分块矩阵的简单应用

辽宁科技大学本科生毕业设计（论文）第页分块矩阵的简单应用摘要矩阵是高等代数中的一个重要概念，也是高等数学很多分支研究问题的工具。而把一个比较大的矩阵分成若干子块，构成分块矩阵是处理矩阵问题的重要技巧。分块矩阵思想来源于对矩阵运算复杂度及存储空间的考虑。特别当矩阵太大不适合存储在计算机内存中的时候，通过分块矩阵允许计算机每次只处理存储在内存中几个子矩阵，支持向量传输结构的向量计算机能够更加高效地运行支持分块矩阵的矩阵算法。分块矩阵可以降低矩阵的阶数，使矩阵更加条理清晰，使得矩阵的相关运算简单化，并使矩阵证明方面的相关问题得以便捷的解决。本文重点就分块矩阵的定义、分块方法、基本运算，行列式和求逆矩阵的计算，以及关于矩阵的秩的方面的证明问题进行了分析。使用了大量的例题说明了分块矩阵的技巧可以使高等代数中的很多计算与证明问题简单化。所以了解分析并掌握分块矩阵的性质与应用及相关的技巧是非常必要的。关键词：矩阵；分块矩阵；子矩阵

TheSampleApplicationOfBlockMatrix ABSTRACTMatrixisanimportantconceptinhighalgebra,butalsoaninstrumentforresearchofmanyfiliationinhighalgebra.Andthemeansofdividingalarge-scalematrixupintosomesmalloneisamainskilltoresolvethequestionofmatrix.Theideaofpartitionedmatrixcomesoftheadvisementtothecomplexityofmatrix'scalculateandtheunitofspace.Especially,whenthematrixistoolargetosaveintheEMSmemory,thecomputerwhichsupportthenetworkmanagementvectortransportcantakeorderwiththepartitionedmatrixalgorithminhighefficiency,withthepartitionedmatrixpermitthecomputeronlydealwiththesubmatrixthatstoreintheEMSmemoryeverytime.Theoryaboutblockmatrixcouldbeusedtodeclinehighordermatrixandmakeitclearerandeasiertocalculateandprovesomeproblemsaboutmatrix.Thispaperfocusesontheproblemsoftheconceptofblockmatrix,andthenumerationofsquarematrixandtheproofofmatrix.Itshowstheconvenienceoftheblockmatrixintheproblemsofmatrixandhighalgebrabymakinguseofanumberofexamples.Itisnecessarythatwemustlearnandanalyseandgrasptheskillofblockmatrixwhichisanimportantconceptinhighalgebra.Keywords：matrix；blockmatrix；submatrix

