高中数学解题思维策略2

高中数学解题思想策略2.高中数学解题思想策略2.高中数学解题思想策略2.又第二讲数学思想的反省性一、概括数学思想的反省性表此刻思想活动中擅长提出独立看法，精良地检查思想过程，不盲从、不轻信。在解决问题时能不停地考证所拟定的假定，获取独到的解决问题的方法，它和创办性思想存在着高度相关。本讲要点增强学生思想的严实性的训练，培育他们的创办性思想。二、思想训练实例(1检查思路能否正确，注意发现此中的错误。例1已知

，若

求的范围。错误会法由条件得②×2－①得①×2－②得得错误会析采纳这类解法，忽略了这样一个事实：作为知足条件的函数，其值是同时受限制的。当取最大（小）值时，不用然取最大（小）值，因此整个解题思路是错误的。正确解法由题意有解得：把和的范围代入得在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就表现了思想拥有反省性。只有坚固地掌握基础知识，才能反省性地看问题。例2证明勾股定理：已知在中，，求证错误证法在中，而，，即错误会析在现行的中学系统中，这个公式自己是从勾股定理推出来的。这类利用所要证明的结论，作为推理的前提条件，叫循环论证。循环论证的错误是在不知不觉中产生的，并且不易觉察。因此，在学习中对所学的每个公式、法例、定理，既要熟习它们的内容，又要熟习它们的证明方法和所依据的论据。这样才能防备循环论证的错误。发现本题犯了循环论证的错误，正是思想拥有反省性的表现。(2验算的训练验算是解题后对结果进行查验的过程。经过验算，能够检查解题过程的正确性，增强思想的反省性。例3已知数列的前项和，求错误会法错误会析明显，当建立的条件是

时，

因此在运用

，错误原由，没有注意公式时，必然查验时的情况。即：例4实数

为什么值时，圆

与抛物线

有两个公共点。错误会法将圆与抛物线联立，消去，得①因为有两个公共点，因此方程①有两个相等正根，得解之，得错误会析（如图

2－2－1；2－2－2）明显，当

时，圆与抛物线有两个公共点。图2－2－2图2－2－1要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根；或有两个相等正根。当方程①有一正根、一负根时，得解之，得因此，当

