安徽省阜阳三中2014-2015高考数学二轮复习 立体几何 4空间中的垂直学案 理

PAGE6-二轮复习专题五：立体几何§5.3空间中的垂直关系【学习目标】1.理解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）．2.了解数列通项公式的意义（数列是自变量为正整数的一类函数．）3.理解数列的函数特征，能利用数列的周期性，单调性解决数列的有关问题。4.以极度的热情投入到课堂学习中，体验学习的快乐。【学法指导】先认真阅读教材和一轮复习笔记，处理好知识网络构建，构建知识体系，形成系统的认识；2.限时30分钟独立、规范完成探究部分，并总结规律方法；3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑；4.重点理解的内容：【高考方向】以三视图为载体，考查空间几何体面积、体积的计算.考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题．【课前预习】：一、知识网络构建高考真题再现[2014·浙江卷]如图1­5，在四棱锥A­BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝eq\r(2).(1)证明：DE⊥平面ACD；(2)求二面角B­AD­E的大小．解：(1)证明：在直角梯形BCDE中，由DE＝BE＝1，CD＝2，得BD＝BC＝eq\r(2)，由AC＝eq\r(2)，AB＝2，得AB2＝AC2＋BC2，即AC⊥BC.又平面ABC⊥平面BCDE，从而AC⊥平面BCDE，所以AC⊥DE.又DE⊥DC，从而DE⊥平面ACD.(2)方法一：过B作BF⊥AD，与AD交于点F，过点F作FG∥DE，与AE交于点G，连接BG.由(1)知DE⊥AD，则FG⊥AD.所以∠BFG是二面角B­AD­E的平面角．在直角梯形BCDE中，由CD2＝BC2＋BD2，得BD⊥BC.又平面ABC⊥平面BCDE，得BD⊥平面ABC，从而BD⊥AB.由AC⊥平面BCDE，得AC⊥CD.在Rt△ACD中，由DC＝2，AC＝eq\r(2)，得AD＝eq\r(6).在Rt△AED中，由ED＝1，AD＝eq\r(6)，得AE＝eq\r(7).在Rt△ABD中，由BD＝eq\r(2)，AB＝2，AD＝eq\r(6)，得BF＝eq\f(2\r(3),3)，AF＝eq\f(2,3)AD.从而GF＝eq\f(2,3)ED＝eq\f(2,3).在△ABE，△ABG中，利用余弦定理分别可得cos∠BAE＝eq\f(5\r(7),14)，BG＝eq\f(2,3).在△BFG中，cos∠BFG＝eq\f(GF2＋BF2－BG2,2BF·GF)＝eq\f(\r(3),2).所以，∠BFG＝eq\f(π,6)，即二面角B­AD­E的大小是eq\f(π,6).方法二：以D为原点，分别以射线DE，DC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系D­xyz，如图所示．由题意知各点坐标如下：D(0，0，0)，E(1，0，0)，C(0，2，0)，A(0，2，eq\r(2))，B(1，1，0)．设平面ADE的法向量为m＝(x1，y1，z1)，平面ABD的法向量为n＝(x2，y2，z2)．可算得AD＝(0，－2，－eq\r(2))，AE＝(1，－2，－eq\r(2))，eq\o(DB,\s\up6(→))＝(1，1，0)．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m·AD＝0，,m·\o(AE,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2y1－\r(2)z1＝0，,x1－2y1－\r(2)z1＝0，))可取m＝(0，1，－eq\r(2))．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(AD,\s\up6(→))＝0，,n·\o(DB,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2y2－\r(2)z2＝0，,x2＋y2＝0，))可取n＝(1，－1，eq\r(2))．于是|cos〈m，n〉|＝eq\f(|m·n|,|m|·|n|)＝eq\f(3,\r(3)×2)＝eq\f(\r(3),2).由题意可知，所求二面角是锐角，故二面角B­AD­E的大小是eq\f(π,6).基本概念检测1．(2010·浙江改编)设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是________(填序号)．①若l⊥m，m⊂α，则l⊥α；②若l⊥α，l∥m，则m⊥α；③若l∥α，m⊂α，则l∥m；④若l∥α，m∥α，则l∥m.2．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α，β都垂直于γ；②存在平面γ，使得α，β都平行于γ；③存在直线l⊂α，直线m⊂β，使得l∥m；④存在异面直线l、m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β.其中，可以判定α与β平行的条件有________个．3．(2009·四川卷改编)如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的序号是________．①PB⊥AD；②平面PAB⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④直线PD与平面ABC所成的角为45°.4．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)【课中研讨】：例1.[2014·福建卷]在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图1­5所示．