目录TOC\o"1-3"\h\u8432目录 III312781.绪论 1124312.分块矩阵的基本概念 453882.1定义 499582.2分块矩阵的运算 4288872.2.1加法与数量乘法运算 472242.2.2乘法运算 5100852.2.3转置运算 589932.3分块矩阵的初等变换 6185832.3.1定义 6319692.3.2运算 6260973.分块矩阵在计算方面的应用 10320463.1行列式计算 10214033.1.1引理 104033.1.2定理及几条推论 1048303.2求逆矩阵 15165343.2.1块对角矩阵 15146183.2.2一般的非奇异矩阵的逆矩阵 1759473.3解线性方程组 20327023.3.1齐次线性方程组 20285913.3.2非齐次线性方程组 22196744.分块矩阵在证明方面的应用 24292034.1有关矩阵的秩的证明 2416686结论 2730904致谢 2832757参考文献 291.绪论矩阵（Matrix）本意是控制中心的母体、孕育生命的地方。在数学上，19世纪英国数学家凯利首先提出矩阵是指纵横排列的二维数据表格，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方针。这一定义很好地解释了Matrix代码制造世界的数学逻辑基础。在数学上，矩阵用于解线性方程组既方便，又直观。例如对于方程组由它可以得到矩阵，我们通过矩阵的变化就可以得到方程组的解。矩阵作为数学中的基本工具之一，有着重要的实用价值。它常见诸于很多学科之中，如线性代数、线性规划、统计分析以及组合数学等。在实际生活中，随着科学技术的发展，特别是计算机技术的发展，矩阵的应用领域由传统的物理领域迅速扩展到非物理领域，在高科技发展、提高生产力水平和实现现代化管理等方面的作用越来越明显。矩阵作为一种方便的计算工具，可以以简单的形式表示复杂的公式，在数字图像处理、人工智能、网络通信以及一般算法的设计与分析的很多问题都可以借助矩阵抽象出来进行表述并进行运算。矩阵的概念和性质相对矩阵的运算较容易理解和掌握，对于矩阵的运算和应用，就有许多问题值得我们去深入的探讨与研究[1]。比如视频矩阵，它最重要的一个功能就是实现视频图像的切换输出，准确概括为将从任意一个输入通道输入的视频图像切换到任意一个视频输出通道。一般来讲一个M*N矩阵表示它可以同时支持M路图像输入和N路图像输出。它的发展方向是多功能、大容量、可联网，以及进行远程切换。一般而言当容量达到64*16即为大容量矩阵。而矩阵容量越大，所需技术水平越高，设计实现难度也越大。又如正交矩阵，正交矩阵则是一类重要的实方阵，由于它的一些特殊性质，使得它在不同领域都有着广泛的作用，也推动了其它学科的发展。再如矩阵图法，它是从多维问题的事件中找出成对的因素，排列成矩阵图然后由矩阵图来分析问题确定关键点的方法。它利用数学上矩阵的形式表示因素间的相互关系，从中探索问题所在。它的用途十分广泛，在质量管理例如进行多变量分析、对于生产工序中存在的多种不良现象通过分析一举消除、把系列产品的硬件功能和软件功能相对应从中找出研制新产品的切入点等。而通过矩阵引申出的矩阵思想，是指通过对原始感性材料进行矩阵般的分析与规整，形成全面、系统、严谨、专业并具有很强逻辑和关联性的理性思想，从个人有助于正确思考、研究、决策等高层次思维的形成的思想方法。就目前为止，尚处于研究、完善阶段。而当矩阵的行数与列数都相当大时矩阵的计算与证明会很烦琐，所以分块矩阵的思想由此产生。分块矩阵形象的揭示了一个复杂或是特殊矩阵的内部本质结构，它的特点是简化运算，把大矩阵化成若干个小矩阵，使原矩阵的结构显得简单清晰。本文总结讨论了分块矩阵在各方面的应用，主要以计算与证明两个方面为主，而计算方面则有所侧重。详尽论述了分块矩阵的基本定义、分块方法、基本性质以及运算规则，分析了一些分块的技巧。由分块矩阵的初等变换推导出分块矩阵的一些性质，并说明这些性质在行列式计算与证明中的应用。特别的对于一些高阶行列式通过分块处理可以直观方便的求出它的值。分块矩阵作为线性代数中的一个基本工具，研究很多问题都要用到它。借助分块矩阵的初等变换可以发现分块矩阵在求逆矩阵以及矩阵的秩方面的应用。矩阵最多是用于解线性方程组。利用分块矩阵对于求解齐次线性方程组与非齐次线性方程组在大量的实例中得出求解方程组解向量、基础解系、通解的一些简便公式。通过论述分块矩阵在证明方面的应用，如矩阵的秩的相关问题，证明一个矩阵是某些特殊矩阵的问题，证明有关矩阵的秩的定理问题。本文将通过对分块矩阵性质的研究分析，比较系统的总结讨论分块矩阵在计算与证明方面的应用，为很多线性代数中问题的处理带来很大的方便。