或

时，圆

与抛物线有两个公共点。思虑题：实数为什么值时，圆与抛物线，1）有一个公共点；2）有三个公共点；3）有四个公共点；4）没有公共点。养成验算的习惯，能够有效地增强思想反省性。如：在解无理方程、无理不等式；对数方程、对数不等式时，因为变形后方程或不等式两头代数式的定义域可能会发生变化，这样就有可能产生增根或失根，因此必然进行查验，舍弃增根，找回失根。(3独立思虑，敢于宣布不一样样看法受思想定势或他人提示的影响，解题时盲目附和，不可以够提出自己的看法，这不利于增强思想的反省性。因此，在解决问题时，应踊跃地独立思虑，敢于对题目解法宣布自己的看法，这样才能增强思想的反省性，进而培育创办性思想。例530支足球队进行裁汰赛，决出一个冠军，问需要安排多少场竞赛？解因为每场要裁汰1个队，30个队要裁汰29个队才能决出一个冠军。因此应安排29场竞赛。思路分析传统的思想方法是：30支队竞赛，每次出两支队，应有15＋7＋42＋1＝29场竞赛。而上边这个解法没有盲目附和，考虑到每场竞赛裁汰1个队，要裁汰29支队，那么必有29场竞赛。例6解方程观察方程两头相应的函数，它们的图象无交点。因此此方程无解。例7设是方程的两个实根，则的最小值是（）思路分析本例只有一个答案正确，设了3个骗局，很简单受骗。利用一元二次方程根与系数的关系易得：有的学生一看到，常受选择答案（A）的迷惑，盲从附和。这正是思想缺少反省性的表现。假如能以反省性的态度观察各个选择答案的根源和它们之间的差别，就能从中选出正确答案。原方程有两个实根，当时，的最小值是8；当时，的最小值是18；这时就能够作出正确选择，只有（B）正确。第三讲数学思想的严实性二、概括在中学数学中，思想的严实性表现为思想过程遵照于严格的逻辑规则，观察问题时严格、正确，进行运算和推理时精准无误。数学是一门拥有高度抽象性和精良逻辑性的科学，论证的严实性是数学的根本特色之一。但是，因为认知水平易内心特色等因素的影响，中学生的思想过程常常出现不严实现象，主要表此刻以下几个方面：看法模糊看法是数学理论系统中十分重要的构成部分。它是构成判断、推理的因素。因此必然弄清看法，搞清看法的内涵和外延，为判断和推理确立基础。看法不清就简单坠入思想纷乱，产生错误。判断错误判断是对思想对象的性质、关系、状态、存在等情况有所判断的一种思想形式。数学中的判断平常称为命题。在数学中，假如看法不清，很简单以致判断错误。比方，“函数是一个减函数”就是一个错误判断。推理错误推理是运用已知判断推导出新的判断的思想形式。它是判断和判断的结合。任何一个论证都是由推理来实现的，推理犯错，说明思想不严实。比方，解不等式解或这个推理是错误的。在由推导时，没有讨论的正、负，原由不充分，因此犯错。二、思想训练实例思想的严实性是学好数学的要点之一。训练的有效门路之一是查错。(1相关看法的训练看法是抽象思想的基础，数学推理离不开看法。“正确理解数学看法是掌握数学基础知识的前提。”《中学数学讲课纲领》（试行草案）例1、不等式错误会法错误会析当时，真数且在所求的范围内（因），说明解法错误。原由是没有弄清对数定义。本题忽略了“对数的真数大于零”这一条件造成解法错误，表现出思想的不严实性。正确解法例2、求过点的直线，使它与抛物线仅有一个交点。错误会法设所求的过点的直线为，则它与抛物线的交点为，消去得：整理得直线与抛物线仅有一个交点，解得所求直线为错误会析此处解法共有三处错误：第一，设所求直线为时，没有考虑与斜率不存在的情况，实质上就是承认了该直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严实的。第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包括订交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切的情况，只考虑订交的情况。原由是关于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透。第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的鉴别式，因此它的二次项系数不可以够为零，即而上述解法没作考虑，表现出思想不严实。正确解法当所求直线斜率不存在时，即直线垂直轴，因为过点，因此即轴，它正好与抛物线相切。当所求直线斜率为零时，直线为平行轴，它正好与抛物线只有一个交点。设所求的过点的直线为则，令解得所求直线为综上，知足条件的直线为：(2判断的训练造成判断错误的原由好多，我们在学习中，应重视以下几个方面。①注意定理、公式建立的条件数学上的定理和公式都是在必然条件下建立的。假如忽略了建立的条件，解题中不免出现错误。例3、实数，使方程最罕有一个实根。错误会法方程最罕有一个实根，或错误会析实数会合是复数会合的真子集，因此在实数范围内建立的公式、定理，在复数范围内不用然建立，必然经过严格推行后方可使用。一元二次方程根的鉴别式是对实系数一元二次方程而言的，而本题目盲目地把它推行到复系数一元二次方程中，造成解法错误。正确解法设是方程的实数根，则因为都是实数，解得例4已知双曲线的右准线为，右焦点,离心率,求双曲线方程。错解1故所求的双曲线方程为错解2由焦点知故所求的双曲线方程为错解分析这两个解法都是误以为双曲线的中心在原点，而题中并无告诉中心在原点这个条件。因为判断错误，而造成解法错误。任意增添、遗漏题设条件，都会产生错误会法。正解1设，离心率

