（元）通话总时间（分12345〖教学过程〗前置诊断，开辟道路前面我们学习了一次函数的相关知识，知道了函数是刻画变量之间关系的常用模型，其中一次函数是最为简单且应用最为广泛的一类数学模型。今天我们来接着研究生活中还有哪些问题可以用一次函数这一模型来刻画、解决。手机现在已经成为人们必不可少的一样通讯工具，我想我们班一定也有很多同学都有手机，我们在享受着手机所带来的便捷的同时，不知道大家想过没有手机资费中其实包含着很多我们学过的数学知识，下面我们就来研究一下手机的资费问题。你都了解哪些手机资费的相关术语？你了解手机资费的套餐的种类吗？简单说明。意图：前置诊断，为下一环节扫清学生理解上的障碍。导入新课如果你家刚刚添置了一部手机，下表是家长获得的一份手机资费宣传单，选择其中哪一款手机资费的“套餐”更合适？你能给你的家长出出主意吗？套餐名称资费内容备注月租本地主叫长途主叫本地以及长途被叫基础定制A0月租0.2元/分钟0.28元/分钟免费2元来话宝+3元来电显示+5元炫铃市话最低消费40元；套餐最低月消费50元B0月租0.18元/分钟0.3元/分钟免费市话最低消费60元；套餐最低月消费70元C0月租0.15元/分钟0.3元/分钟免费3元来电显示+3元来话宝或新闻早晚报市话、国内长途月最低消费66元；套餐最低月消费72元讲授新课以小组为单位合作完成下列任务（以一名学生搜集的数据为样本进行分析）：①分析资费宣传单：每月的资费受哪些因素影响？②介绍你家这部手机的使用情况:将以本地通话为主,还是将会长途通话较多?或者有其他具体用法？并确定与“每月的资费”相对应的自变量。学生情况分析：问题①有的学生会考虑到短信对总资费的影响；问题②在有课前准备的基础上，学生不难总结前两种通话情况，对于其他用法可能会出现以下几种：各个月份本地通话和长途通话时间相差不多；各个月份本地通话和长途通话总费用差不多；每个月本地通话时间差不多；每个月本地通话费用差不多；每个月长途通时间差不多等等。教学分析：教师对学生提出的用法逐一点评，并分析与“每月资费”相对应的自变量。如果学生搜集的数据中有预设四种情况中的一种或几种，教师就在学生的基础上提出并分析预设；如果学生搜集的数据中没有我们需要的预设，那么教师可以出示自己提前做好的卡片（即数据），让学生发现我们关注的预设。③围绕所要研究的函数关系,确定具体三种套餐下相应的函数表达式;④解释所得的函数表达式中“k”、“b”的实际意义；如果手机的使用以本地通话为主，故忽略掉长途主叫情况进行研究；设本地通话时间为x分钟，通话费用为y元，则：k本地主叫每分钟的价钱，b是基础定制费；教学分析：学生在确定自变量的取值范围时可能会遇到困难，教师要提示学生关注每一套餐中的备注；（2）手机的使用以长途通话为主，对每月本地通话费用取平均值代入；如果我们设本地通话平均费用为m元（m是我们假设的一个常量），因为以长途通话为主，所以m较小，设长途通话时间为x分钟，总通话费用为y元，则：如果选择A，则本地通话很少，但是40元钱照扣通话时间x的范围如果不是整数必须进一位，不是四舍五入K表示长途通话每分钟的费用，b表示市话费用与基础定制之和；教学分析：学生不一定会想到把本地通话费用取平均值代人，受（1）的影响，学生很可能会想到忽略掉本地主叫情况，这时需要教师对学生进行恰当的引导：任何人在使用手机时都会有一定量的本地通话，故逐渐想到（2）这种情况。（3）关注到月平均通话时间，列表达式展开研究；教师可以通过自己准备的数据卡片，引导学生关注到月平均的通话时间，比如调查计算出月平均主叫时间为500分钟，设其中本地主叫时间为x分钟，则相应的长途主叫时间为（500-x）分钟，则：ⅰ、继续分情况讨论分段函数A：如果x<200,ⅱ、继续分情况讨论分段函数B：因为是500分钟不用讨论套餐最低消费70元，如300分钟更复杂，需考虑更多限制条件，暂且不讨论。比如总时间是70/0.3=233分钟以下，则总通话费不足70元应以70元计算。ⅲ、同ii情况，500分钟话费超过75元，不必讨论套餐最低消费问题。