2.分块矩阵的基本概念2.1定义设A是一个矩阵，如果将A用k条横线和l条竖线分成(k+1)(l+1)个小矩阵，每一个小矩阵称为A的一个子块或子矩阵，以这些子块作为元素构成的k+1行l+1列的矩阵称为矩阵A的分块矩阵。亦称A是一个(k+1)(l+1)块矩阵。例如，矩阵A＝可以表示为A=其中子矩阵A11=，A12=，A21=，A22=。（注：Aij表示子矩阵，而不是代数余子式）2.2分块矩阵的运算2.2.1加法与数量乘法运算设A，B都是mn矩阵，如果其分块方式一样，A=[Aij]，B=[Bij]，其中，Aij，Bij都是矩阵，其中，。则有，。2.2.2乘法运算设A=(aij)sn，B=(bij)nm，将A，B分块成A=，B=，其中每个Aij都是si*nj小矩阵，每个Bij是ni*mj小矩阵。于是有C=AB=其中Cij=Ai1B1j+Ai2B2j+...+AitBtj（）。遵照普通矩阵乘法的行列规则，矩阵A的列的分法必须与矩阵B的行的分法一致。2.2.3转置运算分块矩阵的转置不仅要行列互换，各个子矩阵也要进行转置。如A=，其中Aij是si*nj小矩阵，则AT=。2.3分块矩阵的初等变换2.3.1定义受线性方程组的消元法启发得出矩阵的初等行变换（行对换变换、行倍乘变换、行倍加变换），而将分块矩阵与初等变换结合就成为矩阵运算中极端重要的手段。如同一般矩阵，分块矩阵的初等变换有三种：Ⅰ.交换分块矩阵的两个块行（列）；Ⅱ.用一个非奇异矩阵K左乘（右乘）分块矩阵的某一个块行（列）；Ⅲ.将分块矩阵的某一个块行（列）的K（矩阵）倍加到分块矩阵的另一个块行（列）上[2]。2.3.2运算对m+n阶单位矩阵做2*2分块，即Em+n=，对其作相应的初等变换得到的矩阵称为分块初等矩阵：⑴对换阵；⑵倍乘阵，；⑶倍加阵，。定理1：对2*2分块矩阵作分块初等行变换，相当于用相应的分块初等矩阵左（右）乘该矩阵[3]。证明：记的分块形式与上述分块单位矩阵的分块形式一样，则由分块矩阵的乘法得①=；②=；③=。例1.设方阵A=其中Ai(i=1，...，9)都是S*T矩阵，设K是任意S阶方阵，则矩阵对于B=有。证明：设ES是S级单位矩阵，则B==A，所以==。例2.设方阵A=其中Ai(i=1，...，9)都是S*T矩阵，设K是任意S阶方阵，则矩阵对于B=有。证明：由=，取行列式得。例3.试证行列式乘积公式。证明1：设，E为n阶单位矩阵。1）对K的行列式按前n行展开，得；2）对K作初等变换M=；由例2可知。将M的行列式按前n行展开，得。由1）2）得。证明2：作2n阶行列式，展开得，由初等变换得。定理2.设A，B都是n阶方阵，则有[4]。证明：。例4.计算2n阶行列式解：令A=，B=，则。

3.分块矩阵在计算方面的应用 3.1行列式计算行列式是线性代数中的一个基本概念，它的理论已经涉及几乎所有的数学分支，如数学分析、离散数学、系统控制等，是一个极其重要的数学工具。而直接计算高阶行列式和一些特殊的行列式往往比较困难，利用分块矩阵的方法求行列式往往会意想不到的方便。3.1.1引理设矩阵H=或H=，其中A1，A2，...，As都是方阵，则。3.1.2定理及几条推论设H=，A为m阶方阵，B为n阶方阵，A或B可逆。一．定理：⑴A可逆，；特别的，当A、B、C、D为同阶方阵，AC=CA，有。⑵B可逆，；特别的，当A、B、C、D为同阶方阵，BD=DB，有。⑶A可逆，A、B、C、D为同阶方阵，A=B，C=D，AD=DA，有[5]。证明：⑴由分块矩阵的乘法，=；由引理得；特别的，当AC=CA，有。⑵同理，=，取行列式得特别的，当BD=DB，有。⑶由行列式的性质和引理，有。例1.计算行列式，（a0）解：令A=，B=，C=，D=。则A，B，C，D皆为n阶方阵，a≠0得A可逆。B-CA-1D=，所以（ab-cd）。例2.计算解：令，其中A=，B=[1]，C=[2000]，D=。A，所以=33。例3.求行列式，（0，i=1，2，...，n）解：令A=，B=，C=，D=。B可逆，。