为双曲线上任意一点，因为双曲线的右准线为，由双曲线的定义知

，右焦点整理得正解2依题意，设双曲线的中心为则解得因此故所求双曲线方程为②注意充分条件、必需条件和充分必需条件在解题中的运用我们知道：假如

建立，那么

建立，即

，则称

是的充分条件。假如

建立，那么

建立，即

，则称

是的必需条件。假如

，则称

是的充分必需条件。充分条件和必需条件中我们的学习中常常碰到。像讨论方程组的解，求知足条件的点的轨迹等等。但充分条件和必需条件中解题中的作用不一样样，稍用马虎，就会犯错。例5解不等式错误会法要使原不等式建立，只要解得错误会析不等式建立的充分必需条件是：或原不等式的解法只考虑了一种情况，而忽略了另一种情况，所考虑的情况但是原不等式建立的充分条件，而不是充分必需条件，其错误会法的实质，是把充分条件看作了充分必需条件。正确解法要使原不等式建立，则N或，或原不等式的解集为例6（轨迹问题）求与轴相切于右边，并与⊙也相切的圆的圆心的轨迹方程。错误会法如图3－2－1所示，已知⊙C的方程为设点为所求轨迹上任意一点，并且⊙P与轴相切于M点，与⊙C相切于N点。依据已知条件得，即化简得错误会析本题只考虑了所求轨迹的纯粹性（即所求的轨迹上的点都知足条件），而没有考虑所求轨迹的齐备性（即知足条件的点都在所求的轨迹上）。事实上，符合题目条件的点的坐标其实不都知足所求的方程。从动圆与已知圆内切，能够发现以轴正半轴上任一点为圆心，此点到原点的距离为半径（不等于3）的圆也符合条件，因此也是所求的方程。即动圆圆心的轨迹方程是。因此，在求轨迹时，必然要圆满的、仔细地、周祥地分析问题，这样，才能保证所求轨迹的纯粹性和齐备性。③防备以偏概全的错误以偏概所有是指思虑不全面，遗漏特别情况，以致解答不圆满，不可以够给出问题的所有答案，进而表现出思想的不严实性。例7设等比数列的全项和为.若，求数列的公比.错误会法错误会析在错解中，由时，应有在等比数列中，是明显的，但公比圆满可能为1，因此，在解题时应先讨论公比的情况，再在的情况下，对式子进行整理变形。正确解法若，则有但，即得与题设矛盾，故.又依题意可得即因为，因此因此因此说明本题为1996年全国高考文史类数学试题第（21）题，好多考生的解法同错误会法，依据评分标准而痛失2分。④防备直观取代论证我们知道直观图形常常为我们解题带来方便。但是，假如圆满以图形的直观联系为依据来进行推理，这就会使思想出现不严实现象。图3－2－2例8（如图3－2－2），拥有公共轴的两个直角坐标平面和所成的二面角等于.已知内的曲线的方程是，求曲线在内的射影的曲线方程。错误会法依题意，可知曲线是抛物线，在内的焦点坐标是因为二面角等于，且

因此设焦点

在内的射影是

，那么，

位于轴上，进而因此因此点影是一条抛物线，张口向右，极点在原点。因此曲线在内的射影的曲线方程是

是所求射影的焦点。依题意，射错误会析上述解答错误的主要原由是，凭直观误以为。正确解法在内，设点是曲线上任意一点H（如图过

3－2－作

3）过点作轴，垂足为

连结

，垂足为，

，则

轴。因此

是二面角的平面角，依题意，

.在又知

轴（或

与重合），轴（或

与重合），设

，则因为点

在曲线

上，因此即所求射影的方程为(3推理的训练数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思想形式，它是数学求解的核心。以已知的真切数学命题，即定义、公义、定理、性质等为依据，选择适合的解题方法，达到解题目标，得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必然注意所使用的命题之间的互相关系（充分性、必需性、充要性等），做到思虑周祥、推理严实。例9设椭圆的中心是坐标原点，长轴在轴上，离心率，已知点到这个椭圆上的最远距离是，求这个椭圆的方程。错误会法依题意可设椭圆方程为则，因此，即设椭圆上的点到点的距离为，则因此当时，有最大值，进而也有最大值。因此，由此解得：于是所求椭圆的方程为错解分析只管上边解法的最后结