(1)求证：AB⊥CD；(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．例2.如图所示，已知四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面为正方形，O1、O分别为上、下底面的中心，且A1在底面ABCD内的射影是O.求证：平面O1DC⊥平面ABCD.变式迁移2(2011·江苏)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；平面BEF⊥平面PAD.例3.(2013年高考新课标1（理）如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.(Ⅰ)证明AB⊥A1C;(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.例4.[2014·湖南卷]如图1­6所示，四棱柱ABCD­A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．(1)证明：O1O⊥底面ABCD；(2)若∠CBA＝60°，求二面角C1­OB1­D的余弦值．解：(1)如图(a)，因为四边形ACC1A1为矩形，所以CC1⊥AC.同理DD1⊥BD.因为CC1∥DD1，所以CC1⊥BD.而AC∩BD＝O，因此CC1⊥底面ABCD.由题设知，O1O∥C1C.故O1O⊥底面ABCD.(2)方法一：如图(a)，过O1作O1H⊥OB1于H，连接HC1.由(1)知，O1O⊥底面ABCD，所以O1O⊥底面A1B1C1D1，于是O1O⊥A1C1.图(a)又因为四棱柱ABCD­A1B1C1D1的所有棱长都相等，所以四边形A1B1C1D1是菱形，因此A1C1⊥B1D1，从而A1C1⊥平面BDD1B1，所以A1C1⊥OB1，于是OB1⊥平面O1HC1.进而OB1⊥C1H.故∠C1HO1是二面角C1­OB1­D的平面角．不妨设AB＝2.因为∠CBA＝60°，所以OB＝eq\r(3)，OC＝1，OB1＝eq\r(7).在Rt△OO1B1中，易知O1H＝eq\f(OO1·O1B1,OB1)＝2eq\r(\f(3,7)).而O1C1＝1，于是C1H＝eq\r(O1Ceq\o\al(2,1)＋O1H2)＝eq\r(1＋\f(12,7))＝eq\r(\f(19,7)).故cos∠C1HO1＝eq\f(O1H,C1H)＝eq\f(2\r(\f(3,7)),\r(\f(19,7)))＝eq\f(2\r(57),19).即二面角C1­OB1­D的余弦值为eq\f(2\r(57),19).方法二：因为四棱柱ABCD­A1B1C1D1的所有棱长都相等，所以四边形ABCD是菱形，因此AC⊥BD.又O1O⊥底面ABCD，从而OB，OC，OO1两两垂直．图(b)如图(b)，以O为坐标原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O­xyz，不妨设AB＝2.因为∠CBA＝60°，所以OB＝eq\r(3)，OC＝1，于是相关各点的坐标为O(0，0，0)，B1(eq\r(3)，0，2)，C1(0，1，2)．易知，n1＝(0，1，0)是平面BDD1B1的一个法向量．设n2＝(x，y，z)是平面OB1C1的一个法向量，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n2·\o(OB,\s\up6(→))1＝0，,n2·\o(OC,\s\up6(→))1＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(3)x＋2z＝0，,y＋2z＝0.))取z＝－eq\r(3)，则x＝2，y＝2eq\r(3)，所以n2＝(2，2eq\r(3)，－eq\r(3))．设二面角C1­OB1­D的大小为θ，易知θ是锐角，于是cosθ＝|cos〈，〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(n1·n2,|n1|·|n2|)))＝eq\f(2\r(3),\r(19))＝eq\f(2\r(57),19).故二面角C1­OB1­D的余弦值为eq\f(2\r(57),19).【课后巩固】1．(2010·扬州月考)已知直线a，b和平面α，β，且a⊥α，b⊥β，那么α⊥β是a⊥b的________条件．2．已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线m、n，有下列四个命题：①若m∥n，m⊥α，则n⊥α；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β；④若m∥α，α∩β＝n，则m∥n.其中正确命题是________(填序号)．3．设直线m与平面α相交但不垂直，给出以下说法：①在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直；②过直线m有且只有一个平面与平面α垂直；③与直线m垂直的直线不可能与平面α平行；④与直线m平行的平面不可能与平面α垂直．其中错误的是________．4．(2009·江苏)设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；③设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；④直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．上面命题中，真命题的序号是__________(写出所有真命题的序号)．5.[2014·全国卷]如图1­1所示，三棱柱ABC­A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB＝90°