DB-1C=[11...1]==。所以。例4.求行列式H=解：设A=，C=，H==。二．推论：⑴C、D分别是n*m，m*n矩阵，；；；⑵D为m*n阶零矩阵，；⑶A、C、D皆为n阶方阵，。证明：⑴由定理1，分别令A、B=E，即；；⑵，所以；⑶对矩阵的后n行应用Laplace定理，所得的所有n阶子式中，除外，其余至少包含一列零向量，所以值为0。而的余子式为，C位于矩阵的第n+1、n+2、、2n行，第1、2、、n列。所以；S=。所以。例1.计算解：令H=，其中B=[c]，C=，D=；所以CD==所以H=c-。例2.计算解：，其中A=，C=，D=由推论（3）可得。3.2求逆矩阵分块矩阵在求逆矩阵的运算中起到简化运算的作用。对于准对角矩阵与一般的非奇异矩阵，应用分块矩阵求其逆，往往会很简便。3.2.1块对角矩阵定义：形如的矩阵称为块对角矩阵。即不在主对角线上的子块皆为零阵，主对角线上子块均为方阵。记为diag(，，，)。类似的，形如，的矩阵就为块上三角阵与块下三角阵。定理1：A=diag(，，，)，A可逆，，，可逆。且A=diag(，，，)=。推论：对于块反对角矩阵B=mdiag(B1，B2，...，Bn)=，其逆矩阵B-1=mdiag=[6]。例1.求n阶方阵H的逆矩阵。H=解：令H=，其中A=，B=，得A，B，由定理1得H。3.2.2一般的非奇异矩阵的逆矩阵定理2：H=，其中A为m阶方阵，D为n阶方阵，且A、D皆可逆。⑴当B=0，C≠0时，H=；⑵当B≠0，C=0时，H=；⑶当B=0，C=0时，H=[7]。证明：（1）：设H=，其中X，W分别为m，n阶方阵。则HH=H H==，得所以H=。同理可证2（2）。推论：H=，其中A为m阶方阵，D为n阶方阵，且A、D皆可逆，。则有H=。证明：H==，所以H=。由定理2有=，=所以H-1==。例2.设M，求 M。解：令A=，B=，C=，D=。则有A-1=，D-1===由定理2（2）可得 M。例3.已知H=，求H-1。解：令H=，其中CA-1B==，D-CA-1B=[D-CA-1B]-1= 。-A-1B[D-CA-1B]==，-[D-CA-1B]CA=-=，=[-5/18]。所以=。定理3.H=，B为m阶方阵，C为n阶方阵，且B、C皆可逆[8]。⑴当A=0，D0时，；⑵当A0，D=0时，；⑶当A=0，C=0时，。推论：H=，B为m阶方阵，C为n阶方阵，且B、C皆可逆。当可逆，H可逆。则有。3.3解线性方程组常规解线性方程组一般使用初等变换法，方程个数较多时初等变换稍显繁琐。采用分块矩阵解法，线性方程组解向量、基础解系、通解变得直观，步骤简洁。3.3.1齐次线性方程组用行初等变换可以将一般的矩阵A化为阶梯形，得到的最简形式J称为标准阶梯形。如矩阵A=，经行初等变换后得J=，J为A的标准阶梯形。设一般的齐次线性方程组为AX=0。其中A=，X=。定理1：设n元齐次线性方程组的系数矩阵的秩R（A）=r<n，则方程组基础解系存在，且基础解系中含线性无关解的个数为n-r。其通解为。证明：（应用分块矩阵）假设A的r阶非零子式位于A的左上角（如果不在左上角通过互换行列可以达到目的），则A经过初等行变换可化为标准阶梯形A===J，由=O=满足JX=O，从而满足AX=O，所以为AX=0的n-r个解。2）设是AX=0的一个解。因为是AX=0的解，所以线性组合，也是AX=0的解。比较知，即任一个解都可以由线性表示。即使方程组AX=0的一个基础解系[9]。证明过程给出了一种求基础解系的方法。例1.解方程组解：系数矩阵A=，R（A）=2，基础解系含4-2=2个解。基础解系为：==即=，。通解：x=，c1，c2R。3.3.2非齐次线性方程组定义：设H是n阶非奇异阵，对其分块H=，其中A，B，C，D分别是s*s，s*t，t*s，t*t矩阵，s+t=n。当B非奇异时，存在F=，有其中G=A-DB-C，G非奇异。结合3.2定理2（1）H=，H-1=（A，D可逆）求解非齐次线性方程组[10]。例2.求解方程组解：系数矩阵=，其中A=，B=，C=，D=。求得D-1=，-BD-1=。方程左乘F=得=，解得x=[254-3/21/2]。