当x较大时，K表示市话每分钟比长途每分钟便宜的价钱，b表示假设500分钟都是长途时的总资费（长途话费+基础定制）；x较小时，K表示长途每分钟价格的相反数，b表示最大总资费（长途话费+基础定制+市话最低消费）。⑤根据上述研究结果及具体需求作出选择并说明理由.根据学生家庭实际的电话使用情况来分析如何选择。如（1）如果手机的使用以本地通话为主，故忽略掉长途主叫情况进行研究；设本地通话时间为x分钟，通话费用为y元，则：总结提升想一想：1、所得的函数表达式中的“k”、“b”对每月资费有怎样的影响？2、一般地，什么情况下选择A套餐，说说你的理由。什么情况下选择B套餐呢？C套餐呢？把你们的分析过程和最终结论以小组为单位，总结成一份课题报告，说明它所适用的消费群体.进行班级交流.根据图像，当时，选择套餐A最划算；当时，选择套餐B最划算；当时，选择套餐C最划算。（二）案例提供者：青岛三十四中杨凤霞实验区：青岛课题名称：哪种上网方式更合算？课题报告（学生用）一、根据问题背景提出问题，选择所需信息。二、数据处理与分析1.设x表示每月的上网时间，单位为小时，y表示上网费用，单位为元，填写下表。上网方式计费方式上网时间与费用的函数关系下行速率包月方式网络使用费限时超出费率2、请在同一平面直角坐标系中完成上述各函数的图像。3、根据所画的图象，说明你为什么选择这种上网方式？三、总结评估数学模型的解（思考问题、解决问题的过程）四、拓展应用选择二至三种手机收费方式进行调查，分析说明它所适用的消费群体。总第59课时综合与实践哪个城市夏天更热一、学情分析本节课题学习安排在北师大版教材八年级下册，此时学生已经学习了《数据的收集与处理》，掌握了平均数、极差、方差、标准差等相关知识，经历过数据的收集、整理、描述与分析的过程，积累了部分数学活动经验。同时，在以往的学习过程中，学生已经形成了一定的合作交流能力和团队意识，这些都为本节课的学习奠定了坚实的基础。二、任务分析本节课立意新颖、独具魅力，倡导一种综合性、挑战性和开放性的学习方式，在处理实际问题的过程中学生要自己从知识库中提取知识，搜集所需的数据，并通过小组交流建立衡量标准，处理数据，从而做出决策。整个过程中学生完整的经历了统计调查活动，学会了运用各种渠道收集数据，并根据不同的标准完成对数据的加工处理，这样有助于促进学生学习方式的转变——从理论到实际，增进学生的合作交流能力和团队意识，发展学生的统计意识和数据处理能力，提高运用数据分析实际问题并为决策服务的能力。三、教学目标1.经历数据收集、处理、分析的全过程，进一步发展学生的数据分析观念,提高运用统计知识解决实际问题的能力。2.在解决问题的过程中,经历比较标准的建构、调整等活动，丰富数学活动经验。3.经历小组合作与交流活动，进一步积累数学活动经验，发展合作能力。4.体会数学与生活的密切联系,感受数学的广泛应用。5.教学重点：综合平均数、方差、极差等知识分析实际问题。教学难点：衡量标准的选择和确定。四、教学流程安排：（一）、课前准备阶段：课前活动一：内容：提前一周布置给学生：影响一个城市天气冷热的因素有哪些？收集你认为影响武汉和长沙天气冷热因素的相关数据。意图：让学生经历数据的收集过程，充分利用图书馆、网络等多种渠道、多重手段收集自己需要的数据，给学生足够的空间和时间去调查。效果：学生考虑的因素主要有以下几种：温度、湿度、降水量、风速、纬度、气候类型、地形等，数据的收集方式大部分采用网络，也有个别学生去图书馆查阅的资料。课前活动二：内容：对学生收集的数据进行汇总并分析：你认为影响城市天气冷热的因素都有哪些？你是通过什么方式获取的数据？意图：分析影响城市天气冷热的因素，交流调查方式，在讨论交流中学生思考问题和调查数据的能力得到共同的提高。课前活动三：内容：1、将学生分成六人一组，设组长和副组长各一人，负责协调调度整个小组的工作，在自主交流、讨论验证期间，充分发挥其组织能力，引领大家愉快、高效地完成各项任务。2、培训学生使用计算器计算方差。（二）、教学过程：【第一环节】构造悬念创设情境内容：短剧欣赏小明：放暑假了！解放了！