4.分块矩阵在证明方面的应用4.1有关矩阵的秩的证明秩作为矩阵理论的一个基本概念，在矩阵计算中有着相当重要的作用。而在线性代数的学习中涉及到矩阵或矩阵的秩的命题的证明时因为本身的抽象性而感到困难。利用矩阵的分块方法可以使这些命题的证明简单而直观。一般的采用两种方法，一是利用已知矩阵作为元素来构成矩阵来证明；二是将已知矩阵拆分成级数低的矩阵来证明。定理一：设A为n*m矩阵，B为m*s矩阵。则有，R(AB)R(B)即R(AB)min[R(A)，R(B)][11]。证明：设A=，B=。令C=AB，B1，B2，...，Bm表示B的行向量，C1，C2，...，Cn表示C的行向量，则有Ci=，即AB的行向量组可经B的行向量组线性表示。所以R（AB）R(B)。同理令A1，A2，...，Am表示A的列向量，D`1，D2，...，Ds表示AB的列向量，可得Di=，得R（AB）R(A)。综合得到R(AB)min[R(A)，R(B)]。推论1：假设A为s*n矩阵，B为n*m矩阵，则R(A)+R(B)-nR(AB)。证明：设C=，所以R（C）R(A)+R(B)，又R（C）=R(AB)+n，所以R(A)+R(B)-nR(AB)；特别的，当AB=0时，R(A)+R(B)n。定理2：两个矩阵的和的秩不超过这两个矩阵的秩的和，即R（A+B）R(A)+R(B)。证明：设G=，，所以R(G)=R(A+B)，又R(G)=R(A)+R(B)，所以R(A+B)R(A)+R(B)。定理3：任一方阵A都可以写为A=BC，其中B2=B，C可逆。证明：设R(A)=r，则存在n阶可逆矩阵P，Q，使得PAQ=，所以A===BC，B=，C=P-1Q-1，且B-2=B，C可逆。推论2：A为m*n矩阵，R（A）=n。则Bn*m，R(B)=n，有BA=En；证明：因为R(A)=n，所以存在可逆阵Pm与Qn，使得PAQ=，所以A==。取B=（Q，0）P，则R(B)=R(Q，0)=n，B=Bn*m，且BA=（Q，0）PP-1=En。推论3：A是m*n矩阵，R（A）=n。则Bm*r，R(B)=r与Cr*n，R（C）=r，使A=BC。例1.设A为n*n矩阵，证明：如果A2=E，那么R(A+E)+R(A-E)=n[12]。证明：由A2=E得(A+E)(A-E)=O又2E=(E+A)+(E-A)，由推论1及定理2得R(A+E)+R(A-E)n，n=R(2E)=R[(A+E)+(A-E)]R(A+E)+R(A-E)=R(A+E)+R(A-E)，所以R(A+E)+R(A-E)=n。例2.设A为n*n矩阵，证明：如果A2=A，那么R(A)+R(A-E)=n。证明：由A2=A得(A-E)A=O。由推论1及定理2得R(A）+R(A-E)n，n=R(E)=R[(E-A)+A]R(E-A)+R(A)=R(E-A)+R(A)，所以R(A)+R(A-E)=n。例3.设B为r*r矩阵，C为r*n矩阵，且R(C)=r。证明：如果BC=O，那么B=O[13]。证明：R(C)=r，得；r=n，C可逆，所以B=OC-1=O；r<n，C中存在一个r阶子式不为0，假设前r列构成的子式不为0。设C=（C1，C2），其中C1为r*r矩阵，C2为r*(n-r)矩阵。由BC=B（C1，C2）=（BC1，BC2）=O得BC1=O，BC2=O。又C1为r阶可逆矩阵，所以B=OC=O。综合得B=O。

结论本文通过实例对分块矩阵在计算和证明方面的应用进行了分析：在计算方面利用分块矩阵的技巧方法解决了求高阶或特殊行列式的值与求逆矩阵和解线性方程组的问题，求逆矩阵方面本文提出了一些实用公式以方便快捷的求出原矩阵的逆矩阵，提供了几种简单的方法以迅速的解出方程组基本解组；证明方面通过大量的例题来说明矩阵的秩的相关问题，证明过程中用到的公式或证明过程本身亦为求解矩阵提供了思路与方便。通过本文的论述，充分体现了分块矩阵在高等代数中矩阵的计算与证明方面所具有的优势，同时确定了分块矩阵这一基本概念在高等代数中的重要地位。因能力与篇幅所限，本文并没有针对所有类型的计算与证明均一一讨论，另外分块矩阵在通信工程电子信息等学科