这么好的假期我要去哪玩呢？（铃···）爷爷：孙子，放暑假了吧？到爷爷这来玩吧，武汉现在可凉快了！小明：哦，让我想想。(铃···)姥姥：大外孙，放暑假了还不快到姥姥家玩？小明：可是爷爷让我去武汉呢？姥姥：你爷爷家那可是一个大火炉，还是到姥姥这来吧，这边还不到40度呢！小明：武汉和长沙到底哪个城市更热呢？你们能帮帮我吗？这是小明制作的两个城市天气的统计表，大致如下：〖这两个城市2009年7月23日至7月31日最高及最低气温统计表〗长沙武汉2009年7月长沙（武汉）天气日期…232425262728293031…平均温度℃3330.529292729272724.523.523.52525.526.5292731.527.5最高温度℃373532332833283126262528272933293631最低温度℃292626252625262323212222242425252724意图：课上请3名同学根据情景对话的内容进行现场演绎，由这个幽默的小短剧引发学生的思考，使学生产生认知上的冲突，激发学生探究的兴趣和热情。效果：由于是本班学生录制的短片，学生间比较熟悉，所以气氛很热烈，有些学生直接凭自己的感觉说武汉热或是长沙热，教师进行适当的引导提出问题“能不能凭自己的感觉作出判断？”，由此自然引出本节课的课题。【第二环节】设问质疑探究尝试内容1：想一想（1）你感觉今天热不热？是什么原因使你感觉很热（或是凉爽）？（2）影响人体冷热感觉的因素有哪些？（3）其中更能体现一个城市夏季气候特点的因素是哪几个？意图：通过3个递进的问题，引导学生分析影响人体感觉冷热的因素。其实影响人体感觉冷热的因素很多，如：穿衣的多少、所处的位置、温度、湿度、风速等等很多，如何从这些众多因素中选择合理的、主要的关注点，问题（3）正是引发了学生这方面的思考，通过小组内的讨论、交流，达成小组内的共识。效果：学生通过对影响自己冷热原因的思考，进而得出影响人体感觉冷热的因素。学生想到的因素主要有：温度、降水、季风、海拔、海陆位置、纬度、地形、日照时间、风速等等。经过对问题3的思考，学生意识到众多因素中最能体现城市夏季气候特点的主要是温度、降水和风速，从而针对温度、降水以及风速进行下面的探究。评价建议：此处问题比较开放，学生会根据自己的切身感受从众多影响人体感觉冷热的因素选择主要关注点，这些关注点不尽相同，只要合理即可，教师在评价时要认同并给出相应鼓励性的评价。内容2：议一议（1）为了知道哪个城市是真正的火炉，应如何制定适当的衡量标准进行比较？（2）为做出客观的判断，你可以在上述小明设计的表格中再设定哪些栏目？（3）你需要收集哪个时间段内这两个城市的相关数据？意图：借助小组内的交流讨论，让学生自己来制定衡量“火炉”的标准，并在建立标准的基础上，完善表格并选择所需数据。通过问题（3），让学生自己来分析应收集哪一时间段内的数据更具代表性和典型性，在实践调查活动的基础上引导学生学会如何选择数据。效果：给学生充分的时间经历标准的建立过程，通过小组的讨论以及班级整体的交流，使学生意识到标准的多样性。评价建议：标准的建立是解决“火炉”问题的关键点，而如何制定这个标准学生可以从多个角度来考量，教师此时适当的指导和引导性评价对学生来说是非常重要的，可以帮助学生达成更具代表性的衡量标准。内容3：做一做利用课前大家汇总的数据，依据制定的衡量标准，小组分工合作，对数据进行分析、处理。影响因素城市名称最高气温的平均数最高气温的方差平均气温的平均数平均气温的方差最低气温的平均数平均风速平均降水量武汉长沙意图：（1）通过分工合作缩短计算占用的时间，提高课堂效率。（2）将数据汇总到一个表格，方便学生借助于不同的数据，分析两个城市的气候特点。（3）鼓励学生使用计算器计算复杂数据，以便留出充足的时间来分析数据蕴含的信息。效果：做一做环节需要计算的数据较多，但是由于采取了分工合作的方式，再者课前对学生进行了计算器计算方差的培训，所以课上计算仅用了5分钟左右的时间。评价建议：鼓励学生利用计算器统计数据，对团队合作效率高的小组给予表扬，引起学生对小组合作的重视。内容4：说一说（1）你现在知道哪个城市是真正的火炉了吗？（2）大家的结论一致吗？是什么原因导致了不同的结论？意图：针对“做一做”中统计出的数据，引导学生挖掘数据中表达的有用信息，鼓励学生从不同的角度出发分析数据，运用数据说一说两个城市的气候特点，最终依据它们作出合理的决策，找出真正的“火炉”。效果：这部分是整节课的高潮，学生利用数据从多个方面来分析两个城市的气候特点，并以自己的标准来衡量哪个城市是真正的火炉，由此学生自然而然的发现了结论不一致的原因，也引发学生对实际问题更多的思考。评价建议：小组合作时要关注学生的参与性、思维的广泛性、处理问题的灵活性。对能够从多个数据出发，综合分析城市气候特点的学生，给予高度评价。【第三环节】提炼总结反思提高内容：回顾火炉问题的探究过程：我们的探究思路是什么？你有哪些感悟和收获？你对小组成员有什么评价和建议？你还能解决生活中遇到的哪些问题？意图：引导学生对自己的学习过程进行提炼和反思，总结出解决这类问题的方法，同时引导学生关注数学实践活动，重视小组内的合作和交流，倾听小组成员的评价、建议，取长补短，共同提高。效果：对问题4，学生提到可以解决在哪个城市建地铁、谁更适合做总统等问题。评价建议：同一节课每个学生的收获和感悟是不一样的，教师要鼓励学生说出自己最真实的感受，通过对学生积极的、适当的评价引导学生关注小组成员间的沟通、合作。【第四环节】课外拓展内容：大连和青岛是两个美丽的海滨城市，你知道在哪个城市居住，人们生活的幸福感更高吗？（1）小组讨论，设计方案并阐述你们的设计思路。（2）以小组为单位，收集数据，整理数据，并对数据进行分析，完成一份调查报告。意图：本环节要求学生通过小组合作，从整体上理顺思路、设计流程，在此基础上经历数据的收集、处理、分析的全过程，最终形成决策，完成调查报告。这是一个完整的解决实际问题的过程，在此过程中学生可以巩固本节课所学内容，积累大量的数学活动经验，提高小组合作的能力，提升综合解决问题的能力。效果：生活幸福感这样的问题与学生的现实生活联系密切，学生兴趣浓厚，探究热情高涨，方案设计的细致、合理。学生主要考虑了以下影响生活幸福度的因素：人均收入、消费水平、环境保护、食品安全、交通、物价、空气质量、住房等问题。评价建议：学生讨论、设计方案的过程中教师要积极参与到小组活动中，对学生进行适当的指导，优秀的团队应给予表扬。最后，每个小组的调查报告全班进行统一的展示、讲评，教师要指出优点与改进之处，对学生今后如何解决同类问题指明方向。五、评析这节综合实践课，设置在平均数、极差、方差、标准差等数据分析知识之后，学生此时已经积累了部分数学活动经验，冯艳萍老师充分考虑了八年级学生的年龄特点、知识基础和活动能力，整节课都是在学生活动、学生探究、学生实践中完成的，教师起到了引领和指导的作用，充分发挥了学生的主观能动性，给学生提供了多角度思考、多途径解决问题的空间和时间。在本节课的课前准备和授课过程中，冯艳萍老师抓住学生好动、善钻研的特点，给学生提供了充分自主探究的空间，鼓励学生多种途径开展调查活动，通过有效的问题引领启发学生如何筛选数据、如何制定标准、如何借助标准对实际问题作出决策。利用所学知识解决实际问题，这种亲身经验对于学生来说是非常宝贵的，也是本节课最突出的亮点之一，通过这种方式对学生综合能力的提高起到了重要的推动作用。总第60课时本章测试题填空题（每题4分，共32分）1．在△ABC中，∠C=2（∠A+∠B），则∠C=________.2．如图，AB∥CD,直线EF分别交AB、CD于E、F，EG平分∠BEF，若∠1=72º，则∠2=；3．在△ABC中，∠BAC＝90º，AD⊥BC于D，则∠B与∠DAC的大小关系是________4．写出“同位角相等，两直线平行”的题设为_______，结论为_______．第2题CABDEECDBA1324第5题第6题第7题5．如图，已知CABDEECDBA1324第5题第6题第7题6．如图，∠1＝27º，∠2＝95º，∠3＝38º，则∠4＝_______7．如图，写出两个能推出直线AB∥CD的条件________________________.8．满足一个外角等于和它相邻的一个内角的△ABC是_____________选择题（每小题4分，共24分）9．下列语句是命题的是【】(A)延长线段AB(B)你吃过午饭了吗？(C)直角都相等(D)连接A，B两点10．如图，已知∠1＋∠2＝180º，∠3＝75º，那么∠4的度数是【】第10题(A)75º(B)45º(C)105º(D)135º第10题以下四个例子中,不能作为反例说明“一个角的余角大于这个角”是假命题是【】(A)设这个角是30º，它的余角是60°，但30°<60°(B)设这个角是45°，它的余角是45°，但45°＝45°(C)设这个角是60°，它的余角是30°，但30°<60°(D)设这个角是50°，它的余角是40°，但40°<50°12．若三角形的一个内角等于另外两个内角之差，则这个三角形是【】DADABCE13．如图，△ABC中，∠B=55°,∠C=63°,DE∥AB,则∠DEC等于【】（A）63° (B)118°(C)55° （D）62°14．三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是【】（A）锐角三角形 (B)钝角三角形 (C)直角三角形 （D）无法确定（每小题10分，共20分）15．如图，AD=CD，AC平分∠DAB，求证DC∥AB.CCABD1216．如图，已知∠1＝20°，∠2＝25°，∠A=55°，求∠BDC的度数．四、（每小题12分，共24分）17．如图，BE，CD相交于点A，∠DEA、∠BCA的平分线相交于F.（1）探求：∠F与∠B、∠D有何等量关系？（2）当∠B︰∠D︰∠F=2︰4︰x时，x为多少？18．如图，已知点A在直线l外，点B、C在直线l上．(1)点P是△ABC内一点，求证：∠P>∠A;(2)试判断：在△ABC外又和点A在直线l同侧，是否存在一点Q，使∠BQC>∠A？试证明你的结论．参考答案1、120°；2、54°；3、相等；4、同位角相等，两直线平行；5、180°；6、20°；7、如∠1=∠8或∠1=∠6或∠1+∠5=180º；8.直角三角形；9、C；10、C；11、A；12、B；13、D；14、B；15、；16、100º；17、（1）连CE，记∠AEC=∠1，∠ACE=∠2，则∠D+∠2+∠1+∠DEA=180º，∠B+∠1+∠2+∠BCA=180º，∠F+∠1+∠2+∠DEA+∠BCD=180º.∵∠D+∠2+∠1+∠DEA+∠B+∠1+∠2+∠BCA=360º，∴（∠D+∠B）+∠1+∠2+∠BCA+∠DEA=180º，∴∠1+∠2+∠BCA+∠DEA=180º-（∠D+∠B），即∠F+180º-（∠D+∠B）=180º，∴∠F=（∠B+∠D）；（2）设∠B=2α，则∠D=4α，∴∠F=（∠B+∠D）=3α.又∠B︰∠D︰∠F=2︰4︰x，∴x=3.18、（1）延长BP交AC于D，则∠BPC>∠BDC，∠BDC>∠A故∠BPC>∠A；(2)在直线l同侧，且在△ABC外，存在点Q，使得∠BQC>∠A成立．此时，只需在AB外，靠近AB中点处取点Q，则∠BQC>∠A（证明略）.总第61课时期末测试题（一）填空题（每小题3分，共30分）1．因式分解：x3–4x=．2．满足不等式的非负整数是．3．若，则=．4．在一组样本容量为80的数据中，某一组数据出现的频率为0.25，则这组数据出现的频数为．5．方程的解是．6．如图，已知a∥b，则∠ACD=．7．数与数之间的关系非常奇妙．例如：第6题①，②，③，……第6题根据式中所蕴含的规律可知第n个式子是．8．已知AB∥CD，CP平分∠ACD．求证：∠1=∠2证明：∵AB∥CD（已知），第8题∴∠2=∠3（）．第8题又∵CP平分∠ACD，∴∠1=．∴∠1=∠2（等量代换）．9．某数学课外实验小组想利用树影测量树高，他们在同一时刻测得一名身高为1.5米的同学落在地面上的影子长为1.35米，因大树靠近一幢大楼，影子不会落在地面上（如图），他们测得地面部分的影